专题三 反比例函数中的直角三角形问题 中考数学冲刺难点突破 反比例函数问题解析版.docx

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专题三反比例函数中的直角三角形问题中考数学冲刺难点突破反比例函数问题解析版

2020年中考数学冲刺难点突破反比例函数问题

专题三反比例函数中的直角三角形问题

1、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．

（1）求k的值；

（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

【答案】

（1）y=，y=2x+4；

（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）

3、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．

解：

（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，

∴a＝3×2＝6，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵点A的纵坐标为6，

∵点A在反比例函数y＝图象上，

∴A（1，6），

∴，

∴，

∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；

（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，

设BC与AO交于E，则E（，3），

∴AE＝OE＝D1E＝，

∵E（，3），

∴D1的坐标为（，3）；

②当∠OAD2＝90°时，

可得直线AD2的解析式为：

y＝﹣x+，

当y＝3时，x＝19，

∴D2的坐标为（19，3），

综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）

4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．

（1）求∠OCD的度数；

（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；

（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．

解：

（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，

解得，

∴y＝﹣x+m+1，

令x＝0，得到y＝m+1，

∴D（0，m+1），

令y＝0，得到x＝m+1，

∴C（m+1，0），

∴OC＝OD，

∵∠COD＝90°，

∴∠OCD＝45°．

（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，

∵P（m，1）和Q（1，m），

∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，

∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，

∴△OMQ≌△ONP（SAS），

∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，

∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，

∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，

∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，

∵∠OCD＝∠ODC＝45°，

∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，

∴DQ＝PC＝，

∵OC＝OD＝m+1，

∴CD＝OC＝，

∵CD＝DQ+PQ+PC，

∴＝2+2，

∴m＝+1；

（3）如图3，

∵四边形BAPQ为平行四边形，

∴AB∥PQ，AB＝PQ，

∴∠OAB＝45°，

∵∠AOB＝90°，

∴OA＝OB，

∴矩形OAMB是正方形，

∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，

∴M（，），即OA＝OB＝，

∵AB＝PQ，

∴，

解得：

m＝或（舍），

∴OA＝OB＝＝＝＝．

5、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求DC的长；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，

∴k＝﹣2，

∴反比例函数的解析式为：

；

（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，

∴B（﹣1，2），

∴AM＝BM＝2﹣1，

∴∠BAM＝45°，

∵∠BAC＝75°，

∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，

∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；

（3）存在，

如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，

∴OE＝OC＝，

①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：

OP1＝AD＝2，

∴P1（﹣2，0），

②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴

则，

综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．

6、如图①，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BC∥x轴（点C在点B的右侧），且BC＝m，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点E．

（1）求b的值和反比例函数的解析式；

（2）填空：

不等式﹣x+b＞的解为　　；

（3）当OC平分∠BOD时，求的值；

（4）如图②，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标．

（1）将A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，

解得：

b＝9，

将A（2，6）代入y＝得，k＝12，

∴反比例函数的解析式为：

y＝；

（2）当y＝3时，3＝，

解得：

x＝4，

∴B（4，3），

由图象可知不等式﹣x+b＞的解为：

2＜x＜4，

故答案为：

2＜x＜4；

（3）将B（a，3）代入y＝得，＝3，

解得：

a＝4，

∵OC平分∠BOD，

∴∠BOC＝∠COD，

∵BC∥x轴，

∴∠BCO＝∠COD，

∴∠BOC＝∠BCO，

∴OB＝BC，

∵B（4，3），

∴OB＝BC＝5，

∴C（9，3），

∴E（9，），D（9，0），

∴DE＝，CE＝3﹣＝，

∴＝＝；

（4）作AH⊥BC于H，则H（2，3），

∴AH＝3，BH＝2，

∵四边形ABDF为平行四边形，

∴AB∥DF，AB＝DF，

∴∠CFD＝∠CBQ，

∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，

∴∠CFD＝∠ABH，

∴△ABH≌△DFC（AAS），

∴CF＝BH＝2，

∵F是BC中点，

∴BF＝CF＝BC＝2，

∵B（4，3），

∴F（6，3）．

7、定义：

在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移．已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点．

（1）当n＝3时，点B的坐标是　　，点M的坐标是　　；

（2）如图1，当点M落在y＝的图象上，求n的值；

（3）如图2，当点M落在直线l上，点C是点B关于直线l的对称点，BC与直线l相交于点N．

①求证：

△ABC是直角三角形；

②当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长．

解：

（1）根据平移的性质，点A（1，0）经过n次斜平移得到点B的坐标为（1+n，2n），

∴当n＝3时，点B的坐标是（4，6），

∵点M是线段AB中点，

∴点M的坐标是（2.5，3），

故答案为：

（4，6），（2.5，3）

（2）由题意，A（1，0），B（1+n，2n），

∴线段AB中点M（，n），

∵点M落在y＝的图象上，

∴×n＝4，

解得n＝2或n＝﹣4（舍去），

∴n＝2；

（3）①连接CM，如图1，

∵M是AB的中点，

∴AM＝BM，

由轴对称可知：

BM＝CM，

∴AM＝CM＝BM，

∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，

∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°，

∴∠ACM+∠MCB＝90°，即∠ACB＝90°，

∴△ABC是直角三角形；

②∵点C的坐标为（5，3），点A（1，0），

∴AC＝＝5，

∵点C是点B关于直线l的对称点，

∴BN＝CN，

∵点M是线段AB的中点．

∴AM＝BM，

∴MN＝AC＝．

8、如图

（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；

（2）如图

（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；

（3）当变化的正方形ABCD与

（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．

解：

（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ODC+∠EDA＝90°．

∵∠ODC+∠OCD＝90°，

∴∠EDA＝∠OCD，

在△AED和△DOC中

，

∴△AED≌△DOC（AAS），

∴OD＝EA＝5，

∴点D的纵坐标为5；

（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，

设OD′＝a，OC′＝b，

同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，

∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，

∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），

∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，

∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，

∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），

∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；

（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，

把A′（2，4），B′（4，2）代入得

，

解得，

∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，

同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，

由

（2）可知△OCD是等腰直角三角形，

设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），

当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，

此时点A的坐标为（，），

∴k＝×＝；

当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），

∴k＝6×12＝72；

综上可知：

当变化的正方形ABCD与

（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．

9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．

（1）填空：

一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．

解：

（1）∵点A（m，1）和B（1，﹣3）在反比例函数的图象上，

∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，

∴m＝﹣3，

∴点A（﹣3，1），

∴反比例函数解析式为：

y＝；

∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），

∴﹣3＝﹣1+b，

∴b＝﹣2，

∴一次函数解析式为：

y＝﹣x﹣2；

故答案为：

y＝﹣x﹣2，；

（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，

设点P的坐标为（x，0），

∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，

∵∠APB＝90°，

∴∠APC+∠BPD＝90°，

又∵∠APC+∠CAP＝90°，