苏科版教材初中数学几何定理定义公式大全版精.docx
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苏科版教材初中数学几何定理定义公式大全版精
苏科版初中数学几何定理定义公式大全
以下标注真命题的条目，解答题时要先证明，再使用。
未标注的定理、定义、公式可以直接使用。
第一部分相交线、平行线
1、直线公理：
经过两点有且只有一条直线（两点确定一直线）。
2、线段公理：
两点之间线段最短。
3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
4、对顶角相等。
5、垂线的性质：
①经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
（简写为：
垂线段最短。
）
6、平行线的定义：
在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。
7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种，相交和平行。
在空间几何中两条直线的位置关系有三种，相交、平行和异面。
8、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
9、平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
10、平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互补。
11、三视图（略）
第二部分三角形
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫作三角形。
2、三角形的中线：
连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线。
3、三角形的角平分线：
三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
4、三角形的高：
经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。
5、三角形三边关系定理：
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
6、三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
7、推论：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
8、真命题：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
9、多边形的内角和公式：
N=（n-2180°
10、任意多边的外角和等于360°。
11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线。
从n边形（n≥3）的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形（n≥3）一共有
条对角线。
12、能够完全重合的两个图形叫作全等形。
13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
全等三角形的对应边、对应角相等。
14、全等三角形的判定：
①边角边（SAS：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角（ASA：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③角角边（AAS：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边（SSS：
有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边（HL：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
第三部分轴对称图形
1、轴对称：
如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于直线成轴对称。
2、轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形。
3、轴对称的性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
④真命题：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、几种轴对称图形及其对称轴的数量与位置：
图形
对称轴的数量
对称轴的位置
是否中心对称图形
线段
2
线段本身所在的直线
线段的垂直平分线
是
角
1
角平分线所在的直线
否
等腰三角形
1
底边的垂直平分线
否
等边三角形
3
各边的垂直平分线
否
等腰梯形
1
两底中点所在的直线
否
矩形
2
对边中点所在的直线
是
菱形
2
对角线所在的直线
是
正方形
4
对边中点所在的直线
对角线所在的直线
是
圆
无数条
经过圆心的直线
是
正n边形
n
当n为奇数时，各边的中垂线；当n为偶数时，各边的中垂线以及平分正n边形的对角线所在的直线。
当n为奇数时，不是中心对称图形。
当n为偶数时，是中心对称图形。
普通平行四边形
0
/
是
5、线段的轴对称性：
①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
③线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合。
6、角的轴对称性：
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②在角的内部到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
③角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合。
7、等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
8、等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）
②三线合一：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
9、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
10、等边三角形的定义：
三边都相等的三角形叫作等边三角形。
11、等边三角形的性质：
等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°。
12、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
13、直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
③勾股定理：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
14、直角三角形的判定：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形。
②真命题：
如果三角形的一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
③勾股定理逆定理：
如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
第四部分中心对称图形
1、中心对称：
如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。
2、中心对称图形：
把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。
