最新DOC高中数学函数知识点总结经典收藏优秀名师资料.docx

1、最新DOC高中数学函数知识点总结经典收藏优秀名师资料DOC-高中数学函数知识点总结(经典收藏)高中数学函数知识点总结(经典收藏) 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A x|y lgx ，B y|y lgx ，C (x,y)|y lgx ，A、B、C 中元素各表示什么, A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如:集合A x|x2,2

2、x,3 0，B x|ax 1 若B A，则实数a的值构成的集合为 (答: ,1，0， 1 ) 3 显然，这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: n(1)集合 a1，a2，an 的所有子集的个数是2; 要知道它的来历:若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择(在或者不在)。同样，对于元素a2, a3,an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。 当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元

3、素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2,1，非空真子集个数为2,2 nnnnn (2)若A B A B A，A B B; (3)德摩根定律: CU,A B, ,CUA, ,CUB,，CU,A B, ,CUA, ,CUB, 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式 的取值范围。 (?3 M，?a?3,5 32ax,5x,a2 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a ,a 0 5 a 1， ,9，25,) 3 0 ?5 M，?a?5,5 52,a 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过; 如告诉你函

4、数f(x)=ax2+bx+c(a0) 在(, ,1)上 单调递减，在(1, )上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ). 若p q为真，当且仅当p、q均为真 若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若 p为真，当且仅当p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A x|x满足条件p，B

5、x|x满足条件q， 若 ;则p是q的充分非必要条件 A_B; 若 ;则p是q的必要非充分条件 A_B; 若 ;则p是q的充要条件 A_B; 若 ;则p是q的既非充分又非必要条件 _ 应能构成映射, (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。 如:若A 1,2,3,4，B a,b,c;问:A到B的映射有 个，B到A的映射有 个;A到_; 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对B的函数有个，若A 1,2,3，则A到B的一一映射有个。 函数y

6、 (x)的图象与直线x a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 例:函数y 函数定义域求法: x,4,x,lg,x,3,2的定义域是 (答:0，2 2，3 3，4) ,分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数y tanx x R,且x k ,对 ,k 2 余切函数y cotx ,x R,且x k ,k 反三角函数的定义域 ,

7、 函数y,arcsinx的定义域是 ,1, 1 ， 值域是，函数y,arccosx的定义域是 ,1, 1 ，值域是 0, ，函数y,arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y,arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是a，b，b ,a 0，则函数F(x) f(x),f(,x)的定 义域是_。 (答:a，,a) 复合函数定义域的求法:已知y f(x)的定义域为 m,n ，求y f g(x) 的定义域，

8、可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x) 的定义域。 例 若函数y f(x)的定义域为 1 ，则f(log 2,2 2x)的定义域为。 分析:由函数y f(x)的定义域为1 1 x 2;所以y f(log可知:x)中有,22 2 2 1 2 log2x 2。 解:依题意知: 1 2 log2x 2 解之，得 ? f(log2 x 4 2x)的定义域为x| 2 x 4 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y= 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 1x的值域 例、求函数y=x-2x+5，x -1，2的值域。

9、 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y b. y bk+xx222型:直接用不等式性质bx型,先化简，再用均值不等式 1 x+1 x 12,mx,nx1+x2 例:y c. y d. y xx22,m x,n ,mx,n x,n,mx,nx2型 通常用判别式型 法一:用判别式 法二:用换元法，把分母替换掉 例:y x2,x,1 x,1(x+1),(x+1)+1 1 (x+1),1 2,1 1x,1x,12 4、反函数法 直接求函数的值域困

10、难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y= 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 3x,45x,6值域。 例 求函数y=e,1 e,1 exx，y 2sin ,11,sin 0 1,y 2,y，y 2sin ,11,cos 的值域。 y y y eexx,1,1x 1,y1,y2sin ,11,sin 2sin ,1 1,cos |sin | | 1, 2sin ,1 y(1,cos ) 2sin ,ycos 1,y ( ,x) 1,y,即sin( ,x) 又由sin(

11、 ,x) 1知 1 解不等式，求出y，就是要求的答案 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y= 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 2x,5,log3x,1(2?x?10)的值域 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数y=x+ 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上， x,1的值域。 (1)y

