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DOC-高中数学函数知识点总结（经典收藏）
高中数学函数知识点总结（经典收藏）
高中数学函数知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:
集合Ax|ylgx，By|ylgx，C（x,y）|ylgx，A、B、C中元素各表示什么,
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹
2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如:
集合Ax|x2,2x,30，Bx|ax1
若BA，则实数a的值构成的集合为
（答:
1，0，
1）3
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。
故B只能是-1或者3。
根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3.注意下列性质:
n
（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2;
要知道它的来历:
若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a2,a3,„„an,都有2种选择，所以，总共有2种选择，即集合A有2个子集。
当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2,1，非空真子集个数为2,2nnnnn
（2）若ABABA，ABB;
（3）德摩根定律:
CU,AB,,CUA,,CUB,，CU,AB,,CUA,,CUB,
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗,（排除法、间接法）
如:
已知关于x的不等式
的取值范围。
（?
3M，?
a?
3,5
32ax,5x,a20的解集为M，若3M且5M，求实数a,a0
5a1，,9，25,）3
0?
5M，?
a?
5,5
52,a
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过;如告诉你函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在（,,1）上
单调递减，在（1,,）上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（），“且”（）和“非”（）.若pq为真，当且仅当p、q均为真
若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么,
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，
若;则p是q的充分非必要条件A_____B;
若;则p是q的必要非充分条件A_____B;
若;则p是q的充要条件A_____B;
若;则p是q的既非充分又非必要条件__________
应能构成映射,
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。
如:
若A{1,2,3,4}，B{a,b,c};问:
A到B的映射有个，B到A的映射有个;A到_;7.对映射的概念了解吗,映射f:
A?
B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对B的函数有个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有个。
函数y（x）的图象与直线xa交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同,
（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法:
?
表达式相同;?
定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型,
例:
函数y
函数定义域求法:
x,4,x,lg,x,3,2的定义域是（答:
0，22，33，4）,,,,,,分式中的分母不为零;偶次方根下的数（或式）大于或等于零;指数式的底数大于零且不等于一;
数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数ytanxxR,且xk,对
k2
余切函数ycotx,xR,且xk,k反三角函数的定义域,
函数y,arcsinx的定义域是[,1,1]，
值域是，函数y,arccosx的定义域是[,1,1]，值域是[0,π]，函数y,arctgx的定义域是R
，值域是.，函数y,arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域,
如:
函数f（x）的定义域是a，b，b,a0，则函数F（x）f（x）,f（,x）的定义域是_____________。
（答:
a，,a）
复合函数定义域的求法:
已知yf（x）的定义域为m,n，求yfg（x）的定义域，可由mg（x）n解出x的范围，即为yfg（x）的定义域。
例若函数yf（x）的定义域为1，则f（log2,22x）的定义域
为。
分析:
由函数yf（x）的定义域为11x2;所以yf（log可知:
x）中有,2222
1
2log2x2。
解:
依题意知:
1
2log2x2
解之，得
?
f（log2x42x）的定义域为x|2x4
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
1x的值域
例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
a.y
b.ybk+xx222型:
直接用不等式性质bx型,先化简，再用均值不等式
1
x+1
x12,mx,nx1+x2例:
y
c..y
d.yxx22,mx,n,mx,n
x,n,mx,nx2型通常用判别式型
法一:
用判别式
法二:
用换元法，把分母替换掉
例:
yx2,x,1
x,1（x+1）,（x+1）+11（x+1）,,12,11x,1x,12
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
3x,45x,6值域。
例求函数y=e,1
e,1
exx，y2sin,11,sin0
1,y
2,y，y2sin,11,cos的值域。
yy
yeexx,1,1x1,y1,y2sin,11,sin2sin,1
1,cos|sin|||1,2sin,1y（1,cos）
2sin,ycos1,y
（,x）1,y,即sin（,x）又由sin（,x）1知1
解不等式，求出y，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角2x,5,log3x,1（2?
x?
10）的值域
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例:
已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，x,1的值域。
（1）y
x,2的取值范围
（2）y-2x的取值范围
解:
（1）令
dR（d为圆心到直线的距离,R为半径）
（2）令y-2xb,即y,2x,b0,也是直线ddR例求函数y=yx,2k,则yk（x,2）,是一条过（-2,0）的直线.（x,2）2+（x,8）2的值域。
解:
原函数可化简得:
y=?
x-2?
+?
x+8?
