量子力学周世勋课后答案第一二章.docx
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量子力学周世勋课后答案第一二章
量子力学课后习题详解
第一章量子理论基础
1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律:
能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比,即
T=b(常量);
并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式
,
(1)
以及,
(2)
,(3)
有
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时,取得极大值,因此,就得要求对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作。
但要注意的是,还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的就是要求的,具体如下:
如果令x=,则上述方程为
这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:
x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:
x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有
把x以及三个物理常量代入到上式便知
这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。
解:
根据德布罗意波粒二象性的关系,可知
。
所考虑的粒子是非相对论性的电子(动能),满足
,
因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式,有
在这里,利用了
,
。
最后,对
作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
自然单位制:
在粒子物理学中,利用三个普适常数(光速c,约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k)来减少独立的基本物理量的个数,从而把独立的量纲减少到只有一种(能量量纲,常用单位eV)。
例:
1nm=5.07/keV,1fm=5.07/GeV,电子质量m=0.51MeV.核子(氢原子)质量M=938MeV,温度.
1.3氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德布罗意波长。
解:
根据,
知本题的氦原子的动能为
显然远远小于这样,便有
这里,利用了。
最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为
据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1.4利用玻尔——索末菲的量子化条件,求:
(1)一维谐振子的能量;
解:
玻尔—索末菲的量子化条件为:
其中q是微观粒子的一个广义坐标,p是与之相对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈,n是正整数。
(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为m,于是有
这样,便有
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。
此外,根据谐振子在最大位移处p=0,
可解出。
这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有
为了积分上述方程的左边,作以下变量代换:
这样,便有
。
能量间隔
最后,对此解作一点讨论。
首先,注意到谐振子的能量被量子化了;其次,这量子化的能量是等间隔分布的。
1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现实种转化,光子的波长最大是多少?
解:
关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程,如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题,严格来说,需要用到相对性量子场论的知识去计算,修正当涉及到这个过程的运动学方面,如能量守恒,动量守恒等,我们不需要用那么高深的知识去计算,具体到本题,两个光子能量相等,因此当对心碰撞时,转化为正负电子对所需的能量最小,因而所对应的波长也就最长,而且,有
此外,还有
于是,有
尽管这是光子转化为电子的最大波长,但从数值上看,也是相当小的,我们知道,电子是自然界中最轻的有质量的粒子,如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子,那么所对应的光子的最大波长将会更小,这从某种意义上告诉我们,当涉及到粒子的衰变,产生,转化等问题,一般所需的能量是很大的。
能量越大,粒子间的转化等现象就越丰富,这样,也许就能发现新粒子,这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因:
期待发现新现象,新粒子,新物理。
第二章波函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中,几率流与时间无关。
证:
对于定态,可令,得
可见无关。
2.2由下列定态波函数计算几率流密度:
说明表示向外传播的球面波,表示向内(即向原点)传播的球面波。
解:
在球坐标中
所以,。
同向,表示向外传播的球面波。
反向,表示向内(即向原点)传播的球面波。
2.3一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
补充:
设已知t=0时刻波函数为,求。
解:
无关,是定态问题。
其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ:
①
Ⅱ:
②
Ⅲ:
③
由于
(1)、(3)方程中,由于,要等式成立,必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程
(2)可变为
令,得
其解为④
根据波函数的标准条件确定系数A、B,由连续性条件,得
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
由归一化条件
得
由三角函数正交性
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
补充:
粒子的一般含时波函数为,在t=0时刻
所以,综上得任意时刻粒子波函数为
2.4.证明(2.6-14)式中的归一化常数是
证:
2.6-14)
由归一化,得
∴归一化常数
2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解:
一维谐振子第一激发态的波函数,。
得几率密度为
对其微分得
由极值条件,令,
可得
由的表达式可知,时,。
显然不是最大几率的位置。
而
即
可见是所求几率密度最大的位置。
#
2.6在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:
,证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证:
在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换,得
②
利用,得
③
比较①、③式可知,满足同样的S-方程,都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
如果体系不存在简并,它们描写的是同一个状态,因此之间只能相差一个常数。
方程①、③可相互进行空间反演而得其对方,由①经反演,可得③,
④
由③再经反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。
⑤
④乘⑤,得
可见,,即
当时,,具有偶宇称,
当时,,具有奇宇称。
如果体系存在简并,对做线性组合:
根据叠加原理,也满足S-方程,且满足
,具有偶宇称,
,具有奇宇称。
S-方程的定态波函数可以表达为(偶宇称)和(奇宇称)的叠加形式。
综上,当势场满足时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。
#
2.7一粒子在一维势阱中运动,
求束缚态()的能级所满足的方程。
补充:
取电子质量,势阱深20eV,a=0.5nm,给出基态(和第一激发态)能级的数值结果并作波出函数和概率密度的图。
解法一:
粒子所满足的定态S-方程为
按势能的形式分区域的具体形式为
Ⅰ:
①
Ⅱ:
②
Ⅲ:
③
整理后,得
Ⅰ:
④
Ⅱ:
.⑤
Ⅲ:
⑥
令
则
Ⅰ:
⑦
Ⅱ:
.⑧
Ⅲ:
⑨
各方程的解为
由波函数的有限性,有
因此
由波函数的连续性,有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得
解此(四元一次)方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式。
注意,系数依赖于未定常数E,即该方程为数学上的本征方程。
要方程组有非零解,必须系数矩阵的行列式为零
∵
∴
即为所求束缚态能级(E)所满足的方程。
注意都依赖于E,做出函数的图,其中束缚态要求0能级的特点:
U0较小(<1/a)且无论多小时,存在且只存在1个束缚态,随U0的增大,束缚态数增加。
由于本征方程的解不定,可以差一个常系数,取B为自由量,将其余系数矩阵(部分)化为(消元法)
所以由B及前三个方程可得(注第四个方程和前三个是自洽的)
即粒子的波函数为
B可由波函数的归一化得出。
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