12、x,2的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解:(1)令 d R(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x b,即y,2x,b 0,也是直线d d R 例求函数y=yx,2 k,则y k(x,2),是一条过(-2,0)的直线. (x,2)2+(x,8)2的值域。 解:原函数可化简得:y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2)，B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P在线段AB上时， y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为:10，+?) 例求函

13、数y= x2,6x,13+ x2,4x,5的值域 解:原函数可变形为:y=(x,3)2,(0,2)2+(x,2)2,(0,1)2 上式可看成x轴上的点P(x，0)到两定点A(3，2)，B(-2，-1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=?AB?=故所求函数的值域为(3,2)2,(2,1)2=43， 43，+?)。 注:求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法 利用基本不等式a+b?2ab，a+b+c?33abc(a，b，c?R,)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例: =x2

14、x2,2x,(x 0)1x,1x 3 (应用公式a+b+c ，注意使3者的乘积变成常数) x(3-2x)(0x1.5)2 =x x (3-2x) (x,x+3-2x 3 3)3 13 (应用公式abc (a,b,c)时，应注意使3者之和变成常数) 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=x,2 x,3 的值域 y 1 212x,2 0时，1y 2 0 y x,2 0时，y=0 0 y 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用

15、其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗, 切记:做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错 误，与到手的满分失之交臂 如:f,x,1 e,x，求f(x). x,1，则t 0 2,x 令t ?x t,1 t,12 ?f(t) e,t,1 ,x,1,x 0, 22 ?f(x) ex,12 13. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 1,x 如:求函数f(x) 2 ,x (答:f,1,x 0,x 0,) 的反函数 x,1(x)

16、 ,x,x 1, 0, ,x 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数y A(y=x2,2x+2(x1) C(y=x2,2x (x=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1, 答案为B. 我题目已经做完了， 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢, 14. 反函数的性质有哪些, 反函数性质: 1、 2、 3、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y) 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x) 反函数的图像和

17、原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y，x)关于直线y=x对称 ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a)=b f f,1,1(b) a f(a) f,1(b) a，ff ,1(b) f(a) b 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 (04. 上海春季高考)已知函数f(x) log3( 15 . 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

18、可以变形为求4x,2)，则方程f,1(x) 4的解x _. f(x1),f(x2) x1,x2的正负号或者f(x1)f(x2)与1的关系 (2)参照图象: ?若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ?若函数f(x)的图象关于直线x,a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ?函数f(x)与f(x)，c(c是常数)是同向变化的 ?函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c,0时，它们是同向变化的;当c,0时，它们是反向变化的。 ?如果函数f1(

19、x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)，f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ?如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘) ?函数f(x)与 1f(x) 在f(x)的同号区间里反向变化。 ?若函数u,(x)，x，与函数y,F(u)，u?()，()或u?(),()同向变化，则在， 上复合函数y,F(x)是递增的;若函数u,(x),x，与函数y,F(u)，u?()，()或u? ()，()反向变化，则在，上复合函数y,F(x)是递减的。(同增异减) ?若

20、函数y,f(x)是严格单调的，则其反函数x,f,1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 如:求y log1,x,2x的单 2 , 2 , (设u ,x,2x，由u 0则0 x 2 且log1u ，u ,x,1,1，如图: 2 2 2 当x (0，1时，u ，又log1u ，?y 2 当x 1，2)时，u ，又log1u ，?y 2 ?) 16. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间a，b内，若总有f(x) 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 , 零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f(x) 0呢, 如:已知a 0，函数f(x) x,ax在1，, 上是单调增函数，则a的最大

21、 值是( ) A. 0 2 3 , (令f(x) 3x,a 3 x, a x,3 a 0 3 则x , a3 或x a3 由已知f(x)在1，, )上为增函数，则 ?a的最大值为3) 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) a3 1，即a 3 若f(,x) ,f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f(,x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若f(x)是奇函数且定义域中有