3、中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形是全等的。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
4、真命题：
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。
5、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
6、平行四边形性质：
①平行四边形的对角相等。
②平行四边形的对边相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
7、平行四边形判定：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
②对角线互相平分的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④真命题：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤真命题：
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
注意：
假命题：
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（×）
8、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
9、矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
10、矩形的判定：
①有三个角是直角的四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
11、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
12、菱形的性质：
①菱形的四条边都相等。
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13、菱形面积等于对角线乘积的一半。
推而广之：
（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。
14、菱形的判定：
①四边都相等的四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③真命题：
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
15、正方形的定义：
有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。
16、正方形性质：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
17、正方形的判定：
既是矩形，又是菱形的四边形是正方形。
18、梯形的定义：
有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
19、等腰梯形的定义：
两腰相等的梯形叫作等腰梯形。
20、等腰梯形性质：
①等腰梯形在同一底上的两个角相等。
②等腰梯形的两条对角线相等。
21、等腰梯形判定：
①在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
②（真命题）对角线相等的梯形是等腰梯形。
22、三角形的中位线的定义：
连接三角形的两边中点的线段叫作三角形的中位线。
23、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
24、梯形的中位线：
连接梯形的两腰中点的线段叫作梯形的中位线。
25、真命题：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半。
26、真命题：
梯形的两条对角线的中点的连线平行于两底，并且等于两底之差的一半。
27、梯形的面积等于中位线与高的乘积。
28、真命题：
①连接任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形。
真命题：
②连接对角线相等的四边形的各边中点所得四边形是矩形。
真命题：
③连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的四边形是菱形。
第五部分相似形
1、比例的性质：
①如果a:
b=c:
d,那么ad=bc（比例的外项之积等于内项之积。
）
②如果ad=bc,那么a:
b=c:
d（比例的外项之积等于内项之积。
）
③如果
那么
2、相似形：
形状相同的两个图形是相似形。
3、相似三角形判定：
①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
④真命题：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
4、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
5、（真命题）母子相似：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6、（真命题）射影定理：
在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，则CD2=AD·BD
AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，以上三个结论统称为射影定理。
7、相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
②相似三角形的对应高的比等于相似比。
③（真命题）相似三角形的对应中线的比等于相似比。
④（真命题）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比。
⑤相似三角形周长的比等于相似比。
⑥相似三角形面积的比等于相似比的平方。
第六部分圆
1、圆的定义：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（定点就是圆心，定长就是半径。
）
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合。
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合。
4、点与圆的位置关系有三种：
点在圆内↔d；点在圆上↔d=r；点在圆外↔d>r。
5、弦：
连接圆上任意两点的线段叫作弦。
经过圆心的弦，叫作直径。
（真命题）经过圆内一定点的弦中直径最长，与过此点的直径垂直的弦最短。
6、弧：
圆上任意两点间的部分叫作弧。
以直径的端点为端点的弧，叫作半圆。
比半圆大的弧叫作优弧，比半圆小的弧叫作劣弧。
7、圆心角：
顶点在圆心的角叫作圆心角。
8、同心圆：
圆心相同，半径不等的圆叫作同心圆。
9、等圆：
半径相等的圆叫作等圆。
10、等弧：
在同圆或等圆中，可以重合的弧叫作等弧。
11、同圆或等圆的半径相等。
12、圆的旋转不变性：
把圆绕着圆心旋转任意角度都能跟自身重合。
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
14、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
15、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
16、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
17、垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
注意：
假命题：
平分弦的直径垂直于这条弦。
（×）
错误的原因是当被平分的弦是直径时，不能得出垂直的结论。
18、（真命题）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
19、不在同一直线上的三点确定一个圆。
20、外心：
经过三角形的三个顶点的圆叫这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。
