小学五年级奥数经典题.docx

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小学五年级奥数经典题

小学五年级奥数经典题——几何竞赛题的特殊解法

几何竞赛题的特殊解法

　　几何形体知识是小学数学的重要内容，对常规的几何题学生比较容易解答，但是对有一定难度的竞赛题，指导学生解题时，要引导学生认真地观察图形的形状、位置，抓住图形的主要特征，选择适当的方法进行分析，思考，从而找出解决问题的途径。

　　一、等量代换法

　　例1如图1，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍。

求阴影部分的面积。

　　分析从所给的条件来看，不知道△ADE任何一条边及其所对应的高，因此很难直接求出△ADE的面积。

只能从已知面积的部分与所求图形面积之间的关系来着手分析。

由题意可知四边形DEFC为平行四边形，所以连接E、C点，△DEC的面积为平行四边形面积的一半。

根据同底等高的三角形面积相等，可知△AED与△DEC的面积相等，而△DEC的面积等于平行四边形面积的一半，因此，△ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。

问题即可解决。

　　列式：

56÷2÷2=14（平方厘米）

　　二、转化法

　　例2如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。

　　如图2，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长。

　　（第三届小学生数学报竞赛决赛题）

　　分析把三角形ABF和三角形DEF分别加上四边形BCDF，那么它们分别转化成长方形ABCD和三角形BCE。

根据三角形ABF比三角形DEF的面积大30平方厘米，把它们分别加上四边形BCDF后，即转化成长方形ABCD比三角形BCF的面积大30平方厘米。

先求出三角形BCE的面积，根据三角形的面积和BC的长度，求出CE的长度，DE的长度即可求出。

列式：

（15×8-30）×2÷15-8=4（平方厘米）

　　三、假设法

　　例3图3中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角三角形的面积为7平方厘米，那么中间三角形（阴影部分）的面积是____平方厘米。

　　（1996年小学数学奥林匹克竞赛初赛B卷题）

　　分析因为长方形的面积为35平方厘米，不妨假设AB=5厘米，AD=7厘米，因为S△ABE=5平方厘米，所以BE=5×2÷5=2厘米，EC=7-2=5厘米，同理：

DF=7×2÷5=2厘米，CF=5-2=3厘米，那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米，阴影部分面积即可求出。

列式：

35-（7+5+7.5）=15.5（平方厘米）

小学五年级奥数经典题——几何竞赛题的特殊解法

（2）

　　四、巧用性质

　　例4如图4，三角形ABC是直角三角形，已知阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积小23平方厘米，BC的长度是多少?

（π=3.14）

　　（北京市第三届迎春杯数学竞赛试题）

　　分析此题初看似乎无法解答，因为阴影部分（Ⅰ）、（Ⅱ）都是不规则图形，但仔细观察，不难看出，阴影（Ⅰ）是半圆的一部分，阴影（Ⅱ）是三角形ABC的一部分，根据“差不变的性质”可以把（Ⅰ）和（Ⅱ）分别加（Ⅲ），分别得到半圆和△ABC，它们的面积差不变，这样就可以求出三角

　　×

　　2÷20=18（厘米）

　　五、参数法

　　例5将图5（a）中的三角形纸片沿着虚线折叠的粗实图形面积（图b）与原三角形的面积比为2∶3，已知图（b）中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为______。

　　（1988年北京市小学数学邀请赛复赛题）

　　分析图b中重叠部分是不规则的四边形，很难直接求出它的面积。

从图b中可以观察阴影部分面积加上空白部分面积的2倍等于原三角形的面积，实线部分的面积应为空白部分面积加上1，根据这一等量关系可以列方程。

设空白部分面积为x，（x+1）∶（2x+1）=2∶3，x=1。

　　六、用比例解

　　例6如图6，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60厘米，CE=40厘米，DE=30厘米，AE=80厘米。

问丙、丁两个三角形的面积之和是甲、乙两个三角形的面积之和多少倍?

