数论问题奇偶问题练习题两套含答案.docx
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数论问题奇偶问题练习题两套含答案
数论问题奇偶问题：
练习题两套含答案
奇偶问题练习题一
1.小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？
【分析】不可能。
因为25个奇数相加的和是奇数，25个偶数相加是偶数，奇数加偶数=奇数
2.有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：
能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？
并说明理由。
【分析】不可以。
一名为98个数中有49个奇数，奇数加偶数等于奇数，奇数不是二的倍数。
3.有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，，20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。
问：
在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水？
【分析】不可能，因为两个奇数相加等于偶数，两个偶数相加等于偶数，11是奇数，B是偶数，偶数不等于奇数。
4.一个俱乐部里的成员只有两种人：
一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。
某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。
外来一位记者问俱乐部的成员张三：
俱乐部里共有多少成员？
张三答：
共有45人。
另一个成员李四说：
张三是老实人。
请判断李四是老实人还是骗子？
【分析】李四是骗子，老实人和说谎的人的人数相等，可是45是个奇数，所以张三是骗子。
5.围棋盘上有1919个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。
问：
能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？
【分析】不可以，因为不是白字多黑字一个，就是黑子多白字一个，不可能相等。
6.某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。
问：
所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？
【分析】奇数，5*30+15=165165-6N-4M=奇数减去偶数=奇数99*奇数=奇数。
7.现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。
分析与解：
当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：
可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。
说明：
这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。
8.有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？
解：
当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成；
当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。
说明：
将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。
若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：
当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示；
当币值为奇数时，
2k+1=2（k-2）+5，
其中k2。
当k=0，1时，2k+1=1，3。
1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。
9.设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。
现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。
小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
解：
一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。
由于
999=7142+5，
因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。
所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。
10.桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚第77次翻动其中的1枚。
按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？
说明你的理由。
分析：
对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。
这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。
解：
按规定的翻动，共翻动1+2++77=7739次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。
因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。
注意到
7739=77+（76+1）+（75+2）++（39+38），
根据规定，可以设计如下的翻动方法：
第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。
这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。
说明：
（1）此题也可从简单情形入手（如9枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。
（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。
11.在88的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个33的正方形（如左下图）。
规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置）。
问：
这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个33的正方形）？
解：
自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格记为（i，j）。
问题的关键是考虑9枚棋子（所在方格）的列标的和S。
一方面，每跳一次，S增加0或偶数，因而S的奇偶性不变。
另一方面，右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大
3（6+7+8）-3（1+2+3）=45，
这是一个奇数。
综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个33的正方形里。
第二页：
奇偶问题练习题二
奇偶问题练习题二
1．下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？
□+□=□□-□=□
□□=□□□=□
2．任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
3．一串数排成一行，它们的规律是：
前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
如下所示：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
试问：
这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？
4．能不能将1010写成10个连续自然数之和？
如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
答案：
1.至少有6个偶数。
2.奇数。
解：
12342=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。
3.33。
提示：
这串数排列的规律是以奇奇偶循环。
4.不能。
如果1010能表示成10个连续自然数之和，那么中间2个数的和应当是10105=202。
但中间2个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于偶数202。
所以，1010不能写成10个连续自然数之和。
5．能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？
6．在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。
今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。
现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
7．在黑板上写上1，2，，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b（其中ab）。
问：
最后黑板上剩下的是奇数还是偶数？
8．设a1，a2，，a64是自然数1，2，，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，，b32=a63-a64；
c1=b1-b2，c2=b3-b4，，c16=b31-b32；
d1=c1-c2，d2=c3-c4，，d8=c15-c16；
这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？
答案：
5.不能。
提示：
仿例3。
6.证：
设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得20分的学生胜了x2局，败了y2局。
由得分情况知：
x1-y1=7，x2-y2＝20。
如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。
另一方面，由x1-y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。
这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。
7.奇数。
解：
黑板上所有数的和S＝1+2+＋909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-（a-b）=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。
由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。
8.偶数。
解：
我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数
-a3a63a2，+a+
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