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A
（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时，
y=?
x-2?
+?
x+8?
=?
AB?
=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=?
x-2?
+?
x+8?
?
AB?
=10
故所求函数的值域为:
[10，+?
）
例求函数y=x2,6x,13+x2,4x,5的值域
解:
原函数可变形为:
y=（x,3）2,（0,2）2+（x,2）2,（0,1）2
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=?
AB?
=故所求函数的值域为[（3,2）2,（2,1）2=43，43，+?
）。
注:
求两距离之和时，要将函数
9、不等式法
利用基本不等式a+b?
2ab，a+b+c?
33abc（a，b，c?
R,），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
=x2x2,2x,（x0）1x,1x3（应用公式a+b+c，注意使3者的乘积变成常数）
x（3-2x）（0=xx（3-2x）（x,x+3-2x
3
3）313（应用公式abc（a,b,c）时，应注意使3者之和变成常数）
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数y=x,2
x,3
的值域
y1
212x,20时，1y20yx,20时，y=00y
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗,
切记:
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位
等东西要记得协商，不要犯我当年的错
误，与到手的满分失之交臂
如:
f,x,1e,x，求f（x）.
x,1，则t0
2,x令t?
xt,1
t,12?
f（t）e,t,1
x,1,x0,22?
f（x）ex,12
13.反函数存在的条件是什么,
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗,
（?
反解x;?
互换x、y;?
注明定义域）
1,x
如:
求函数f（x）2,x
（答:
f,1,x0,,x0,）的反函数
x,1（x）,,x,x1,0,
x
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷
懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
（2004.全国理）函数y
A（y=x2,2x+2（x<1）C（y=x2,2x（x<1）x,1,1（x1）的反函数是（B）B（y=x2,2x+2（x?
1）D（y=x2,2x（x?
1）
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。
可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。
思路能不能明白呢,
14.反函数的性质有哪些,
反函数性质:
1、
2、
3、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
?
互为反函数的图象关于直线y,x对称;
?
保存了原来函数的单调性、奇函数性;
?
设yf（x）的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f（a）=bf
f,1,1（b）af（a）f,1（b）a，ff,1（b）f（a）b
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04.上海春季高考）已知函数f（x）log3（
15.如何用定义证明函数的单调性,
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种:
（1）定义法:
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系可以变形为求4x,2），则方程f,1（x）4的解x__________.f（x1）,f（x2）
x1,x2的正负号或者f（x1）f（x2）与1的关系
（2）参照图象:
?
若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性;（特例:
奇函数）
?
若函数f（x）的图象关于直线x,a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例:
偶函数）
（3）利用单调函数的性质:
?
函数f（x）与f（x），c（c是常数）是同向变化的
?
函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c,0时，它们是同向变化的;当c,0时，它们是反向变化的。
?
如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x），f2（x）和它们同向变化;（函数相加）
?
如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化;如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化;（函数相乘）?
函数f（x）与
1f（x）
在f（x）的同号区间里反向变化。
?
若函数u,φ（x），x[α，β]与函数y,F（u），u?
[φ（α），φ（β）]或u?
[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，
β]上复合函数y,F[φ（x）]是递增的;若函数u,φ（x）,x[α，β]与函数y,F（u），u?
[φ（α），φ（β）]或u?
[φ
（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y,F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）
?
若函数y,f（x）是严格单调的，则其反函数x,f,1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
如:
求ylog1,x,2x的单
2
2
（设u,x,2x，由u0则0x2
且log1u，u,,x,1,,1，如图:
2
2
2
当x（0，1]时，u，又log1u，?
y
2
当x[1，2）时，u，又log1u，?
y
2
?
„„）
16.如何利用导数判断函数的单调性,
在区间a，b内，若总有f'（x）0则f（x）为增函数。
（在个别点上导数等于
,
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'（x）0呢,
如:
已知a0，函数f（x）x,ax在1，,上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0
2
3
（令f'（x）3x,a3x,
ax,3a
0
3
则x,
a3
或x
a3
由已知f（x）在[1，,）上为增函数，则?
a的最大值为3）
17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么,（f（x）定义域关于原点对称）
a3
1，即a3
若f（,x）,f（x）总成立f（x）为奇函数函数图象关于原点对称若f（,x）f（x）总成立f（x）为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论:
（1）在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）0。
如:
若f（x）
a?
2,a,2
2,1
x
x
为奇函数，则实数a
（?
f（x）为奇函数，xR，又0R，?
f（0）0
即
a?