（第三届华罗庚金杯赛决赛题）

　　分析从图中可以看出甲、丁都在△ADC中，所以两个三角形的高相等，乙和丁都在△ABC中，所以两个三角形的高也相等。

根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长之比，那么：

　　S甲∶S丁=AE∶EC=80∶40=2∶1S甲=2S丁

　　S乙∶S丁=BE∶DE=60∶30=2∶1S乙=2S丁

　　S甲+S乙=4S丁

　　S丙∶S甲=BE∶DE=60∶30=2∶1S丙=2S甲=4S丁

　　所以，（S丙+S丁）∶（S甲+S乙）

　　=（4S丁+S丁）∶（S甲+S乙）=5S丁÷4S丁

小学五年级奥数经典题——合理摘录巧妙推导

合理摘录巧妙推导

　　解答应用题要讲究方法，方法对头就能事半功倍。

小学生抽象思维能力较差，往往不易弄清题中条件间的关系，条件与问题的联系，引导学生合理摘录题中数据进行分析，巧妙进行推导，就容易解决题中问题。

　　例1把一些图书分给六年级一班的男同学，平均分给每个男同学若干本后，还剩14本，如果每人分9本，这样最后一个男同学只能得6本，六

（1）班的男生有（）人。

　　分析我们将题中的条件和问题组成的主要数量关系用式子摘录如下：

　　为了书写简便，我们用题中的关键字“书”和“男”分别表示“图书总数”和“男同学人数”，用□表示不知道的量。

　　从上面的两个数量关系式中找不到解题的突破口。

不妨将两式变化，如下：

　　从这两个式子得到：

　　□×男+14=9×男-3

　　（9-□）×男=17

　　“9-□”得到的是图书的本数，应该是整数，“男”也必须是整数，而且不能为“1”。

而17=17×1，因此“男”只能为17。

六

（1）班的男生为17人。

　　例2有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：

“后面有自行车吗?

”司机答道：

“10分钟前我超过一辆自行车。

”这个人继续走10分钟，遇到自行车。

已知自行车速度是步行速度的3倍，问汽车速度是步行速度的（）倍。

　　分析这是一道行程问题，用线段图摘录题中条件，表示各数量间关系比较合适。

摘录如下：

　　已知自行车的速度是步行的3倍，则在相同的时间里，自行车行的路程是步行的3倍。

如果将步行10分钟的路程看作1倍的量，那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。

在线段图中标出这些倍数，观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。

因此，汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍，则汽车的速度是步行速度的7倍。

小学五年级奥数经典题——合理摘录巧妙推导

（2）

　　例3一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，可以比原定时

10分到达乙地。

那么甲乙两地相距（）千米。

　　分析题中给的数量较多，而且数量间的关系不明显。

我们根据“速度×时间=路程”这个关系式列表分析推导如下：

　　速度×时间=路程

　　原来　　1　　　　　　1　　　　　1

　　变化一　1+25%　　　　①　　　　1

　　根据表中变化一可求出①，即现在所用时间为原时间的1÷（1+25%）

　　而变化二实际只提前10分，相差（30-10=）20（分），这是“将速度

千米所用时间为：

　　原速度为：

80÷80=1（千米）

　　甲乙两地相距为：

1×120=120（千米）

小学五年级奥数经典题——表针追及问题分析

表针追及问题分析

　　“时针12时整，时针和分针重合，问经过多长时间两针又重合呢?