外心的特征是到三角形三个顶点的距离相等，外心是三角形各边的垂直平分线的交点。
21、圆周角：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角。
22、圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半月朝东。
23、（真命题）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
24、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
25、圆周角的度数等于同弧所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半；圆心角的度数等于所对的弧的度数。
答：
水分和氧气是使铁容易生锈的原因。
26、直线与圆的位置关系有三种。
相交，相切，相离。
设圆心到一条直线的距离为d，圆的半径为r.①直线L和⊙O相交↔d＜r；②直线L和⊙O相切↔d=r；③直线L和⊙O相离↔d＞r。
15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。
27、切线的判定方法：
①如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这个圆与直线相切。
即d=r↔直线与圆相切。
②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
28、切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。
29、内心：
在三角形内部，与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
这个圆的圆心叫做三角形的内心。
内心的特征是到三角形各边距离相等，内心是各个角的角平分线的交点。
30、（真命题）有内切圆的多边形的面积等于多边形的周长和内切圆的半径的乘积的一半。
即
（其中C指多边形的周长）
31、（真命题）任意三角形的内切圆半径等于三角形的面积的2倍除以三角形的周长。
即
（其中C指三角形的周长），这个公式也适用于任意一个有内切圆的多边形。
23、我国是世界上公认的火箭的发源地，早在距今1700多年前的三国时代的古籍上就出现了“火箭”的名称。
32、（真命题）直角三角形的内切圆半径公式：
33、切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。
34、（真命题）圆的内接四边形的对角互补；圆的外切四边形的两组对边的和相等。
35、两个圆的位置关系有五种，从远到近依次是：
外离、外切、相交、内切、内含。
其中外切和内切统称为相切。
设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r。
①两圆外离↔d＞R+r②两圆外切↔d=R+r③两圆相交↔R-r＜d＜R+r（R＞r
④两圆内切↔d=R-r（R＞r⑤两圆内含↔d＜R-r（R＞r
22、绿色植物的一些细胞能进行光合作用，制造养料，它们好像是一个个微小的工厂。
36、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
37、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
5、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法，我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。
38、正多边形：
各边相等，各角相等的多边形叫作正多边形。
二、问答：
39、圆与正多边形关系定理把圆分成n（n≥3等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
40、半径为R的圆的内接正三角形的边长等于
；半径为R的圆的内接正方形的边长等于
；半径为R的圆的内接正六角形的边长等于
。
7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？
过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？
（P36）41、圆的周长：
42、弧长计算公式：
（n指弧所对的圆心角的度数）
43、圆的面积：
44、扇形面积公式：
S扇形=
或
（n指扇形的圆心角的度数，l指扇形的弧长）
45、圆锥的侧面积：
（l指圆锥的母线长）；圆锥的全面积：
46、圆锥的侧面展开图是扇形，它的半径等于圆锥的母线长（l），它的弧长等于圆锥的底面周长（C），（真命题）它的圆心角
或
第七部分三角函数
1、正切：
直角三角形中一个锐角的对边和邻边的比值，叫作这个锐角的正弦。
记作tanα。
2、正弦：
直角三角形中一个锐角的对边和斜边的比值，叫作这个锐角的正弦。
记作sinα。
3、余弦：
直角三角形中一个锐角的邻边和斜边的比值，叫作这个锐角的余弦。
记作cosα。
4、同一个角的三角函数关系：
①同一个锐角的正弦和余弦的平方和等于1.即sin2α+cos2α=1
②一个角的正切等于这个角的正弦和余弦之比。
即
5、互余两角的三角函数关系：
①任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinα=cos（90°—α），cosα=sin（90°—α）
②互余两角的正切值互为倒数。
即tanα·tan（90°—α）=1.
6、一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
（当α为锐角时，0＜sinα＜1）
一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小。
（当α为锐角时，1＞cosα＞0）
一个锐角的正切值值随着角度的增大而增大。
7、特殊角三角函数值：
三角函数
sina
cosa
tana
1
8、仰角：
从低处看高处的目标时，视线与水平线所成的角叫作仰角。
9、俯角：
从高处看低处的目标时，视线与水平线所成的角叫作俯角。
10、坡度：
坡面的水平距离与竖直距离的比值叫作坡度，坡度等于坡角的正切。
11、真命题（正弦定理）：
锐角△ABC的外接圆半径为R，则
12、真命题（余弦定理）：
13、三角形面积公式：
①
②真命题：
三角形的面积等于两边乘积的一半再乘以夹角的正弦。
即
③三角形的面积等于三角形的周长与内切圆的半径的乘积的一半。
即
第八部分常用辅助线
1、关于中点的联想：
（1）倍长经过中点的线段。
（2）中点找中点，连成中位线。
（3）当某点是等腰三角形底边中点时，可以作出底边上的中线，运用三线合一。
（4）当某点是直角三角形斜边中点时，可以作出斜边上的中线，运用“斜边上的中线等于斜边的一半”。
（5）当某点是圆中弦的中点时，可以连接这点和圆心，可以得出连成的线段与弦垂直。
2、关于角平分线的联想：
（1）沿着角平分线翻折，可以构造全等，得出三角形的两边之差。
（2）角平分线+平行线=等腰三角形。
（3）垂直于角平分线的线段可以延长，构造等腰三角形。
3、梯形常用辅助线：
（1）平移一腰，构造平行四边形和三角形；
（2）平移对角线；
（3）延长两腰交于一点；
（4）过梯形上底的两端点向下底作高；
（5）连接梯形一顶点及一腰的中点并延长与另一底相交构造全等；
（6）连接梯形一顶点及一对角线的中点，并延长与另一底相交构造全等；
（7）中点找中点，连成中位线。
4、已知直角三角形和经过直角顶点的一条直线，通常可以通过锐角顶点向直线作垂线，构造相似。
5、已知等腰三角形，可以以腰为边把形内的三角形旋转至形外。
6、已知正方形，可以在形内或形外构造全等，也可以把形内的三角形旋转至形外。
7、已知切线，就作出经过切点的半径，得出垂直结论。
8、
（1）两圆相交，连接公共弦。
（2）两圆相切，经过切点作两圆的公切线。
（3）解决两圆问题，可以作出连心线，连心线是两圆组成的图形的对称轴。
第九部分自我补充
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