九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义.docx

1、九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义中考数学中翻折问题的解法探究翻折的折叠问题一是中考的热点问题，常见于基本填空压轴 题，和与其他知识结合构成综合大题也很常见。 一般都是三角形翻折， 或者四形翻折，圆的翻折，是中考数学高分必须掌握的题型。翻折和折叠问题其实质就是对称问题， 解决此类问题就是以对 称性质为基础，结合勾股定理，三角形相似，圆的性质等，建立方程 来解题。三角形中的折叠问题1.如图，把 RtABC，使 A、 B 两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折 叠，C点恰好与 D 点重合，求 CE:AE的值解析：点 A、B关于 DE对称， AE=BE, A=EBA.C点与 D 点关于 BE对称

2、， BDE BCE, EBA=CBE.又 ACB=900， A+ EBA+CBE=900， CBE=300， CE:BE=：1 2 CE:AE=：1 22.在 ABC中，已知 A=800， C=300，现把 CDE沿 DE进行不同 的折叠得 CDE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把 CDE沿 DE折叠在四边形 ADEB内，则求 1+2 的和；（2）如图（ 2）把 CDE沿 DE折叠覆盖 A，则求 1+2 的和；（3）如图（ 3）把 CDE沿 DE 斜向上折叠，探求 1、2、 C的关系。解析：(1) DCE是由 DCE翻折得到的， DCE DCE，CDE=CDE,DEC=DEC,

3、1=1800-2CDE, 2=1800-2 CED, 1+ 2=3600-2( CDE+CED)=3600-2 1500=600.(2)连接 DG，则 1+ 2=1800- C-( ADG+ AGD)=1800-30 0-(180 0-80 0)=500.(3)DCE是由 DCE翻折得到的， DCE DCE， CDE=CDE,DEC=DEC, CDE+CDE=CDE+DEC=1800- C. CDE+DEC-1+2+ABE+A=3600,2- 1=3600-1800+C-1800+A+C-A=2 C3.如图 1，在等腰三角形 ABC中， AB=AC=，4 BC=7.如图 2，在底边 BC 上取

4、一点 D，连结 AD，使得 DAC=ACD。如图 3，将 ACD沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED,则 BE 的长是多少？解析：由 AB=AC，得 ABC=C,又 DAC=ACD, ADC BAC CD = AC , 可求得 AD=CD1=6 ，BD=33 。由折叠知 AED=C, ABC=AB BC 7 7AED，点 A、B、E、D共圆， GAD= ABD, AGD BAD,GD=AD,可求得 GD=16 16 ,BG=33 - 16 16AD BD 7 33 7 7 33 GBA=GAD= GBE,GEB=BDA, BEG BDA, BE=

5、BG,可求得 BE=17 .BD AB 4 四边形中的折叠问题4.如图，在平行四边形 ABCD中， E为边 CD上一点，将 ADE沿 AE 折叠至 ADE处， AD与 CE交于点 F。若 B=520， DAE=200，求FED的度数。解析：因为 ADE沿AE折叠至 ADE 处， AED=AED=1800- DAE- D=1080, AEF=DAE+D=720 FED= AED-AEF=720.5.如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点 B 落 在点 B处。若 1=2=440，求 B 的度数。解析：将平行四边形沿对角线折叠， CAB=1 BAB,又 BAB=1=440， CAB=220，2 2=4

6、40， B=1800-CAB-2=1140.6.在矩形 ABCD中，AB=8,BC=16,将矩形 ABCD沿 EF折叠使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF的长是多少 .解析：可设 EC=x,则 BE=16-x，由 AE2=AB2+BE2 得 BE=6,AE=10.由折叠 知 FEK= AEF,又 FEK= AFE, AFE=AEF, AF=BK=AE=10, EK=4,由 EF2=EK2+KF2得， EF=4 5 .7.如图，在矩形 ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将 ABE沿 AE折叠，使点 B落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF的长为多少？解析：连接 BF，点 B