22、原点，则f(0) 0。 如:若f(x) a?2,a,2 2,1 x x 为奇函数，则实数a (?f(x)为奇函数，x R，又0 R，?f(0) 0 即 a?2,a,2 2,1 0，?a 1) 又如:f(x)为定义在(,1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x) 2 x x 4,1 ， 求f(x)在,1，1,上的解析式。 (令x ,1，0，则,x 0，1，f(,x) , 24 xx,x ,x ,1 又f(x)为奇函数，?f(x) , 24 ,x ,x ,1 , 2 1,4 x 2, x 4,1 又f(0) 0，?f(x) x 2 x 4,1 x (,1，0)x 0x ,0，1, ) 判断函

23、数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(,x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)f(-x)f(x)f(-x) 1 偶函数 ,1 奇函数 三、 复合函数奇偶性 18. 你熟悉周期函数的定义吗, (若存在实数T(T 0)，在定义域内总有f,x,T, f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。)

24、 如:若f,x,a, ,f(x)，则 (答:f(x)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期) 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推 f(x) f(x,2t)， 导: f(x,t),f(x,2t) 0 同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 又如:若f(x)图象有两条对

25、称轴x a，x b即f(a,x) f(a,x)，f(b,x) f(b,x) f(x) f(2a,x) f(2a,x) f(2b,x) f(x) f(2b,x) 令t 2a,x,则2b,x t,2b,2a,f(t) f(t,2b,2a)即f(x) f(x,2b,2a) 所以,函数f(x)以2|b,a|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值 f(x),f(x,t) 0 如: 19. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与f(,x)的图象关于y轴对称 联想点(x,y),(-x,y) f(x)与,f(x)的图象关于x轴对称 联想点(x,y),(x,-y) f(x)与,f(,x)

26、的图象关于原点对称 联想点(x,y),(-x,-y) f(x)与f,1(x)的图象关于直线y x对称 联想点(x,y),(y,x) f(x)与f(2a,x)的图象关于直线x a对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f(x)与,f(2a,x)的图象关于点(a，0)对称 联想点(x,y),(2a-x,0) y f(x,a)左移a(a 0)个单位 将y f(x)图象 y f(x,a)右移a(a 0)个单位 y f(x,a),b上移b(b 0)个单位 y f(x,a),b下移b(b 0)个单位 (这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻

27、烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。) 注意如下“翻折”变换: f(x) |f(x把)|轴下x方的图像翻到上面 f(x) f(|x把|)轴右y方的图像翻到上面 如:f(x) log2,x,1, 作出y log2,x,1,及y log2x,1的图象 y=log2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数:y kx,b,k 0, (k为斜率，b为直线与y轴的交点) (2)反比例函数:y 的双曲线。 kx ,k 0,推广为y b, kx,a 2 ,k

28、0,是中心O(a，b) b 2 (3)二次函数y ax,bx,c,a 0, a x, 2a 2 b4ac,b b 顶点坐标为 , ， ，对称轴x , 2a4a2a 2 , 4ac,b4a 2 图象为抛物线 开口方向:a 0，向上，函数ymin 4ac,b 4a 2 a 0，向下，ymax 2a ca 4ac,b4a 根的关系:x x1,x2 , ba ,|x1,x2| |a| ,x1 x2 二次函数的几种表达形式:f(x) ax 2 ,bx,c(一般式) 2 f(x) a(x,m),n(顶点式，(m，n)为顶点 f(x) a(x,x1)(x,x2)(x1,x2是方程的2个根)f(x) a(x,

29、x1)(x,x2),h(函数经过点(x1,h)(x2,h) 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ax,bx,c 0， 0时，两根x1、x2为二次函数y ax,bx,c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax,bx,c 0( 0)解集的端点值。 ?求闭区间,m，n,上的最值。 区间在对称轴左边(n , b2ab2ab2a ) fmax ) fmax m) mfaxm( f(n), ( ) f(m),ff(n),f m inm in ff n(m( ) 2 22 区间在对称轴右边(m ,区间在对称轴2边 (n , fmin 4ac,b 4a 2 ,fma x 也可以比较m,n和对称轴的关系，距 离越远，值越大(只讨论a 0的情况) ?求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 0 b2 k 如:二次方程ax,bx,c 0的两根都大于k ,2a f(k) 0 一根大于k，一根小