当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数。
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数。
2.(2015·北京卷)设函数f(x)=-klnx,k>0。
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)证明:
若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点。
解
(1)由f(x)=-klnx(k>0)得
f′(x)=x-=。
由f′(x)=0解得x=。
f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞),f(x)在x=处取得极小值f()=。
(2)证明:
由
(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=。
因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e。
当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,
所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点。
当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f
(1)=>0,f()=<0,
所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点。
综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点。
3.已知函数f(x)=ax2+x-xlnx。
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f
(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围。
解
(1)当a=0时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞)。
f′(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1。
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数。
所以函数f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+∞)。
(2)由f
(1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xlnx,
由f(x)≥bx2+2x,得x2+x-xlnx≥bx2+2x,
又∵x>0,∴b≤1--恒成立。
令g(x)=1--,可得g′(x)=,
∴g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g
(1)=0,
∴实数b的取值范围是(-∞,0]。
4.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同。
(1)用a表示b;
(2)求证:
f(x)≥g(x)(x>0)。
解
(1)设曲线y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,
∵f′(x)=x+2a,g′(x)=,
∴依题意得
即
由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去),
则b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna。
(2)证明:
设F(x)=f(x)-g(x)
=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),
则F′(x)=x+2a-=(x>0),
由F′(x)=0得x=a或x=-3a(舍去)。
当x变化时,F′(x),F(x)的变化情况如下表:
x
(0,a)
a
(a,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
极小值
结合
(1)可知函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=0。
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,
即当x>0时,f(x)≥g(x)。
5.(2015·福建卷)已知函数f(x)=lnx-。
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:
当x>1时,f(x)(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1)。
解
(1)f′(x)=-x+1=,x∈(0,+∞)。
由f′(x)>0得
解得0故f(x)的单调递增区间是。
(2)证明:
令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),
则有F′(x)=。
当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,
故当x>1时,F(x)(1)=0,即当x>1时,f(x)(3)由
(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意。
当k>1时,对于x>1,有f(x)从而不存在x0>1满足题意。
当k<1时,令G(x)=f(x)=k(x-1),x∈(0,+∞),
则有G′(x)=-x+1-k=。
由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0。
解得x1=<0,
x2=>1。
当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增。
从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G
(1)=0,即f(x)>k(x-1),
综上,k的取值范围是(-∞,1)。
高考大题规范练
(二) 三角函数、解三角形
1.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图像,求y=g(x)的图像离原点O最近的对称中心。
解
(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-。
数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin。
(2)由
(1)知f(x)=5sin,
因此g(x)=5sin=5sin2x+。
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
令2x+=kπ,解得x=-,k∈Z,
即y=g(x)图像的对称中心为,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为。
2.(2015·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
已知tan=2。
(1)求的值;
(2)若B=,a=3,求△ABC的面积。
解
(1)由tan=2,得tanA=,
所以==。
(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=。
又由a=3,B=及正弦定理=,
得b=3。
由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=。
设△ABC的面积为S,则S=absinC=9。
3.(2015·潍坊3月模拟)已知函数f(x)=sin2ωx--4sin2ωx+2(ω>0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调递增区间。
解
(1)函数f(x)=sin-4sin2ωx+2=sin2ωx-cos2ωx-4×+2=sin2ωx+cos2ωx=sin(ω>0),
根据函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数f(x)的最小正周期为2×=,得ω=1。
故函数f(x)=sin。
(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sin=sin2x+2m+的图像,根据g(x)的图像恰好经过点,
可得sin=0,
即sin=0,
所以2m-=kπ(k∈Z),m=+(k∈Z),
因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为。
此时,g(x)=sin。
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,故函数g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-,k∈Z。
结合x∈,可得g(x)在上的单调递增区间为和。
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈。
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值。
解
(1)∵m=,n=(sinx,cosx),且m⊥n,
∴m·n=·(sinx,cosx)
=sinx-cosx=sin=0。
又x∈,∴x-∈。
∴x-=0,即x=。
∴tanx=tan=1。
(2)由
(1)和已知得cos=
=
=sin=,
又x-∈,∴x-=,即x=。
5.(2015·杭州一检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
已知cos2A+=2cosA。
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围。
解
(1)根据二倍角公式:
cos2x=2cos2x-1,得
2cos2A+=2cosA,即4cos2A-4cosA+1=0,
所以(2cosA-1)2=0,所以cosA=。
因为0(2)根据正弦定理:
==,得
b=sinB,c=sinC,
所以l=1+b+c=1+(sinB+sinC)。
因为A=,所以B+C=,
所以l=1+=1+2sinB+。
因为0
6.(2015·山东卷)设f(x)=sinxcosx-cos2x+。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。
若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值。
解
(1)由题意知f(x)=-
=-=sin2x-。
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z。
所以f(x)的单调递增区间是
-+kπ,+kπ(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z)。
(2)由f=sinA-=0,得sinA=,
由题意知A为锐角,所以cosA=。
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
可得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+,且当b=c时取等号。
因此bcsinA≤,
所以△ABC面积的最大值为。
高考大题规范练(三) 数列
1.(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=。
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比