三角函数基本概念及表示.docx
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三角函数基本概念及表示
第三章三角函数
第一节三角函数及概念
复习要求：
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；
2．三角函数
（1〕借助单位圆理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义；
（2〕借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。
知识点：
1.任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止
位置，就形成角。
旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射
线的端点叫做叫的顶点。
B
A
O
2.角的分类
为了区别起见，我们规定:
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。
3.象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。
那么，角的终边〔除端点外〕落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
|2k2k,kZ
〔1〕第一象限角的集合：
2
〔2〕第二象限的集合：
。
〔3〕第三象限角的集合：
。
〔4〕第四象限角的集合：
4.轴线角
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。
假设角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。
它不属于任何象限,也称为非象限角。
5.终边相同的角
所有与角终边相同的角连同角在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。
记为：
S|k360,kZ或S|2k,kZ。
它们彼此相差
2k（kZ），根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
6.区间角
|
6
6
5
区间角是指介于两个角之间的所有角，如
6
6
。
7，角度制与弧度制
1
角度制：
规定周角的
360为
1度的角，记作
10
，它不会因圆的大小改变而改变，
与r无关
弧度制：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度角，记作
1rad
或1弧
度或1（单位可以省略不写）。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般
地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
8.角的度量
（1〕角的度量制有：
角度制，弧度制
（2〕换算关系：
角度制与弧度制的换算主要抓住180orad。
360o
2，180o
rad，
1o
rad0.01745（rad）1rad（180）o
o
180
，
〔3〕特殊角的弧度
度
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
270o
360o
弧
度
9.弧度数计算公式
在半径为r的圆中，弧长l所对的圆心角的弧度数为||=。
10.弧长公式与扇形面积公式
角度制
弧度制
弧长公
nr
l|
|r
l
式
180
扇形面
n
2
S
1lr
1||r2
r
2
2
S
积
360
〔
是圆心角的弧度数〕
11.三角函数定义
在直角坐标系中，设
是一个任意角，在
的终边上任取一点
P（x,y）
它与
原点的距离
r，那么r
|OP|
x2
y2
0.过作轴的垂线
垂足为,那么线段
OM
的长
度为
x，线段
MP的长度为
y.把：
比值
y
叫做正弦，即
sin
MP
y
；
r
OP
r
比值
x叫做余弦，即
cos
OM
x；
r
OP
r
比值
y
叫做正切，即
tan
MP
y。
x
OM
x
利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点,那么：
〔1〕叫做的正弦,记做,即；〔2〕叫做的余弦,记做,即；
（3〕y叫做的正切,记做,即。
x
12．三角函数在各象限的符号：
是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推
出的
口决：
一全正，二正三切四余
13．三角函数线
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：
这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕。
设单位圆与角的终边的交点P（x,y），
过点作轴交轴于点，过单位圆与x轴的非负半轴交点A作单位圆的切线与角的终边〔或延长线〕交于
点T。
根据三角函数的定义：
sinMPy，cosOMx，tanAT。
我们把有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示
方法。
利用三角函数线在解决比拟三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等
问题时，十分方便。
补充：
特殊角的三角函数值：
0
3
4
3
2
2
6
sin
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
tan
0
1
不存在
0
不存在
cot
不存在
1
0
不存在
0
经典例题
例1写出终边在轴上的角的集合解：
终边在轴上的角的集合是
例2是第三象限角，那么是第几象限角？
答案：
第一，第三，第四象限
例3.〔1〕假设sincos0那么在第象限。
〔2〕假设
sin2,cos2
sin
cos
tan
是第二象限角，那么
2
2
2中能确定为正值的有
个。
答案:
（1）二、四象限
〔2〕为第三第四象限，为第一，第三象限，所以为
1个
例4角的终边上一点P〔-4m,3m），且m<0，求的四个三角函数值答案：
o
60,R10cm例5一扇形的中心角是，所在圆的半径为R，假设，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积
面积:
根底练习题:
1,假设角那么角是第____象限角〔〕
A1B2C3D4
2，是的〔）
A充分不必要B必要不充分
C充分必要D既不充分也不必要
3，角的终边经过点P（-1，2），那么（）
ABCD
第二节三角函数的根本公式
复习要求：
1，理解同角三角函数的关系
2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值
3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式
4，理解二倍角的三角函数
知识点:
一、任意角的三角函数
在角
的终边上任取一点P（x,y），记：
r
x2
y2
，
y
x
sin
cos
正弦：
r余弦：
r
yx
tancot
正切：
x余切：
y
rr
seccsc
正割：
x余割：
y
注：
我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：
如图，与单位圆
有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的根本关系式
倒数关系：
sin
csc
1，cos
sec
1，tan
cot
1。
tan
sin
cot
cos
cos
sin
商数关系：
，
。
平方关系：
sin2
cos2
1，1
tan2
sec2
，1cot2
csc2
。
三、诱导公式
⑴2k（kZ）、
、
、
、2
的三角函数值，等于
的同名
函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
〔口诀：
函数名不变，
符号看象限〕
33
⑵2、2、2、2的三角函数值，等于的异名函数值，前面
加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
〔口诀：
函数名改变，符号看象限〕
四、和角公式和差角公式
sin（
）
sin
cos
cos
sin
sin（
）
sin
cos
cos
sin
cos（
）
cos
cos
sin
sin
cos（
）
cos
cos
sin
sin
tan（
）
tan
tan
1
tan
tan
tan（
）
tan
tan
1
tan
tan
五、二倍角公式
sin2
2sin
cos
cos2
cos2
sin2
2cos2
112sin2
⋯（）
2tan
tan21tan2
二倍角的余弦公式（）有以下常用形：
〔律：
降角，升角〕
1
cos2
2cos2
1
cos2
2sin2
1
sin2
（sin
cos）2
1
sin2
（sin
cos
）2
cos2
1cos2
sin2
1sin2
tan
1
cos2
sin2
2
，
2
，
sin2
1cos2。
六、万能公式〔可以理解二倍角公式的另一种形式〕
2tan
1
tan2
2tan
sin2
2
cos2
tan2
tan2
2
1tan
，
1
，
1tan
。
万能公式告我，角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
七、和差化公式
sinsin2sincos
22⋯⑴
sinsin2cossin
22⋯⑵
coscos2coscos
22⋯⑶
coscos2sinsin
22⋯⑷
了解和差化公式的推，有助于我理解并掌握好公式：
sin
sin
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
sin
sin
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
cos
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
cos
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、化和差公式
sin
cos
1
sin（
）
sin（
）
2
cos
sin
1
sin（
）
sin（
）
2
cos
cos
1
）
cos（
）
cos（
2
sin
sin
1cos（
）
cos（
）
2
我可以把化和差公式看成是和差化公式的逆用。
九、助角公式
asinxbcosx
a2
b2sin（x
）〔〕
其中：
角
的所在的象限与点（a,b）所在的象限相同，
sin
b
cos
a
，tan
b
a2
b2
，
a2
b2
a。
典例：
例1，是第三象限的角，求，解：
例2=3，求以下各式的值〔1）
（2）
答案：
，
例3
解:
例4，
证明:
根底练习：
1，的值是〔〕
ABCD
2，如果是锐角，〔〕
ABCD
3，〔〕
ABCD
4，
ABCD
5，
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