2,a,2
2,1
0，?
a1）
又如:
f（x）为定义在（,1，1）上的奇函数，当x（0，1）时，f（x）
2
x
x
4,1
，
求f（x）在,,1，1,上的解析式。
（令x,1，0，则,x0，1，f（,x）
,,,
24
xx,x
x
1
又f（x）为奇函数，?
f（x）,
24
x
x
1
2
1,4
x
2,x
4,1
又f（0）0，?
f（x）
x
2
x4,1
x（,1，0）x0x,0，1,
）
判断函数奇偶性的方法一、
定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f（,x），然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形f（x）+f（-x）=0奇函数f（x）-f（-x）=0偶函数f（x）f（-x）f（x）f（-x）
1偶函数,1奇函数
三、
复合函数奇偶性
18.你熟悉周期函数的定义吗,
（若存在实数T（T0），在定义域内总有f,x,T,f（x），则f（x）为周期函数，T是一个周期。
）
如:
若f,x,a,,f（x），则
（答:
f（x）是周期函数，T2a为f（x）的一个周期）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推
f（x）f（x,2t），导:
f（x,t）,f（x,2t）0
同时可能也会遇到这种样子:
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思:
函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。
又如:
若f（x）图象有两条对称轴xa，xb即f（a,x）f（a,x），f（b,x）f（b,x）
f（x）f（2a,x）f（2a,x）f（2b,x）
f（x）f（2b,x）
令t2a,x,则2b,xt,2b,2a,f（t）f（t,2b,2a）即f（x）f（x,2b,2a）
所以,函数f（x）以2|b,a|为周期（因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值
f（x）,f（x,t）0
如:
19.你掌握常用的图象变换了吗,
f（x）与f（,x）的图象关于y轴对称联想点（x,y）,（-x,y）
f（x）与,f（x）的图象关于x轴对称联想点（x,y）,（x,-y）
f（x）与,f（,x）的图象关于原点对称联想点（x,y）,（-x,-y）
f（x）与f,1（x）的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,（y,x）
f（x）与f（2a,x）的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,（2a-x,y）
f（x）与,f（2a,x）的图象关于点（a，0）对称联想点（x,y）,（2a-x,0）
yf（x,a）左移a（a0）个单位将yf（x）图象
yf（x,a）右移a（a0）个单位
yf（x,a）,b上移b（b0）个单位
yf（x,a）,b下移b（b0）个单位
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。
对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。
你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
）
注意如下“翻折”变换:
f（x）|f（x把）|轴下x方的图像翻到上面
f（x）f（|x把|）轴右y方的图像翻到上面
如:
f（x）log2,x,1,
作出ylog2,x,1,及ylog2x,1的图象
y=log2x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗,
（1）一次函数:
ykx,b,k0,（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
（2）反比例函数:
y的双曲线。
kx
k0,推广为yb,
kx,a
2
k0,是中心O'（a，b）
b2
（3）二次函数yax,bx,c,a0,ax,
2a
2
b4ac,bb
顶点坐标为,，，对称轴x,
2a4a2a
2
4ac,b4a
2
图象为抛物线
开口方向:
a0，向上，函数ymin
4ac,b
4a
2
a0，向下，ymax
2a
ca
4ac,b4a
根的关系:
xx1,x2,
ba
|x1,x2|
|a|
x1x2
二次函数的几种表达形式:
f（x）ax
2
bx,c（一般式）
2
f（x）a（x,m）,n（顶点式，（m，n）为顶点
f（x）a（x,x1）（x,x2）（x1,x2是方程的2个根）
f（x）a（x,x1）（x,x2）,h（函数经过点（x1,h）（x2,h）
应用:
?
“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax,bx,c0，0时，两根x1、x2为二次函数yax,bx,c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax,bx,c0（0）解集的端点值。
?
求闭区间,m，n,上的最值。
区间在对称轴左边（n,
b2ab2ab2a
）fmax）fmaxm）mfaxm（
f（n）,
（
））
f（m）,ff（n）,f
minmin
ff
n（m（
））
2
22
区间在对称轴右边（m,区间在对称轴2边（n,fmin
4ac,b
4a
2
fmax
也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大（只讨论a0的情况）
?
求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
?
一元二次方程根的分布问题。
0
b2
k如:
二次方程ax,bx,c0的两根都大于k,2af（k）0
一根大于k，一根小
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