三角函数基本概念及表示.docx

1、三角函数基本概念及表示第三章 三角函数第一节 三角函数及概念复习要求 ：1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2三角函数（1借助单位圆理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义；（2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点：1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置， 绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。BAO2.角的分类为了区别起见，我们规定 :按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 , 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条

2、射线没有做任何旋转 , 我们称它为零角。3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边除端点外落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。| 2 k 2 k , k Z 1第一象限角的集合： 2 2第二象限的集合： 。 3第三象限角的集合： 。 4第四象限角的集合：4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。 假设角的终边落在坐标轴上 , 称这个角为轴线角。它不属于任何象限 , 也称为非象限角。5.终边相同的角所有与角 终边相同的角连同角 在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： S | k 360,k Z 或 S | 2k , k Z 。 它们

3、彼此 相差2k (k Z ) ，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。6. 区间角|66, 5区间角是指介于两个角之间的所有角，如66。7，角度制与弧度制1角度制：规定周角的360 为1 度的角，记作10，它不会因圆的大小改变而改变，与 r 无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角，记作1 rad或 1 弧度或 1( 单位可以省略不写 ) 。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 - ， -2 等等，一般地 , 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0, 角的正负主要由角的旋转方向来决定。8.角的度量（1角的度量制有：

4、角度制，弧度制（2换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住 180orad 。360o2 ， 180orad ，1orad 0.01745(rad ) 1rad (180)oo180， 3特殊角的弧度度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270o360o弧度9.弧度数计算公式在半径为 r 的圆中，弧长 l 所对的圆心角的弧度数为 | |= 。10.弧长公式与扇形面积公式角度制弧度制弧 长 公n rl | rl式180扇 形 面n2S1 l r1 | | r 2r22S积360是圆心角的弧度数11.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，在的终边上任取一点P( x, y

5、), 它与原点的距离r ，那么 r| OP |x2y20 . 过作轴的垂线, 垂足为 , 那么线段OM的长度为x ，线段MP 的长度为y . 把：比值y叫做正弦，即sinMPy；rOPr比值x 叫做余弦，即cosOMx ；rOPr比值y叫做正切，即tanMPy 。xOMx利用单位圆定义任意角的三角函数，设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点, 那么： 1叫做的正弦 , 记做 , 即； 2叫做的余弦 , 记做 , 即；（3 y 叫做的正切 , 记做 , 即。 x12三角函数在各象限的符号 ：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的口决：一全正，二正三切四余13三角函数线以坐标原点为圆

6、心， 以单位长度 1 为半径画圆，这个圆就叫做单位圆 注意：这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米。设单位圆与角 的终边的交点 P( x, y) ，过点作轴交轴于点， 过单位圆与 x 轴的非负半轴交点 A 作单位圆的切线与角 的终边或延长线交于点 T。根据三角函数的定义： sin MP y ， cos OM x ， tan AT 。我们把有向线段 , 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比拟三角函数值大小、 解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。补充： 特殊角的三角函数值：03

7、43226sin010-1cos10-10tan01不存在0不存在cot不存在10不存在0经典例题例1 写出终边在 轴上的角的集合解： 终边在 轴上的角的集合是例2 是第三象限角，那么是第几象限角？答案：第一，第三，第四象限例 3. 1假设 sin cos 0 那么 在第 象限。 2假设sin2 ,cos2,sin,cos,tan是第二象限角，那么222 中能确定为正值的有个。答案 :(1) 二、四象限 2为第三第四象限，为第一，第三象限，所以为1 个例4 角 的终边上一点 P-4m,3m)，且 m0，求 的四个三角函数值答案：o60 , R 10cm 例 5 一扇形的中心角是 ，所在圆的半径

8、为 R，假设 ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积面积 :根底练习题 :1, 假设角那么角 是第 _象限角A 1 B 2 C 3 D 42，是的 )A 充分不必要 B 必要不充分C充分必要 D 既不充分也不必要3，角的终边经过点 P(-1 ，2) ，那么 ()A B C D第二节 三角函数的根本公式复习要求：1，理解同角三角函数的关系2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式4，理解二倍角的三角函数知识点 :一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点 P(x, y) ，记： rx2y2，yxsincos正弦：r余弦：ry xtan cot正切

9、： x 余切： yr rsec csc正割： x 余割： y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数： 如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。二、同角三角函数的根本关系式倒数关系： sincsc1， cossec1， tancot1 。tansincotcoscossin商数关系：，。平方关系： sin 2cos21，1tan 2sec2，1 cot 2csc2。三、诱导公式2k ( k Z ) 、 2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 口诀：函数名不变，符号看象限3 3 2 、 2 、

10、 2 、 2 的三角函数值，等于 的异名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。 口诀：函数名改变，符号看象限四、和角公式和差角公式sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintan()tantan1tantantan()tantan1tantan五、二倍角公式sin 22sincoscos2cos2sin 22 cos21 1 2sin 2 ( )2tantan21 tan2二倍角的余弦公式 ( ) 有以下常用 形： 律：降 角，升 角1cos22cos21cos22sin 21sin 2(

11、sincos )21sin 2(sincos) 2cos21 cos2sin 21 sin 2tan1cos2sin 22，2，sin 21 cos2 。六、万能公式可以理解 二倍角公式的另一种形式2 tan1tan22 tansin 22cos2tan2tan 221 tan，1，1 tan。万能公式告 我 ， 角的三角函数都可以用半角的正切来表示。七、和差化 公式sin sin 2 sin cos2 2 sin sin 2 cos sin2 2 cos cos 2 cos cos2 2 cos cos 2sin sin2 2 了解和差化 公式的推 ，有助于我 理解并掌握好公式：sinsin

12、2sincoscossin22222sinsin2sincoscossin22222两式相加可得公式，两式相减可得公式。coscos2coscossinsin22222coscos2coscossinsin22222两式相加可得公式，两式相减可得公式。八、 化和差公式sincos1sin()sin()2cossin1sin()sin()2coscos1)cos()cos(2sinsin1 cos()cos()2我 可以把 化和差公式看成是和差化 公式的逆 用。九、 助角公式a sin x b cosxa2b 2 sin(x) 其中：角的 所在的象限与点 (a,b) 所在的象限相同，sinbcosa， tanba 2b 2，a2b2a 。 典例 ：例1 ，是第三象限的角，求，解：例2 =3，求以下各式的值 1) (2)答案： ，例3解:例4，证明 :根底练习：1，的值是A B C D2，如果是锐角，A B C D3，AB C D4，A B C D5，