7、、F关于 AE对称， BFAE,BG=GF.1 1 12由 ABE的面积= 21 ABBE=21 AEBG,可求得 BG=152 .又E为BC中点，FC=2G。EBG2+GE2=BE2, GE=9 ， FC=2GE1=8 . 558.如图，矩形 ABCD中，点 E 在边 AB上，将一边 AD折叠，使点 A恰好落在边 BC的点 F处，折痕为 DE，若 AB=8,BF=4,求 ED长？解析：DEF是由 DEA折叠得到 的，EF=AE，设 AE为 x，则 BE=8-x， 由 BE2+BF2=EF2 可得 BE=3,EF=5. EFD= EAD=900, 根据同角的余 角相等，可得 EFB=FDC,

8、EFB FDC, DF =DC ,可求得 DF=10，再运用勾股定理 可得 DE=5 5 。 FE BF9.如图，将边长为 6的正方形纸片 ABCD对折，使 AB与 DC重合，折痕为 EF，展平后，再将点 B折到边 CD上，使边 AB经过点 E，折痕为 GH，点 B 的对应点为 M，点 A 的对应点为 N。1）若 CM=x，则 CH= （_ 用含 x 的代数式表示）；2）求折痕 GH的长。解析：（1）由 MCH= HME= EDM=900根, 据同角的余角相等，可得DME= CHM, HCM MDE, CH =MC ,Mm上 CM=x，得 DM=6-x，DM DE12DE=3， CH=-1 x

9、2+2x3（3） 延长 BA、MN相交在对称轴 HG于点 P，过 P 作 PQCD交 CD延 长线于 Q，则四边形 PBCQ是矩形 。设 QM=aDE=3,PQ=6, PQ=2DE, PM=PB=a+6PQ2+QM2=PM2,62+4a2=（a+6）2a=4,PB=10,CM=2.又 PQM MCH， CH =QMCM QPCH =8 , CH=8 , BH= 10 2 6 3 3 PH2=PB2+BH2得, PH=10 103 GH = PH , GH=2 10 AB PB圆中的折叠问题10.如图，将半径为 8 的 O沿 AB折叠，弧 AB恰好经过与 AB垂直的半径 OC的中点 D，则折痕

10、AB长为多少？ 解析 ：延长 CO交 AB于 E，则由题意知 OE=1 （16-4）-4=2，OB=8, 2 运用勾股定理可得 BE=2 15 ， AB=4 15.11.如图，将弧 BC沿 BC折叠交直径 AB于点 D，若 AD=5， DB=7， 则 BC的长是多少？解析：连接 CA、 CD；根据对称性质，得弧 CB=弧 BDC CAB=CBD+BCD CDA=CBD+BCD, CAD=CDA; 过 C作 CEAB于 E，则 AE=DE=2.5; BE=BD+DE=9.5;在 RtABC中， CEAB,ABC CBE,得 BC2=BEAB=9.512=114故 BC= 144直角坐标系中的折叠

11、问题12.平面直角坐标系中，直线 y=3x+3,与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，点 O关于直线 y=3x+3 对称点为 O，求 O坐标。解析 ：将 AOB 沿 AB翻折，得 AOB，构造 AOB的外接矩形OBCD.可证得 AOD OCB,设 AD=a,BC=3b， OC=3a,BC=3b则有 a+1=3b,b+3a=3建立方程组解得： a=4 ,b= 3 ; O(- 9 , 3 ) 5 5 5 513.平面直角坐标系中，直线 y= 1 x+2,点A(4，1)，点 A关于直线 y=1 x+2 对称点为 A，求 A坐标，并求出 A 到 BC的距离。2解析：作 ACx轴， ABy轴，分别交直线 y=1x+2于 C,B2 A(4,1) , AB=3,AC=6 2SABC=ABAC=36=18 BC2=(4+2)2+(4-1)2, BC=3 5, d= 2SABC =6 53 5 5