一维波动方程的有限差分法.docx
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一维波动方程的有限差分法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
数统学院实验时间：
2016年6月20日
实验项目
名称
一维波动方程的有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解一维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
（1）
1．在第三部分写出问题
（1）三层显格式。
2．根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。
将所写程序放到第四部分。
3．取
，分别将
时刻的数值解画图显示。
4.该问题的解析解为
，将四个时刻的数值解的误差画图显示，对数值结果进行简单的讨论。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
1、三层显格式建立
由于题中
，
，取
，故令网比
，
，
，在
内网个点处，利用二阶中心差商得到如下格式：
（2）
略去误差项得到：
（3）
其中
，局部截断误差为
。
对于初始条件
，建立差分格式为：
（4）
对于初始条件
，利用中心差商，建立差分格式为：
（5）
对于边界条件
，建立差分格式为：
（6）
将差分格式延拓使
为内点，代入（3）得到的式子再与（5）联立消去
后整理得到：
（7）
综上（3）、（4）、（6）、（7）得到三层显格式如下：
（局部截断误差为
）
（8）
其中
。
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
三层显格式程序如下：
%一维波动方程，三层显格式求解法
h=0.1;tau=0.1*h;
r=tau/h;N=1/h;M=2/tau;
x=0:
h:
1;t=0:
tau:
2;
u=sin（pi*x）;%计算t=0时刻的u值
u（1,11）=0;
forj=2:
N
u（2,j）=0.5*r^2*u（1,j+1）+（1-r^2）*u（1,j）+0.5*r^2*u（1,j-1）;
end
%定义x=0边界上的数值
fork=1:
M+1
u（k,1）=0;
end
%定义x=1边界上的数值
fork=1:
M+1
u（k,N+1）=0;
end
%迭代计算开始,差分格式
fork=2:
M
forj=2:
N
u（k+1,j）=r^2*u（k,j+1）+2*（1-r^2）*u（k,j）+r^2*u（k,j-1）-u（k-1,j）;
end
end
u（201,:
）=zeros（1,11）;
%计算k=201行的数值解
u2（201,11）=0;
forj=2:
N
u2（201,j）=r^2*u（200,j+1）+2*（1-r^2）*u（200,j）+r^2*u（200,j-1）-u（199,j）;
end
u=u+u2;
u=rot90（u,2）;%将矩阵u旋转180度赋值于u
%作出图像
[x,t]=meshgrid（0:
0.1:
1,0:
0.01:
2）;%划分网格
%作出数值解的函数图像
subplot（2,2,1）;
mesh（x,t,u）;
title（'u（x,t）数值解的函数图像'）;
xlabel（'x变量'）;
ylabel（'t变量'）;
zlabel（'u值'）;
%作出精确解的函数图像
subplot（2,2,2）;
u1=cos（pi*t）.*sin（pi*x）;
mesh（x,t,u1）;
title（'u（x,t）精确解的函数图像'）;
xlabel（'x变量'）;
ylabel（'t变量'）;
zlabel（'u值'）;
%作出t=0.5，1.0，1.5,2.0时刻的绝对误差图像
subplot（2,2,3）;
wucha=abs（u-u1）;
x=0:
h:
1;
plot（x,wucha（51,:
）,'g*-'）;
holdon
gridon
plot（x,wucha（101,:
）,'ro-'）;
holdon
plot（x,wucha（151,:
）,'ks-'）;
holdon
plot（x,wucha（201,:
）,'mp-'）;
title（'t=0.5，1.0，1.5,2.0时刻的绝对误差函数图像'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'绝对误差值'）;legend（'t=0.5','t=1.0','t=1.5','t=2.0'）;
%作出t=0.5，1.0，1.5,2.0时刻的数值解函数图像
subplot（2,2,4）;
x=0:
h:
1;
plot（x,u（51,:
）,'g*-'）;
holdon
gridon
plot（x,u（101,:
）,'ro-'）;
holdon
plot（x,u（151,:
）,'ks-'）;
holdon
plot（x,u（201,:
）,'mp-'）;
title（'t=0.5，1.0，1.5,2.0时刻的数值解函数图像'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'u值'）;legend（'t=0.5','t=1.0','t=1.5','t=2.0'）;
%当然也可以作出u（x,t）绝对误差的函数图像
%mesh（x,t,wucha）;
%title（'u（x,t）绝对误差的函数图像'）;
%xlabel（'x变量'）;
%ylabel（'t变量'）;
%zlabel（'绝对误差值'）;
五．实验结果及实例分析
1、u（x,t）在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解、精确解以及绝对误差
表1u（x,t）在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解
时刻t
t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解
t=0.5
0
-0.0059
-0.0113
-0.0155
-0.0182
-0.0192
-0.0182
-0.0155
-0.0113
-0.0059
0
t=1.0
0
-0.3090
-0.5877
-0.8090
-0.9510
-0.9999
-0.9510
-0.8090
-0.5877
-0.3090
0
t=1.5
0
0.0020
0.0038
0.0052
0.0061
0.0064
0.0061
0.0052
0.0038
0.0020
0
t=2.0
0
0.3090
0.5878
0.8090
0.9511
1.0000
0.9511
0.8090
0.5878
0.3090
0
表2u（x,t）在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的精确解
时刻t
t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的精确解
t=0.5
0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
t=1.0
0
-0.3090
-0.5878
-0.8090
-0.9511
-1.0000
-0.9511
-0.8090
-0.5878
-0.3090
0
t=1.5
0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
t=2.0
0
0.3090
0.5878
0.8090
0.9511
1.0000
0.9511
0.8090
0.5878
0.3090
0
表3u（x,t）在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的绝对误差
时刻t
t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的绝对误差
t=0.5
0
0.0059
0.0113
0.0155
0.0182
0.0192
0.0182
0.0155
0.0113
0.0059
0
t=1.0
0
0.0000
0.0000
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0
t=1.5
0
0.0020
0.0038
0.0052
0.0061
0.0064
0.0061
0.0052
0.0038
0.0020
0
t=2.0
0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
说明：
在t=0.5时刻的绝对误差最大，t=1.5时刻次之，t=1与t=2时刻的绝对误差均较小，由于
，该格式稳定，由数值计算得到的矩阵不难看出，数值解符合理论解。
2、u（x,t）在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解、绝对误差函数图像
图1数值解、精确解以及绝对误差函数图像
说明：
上两图为函数的数值解与精确解，下两图为t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解、绝对误差函数图像，符合理论解。
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