”一般可根据“1分，分针比时针多转动的角度数”和“1时，分针比时针多走的圈数”给出两种解答的方法。

在此，我们用高观点来分析这道题。

　　我们把时针12时整，时针和分针重合，看作它们相距一周，也就是分针60分的距离，两针再次重合，就可以看成是分针“追赶”时针的问题。

分针先走完一圈，所需时间为60分，由于分针的速度是时针速度的12倍，这时

　　针，分针又必须走完这5分的路程，而这时时针又向前走了“相当于”分针

　　分针“追上”时针，亦即两针再次重合所需的时间，就是分针走完各段所需

五年级奥数题及答案：

计数问题

　　五年级奥数题及答案：

计数问题

　　1.计数问题

　　有10个同学参加羽毛球比赛，每两人都恰好比赛一场，总共要进行多少场比赛？

　　解答：

先从10个同学中选出两人，然后让他们比赛即可，选两人有种方法，所以最后要进行45场比赛。

　　【小结】简单的计数问题，注意选出的两人没有顺序关系，先选出谁都可以，所以式子中要除以2。

　　2.计数问题

　　有20支球队进行秋季足球联赛，每两队之间都比赛两场（主客场），总共要进行多少场比赛？

　　解答：

选出两个队有20×19÷2=190种方法。

　　共要进行190×2=380场比赛。

　　【小结】注意每两个队之间要举行两场比赛。

五年级奥数题及答案：

平均数问题

　1.平均数问题

　　用1,2,3三张数字卡片，可以组成6个不同的3位数，它们的平均数是？

　　解答：

这6个不同的三位数分别是

　　123,132,213,231,312,321，

　　它们的和是1332，

　　所以平均数是1332÷6=222

　　【小结】本题是排列和平均数的综合应用。

　　2.平均数问题

　　用5,6,7,8,9五张数字卡片，可以组成多少个不同的五位数，它们的平均数是？

　　解答：

这些5位数共有5×4×3×2×1=120个。

　　这些数中，5在万位上、千位上、百位上、十位上、个位上依次出现24次，其他的数字类似。

这些数的和是（5+6+7+8+9）×（10000+1000+100+10+1）×24=9333240

　　平均数是9333240÷120=77777

　　【小结】计算这些数的和时可以从各个数字分别考虑。

五年级奥数题及答案：

计算

　　五年级奥数题及答案：

计算

　　1.计算

   解答：

   【小结】分数的计算中要熟练掌握裂项的技巧，并注意到底哪些项可以抵消。

　　2.计算

   解答：

　　【小结】裂项的技巧在竞赛题的计算中运用很多。

小学五年级奥数经典题——整数分拆

　奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。

下面是奥数网小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。

整数分拆

　　整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。

所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。

整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个（或两个以上）自然数的和，并使这些自然数的积最大（或最小）;或拆成若干个连续自然数的和等等。

下面举例作出剖析。

　　例1将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆?

　　分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。

经计算，容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7×7=49。

　　例2将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：

1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。

显见，将15分拆成7+8时，有最大积7×8=56。

　　注：

从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有最大积m×（m+1）。

　　例3将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1），这样得到的积才最大。

这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。

　　例4将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

　　首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

　　其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。

比如5=2+3，但5比2×3=6小。

　　又因为4=2×2，因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。

　　注意到2+2+2=6，2×2×2=8;3+3=6，3×3=9.因此，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。

这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

　　综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的最大积3×3×3×3×2=162。

　　上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的积最大的问题。

下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数的问题。

　　例5将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法?

　　分析与解因1994=997×2=492+493+494+495，仅一种方法。

所以，该题有唯一解。

　　例6将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法?

　　分析与解由于35=5×7=7×5，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。

小学五年级奥数经典题——比和比例应用题

奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。

下面是奥数网小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。

“比和比例”应用题

　　例1某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4∶5∶6。

现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个?

　　错解由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4∶5∶6，推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6∶5∶4，用按比例分配的思路解。

　　评析上述解答错在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6∶5∶4。

诚然，如果甲、乙二人工作时间的比是4∶5，那么，甲、乙二人工作效率的比就是5∶4，这是正确的。

但是，把甲、乙、丙三人工作时间的连比是4∶5∶6转化成甲、乙、丙三人工作效率的连比是6∶5∶4，那就大错了!

不错，工作效率的比等于工作时间比的反比。

从已知条件看，甲、乙二人工作时间的比是4∶5，所以，甲、乙二人工作效率的比是5∶4;乙、丙二人工作时间的比是5∶6，所以，乙、丙二人工作效率的比是6∶5。

这里的“5∶4”表示甲5份，乙4份，“6∶5”表示乙6份，丙5分，两个比都是两重相比，其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同，我们怎么能将这两个比直接变成甲、乙、丙三人工作效率的连比呢?

显然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的连比看成是6∶5∶4，是错误的。

　　容易看出，因为5∶4=15∶12，6∶5=12∶10，所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5∶4，乙、丙二人工作效率的比是6∶5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15∶12∶10。

　　例2有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，乙瓶盐水盐与水重量的比是1：

5。

现将两瓶盐水并在一起，问在混合后的盐水中盐与水重量的比是多少?

　　错解认为在甲瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，将两瓶盐水并在一起，便得到盐的重量是（1+1=）2，水的重量是（8+5=）13。

　　（1+1）∶（8+5）=2∶13

　　答：

在混合后的盐水中盐与水重量的比是2∶13。

　　评析上述解答的主要错误是把两种物质重量的最简比，看成了就是两种物质具体重量的比。

甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，不等于说在这瓶盐水中盐的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情况也是一样。

从已知条件可以看出，在甲瓶盐水中，盐有1份，水有8份，盐和水一共有（1+8=）9（份），在乙瓶盐水中，盐有1份，水有5份，盐和水一共有（1+5=）6（份）。

因为两瓶盐水是“同样重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少是不相同的。

上述解答简单地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加，然后再将两个“和”组成一个比，便造成了解答的错误。

　　正确的解答是：

1∶8=2∶16，2+16=18;

　　1∶5=3：

15，3+15=10。

（2+3）∶（16+15）=5：

31

　　答：

在混合后的盐水中盐与水重量的比是5∶31。

五年级小学奥数题及答案：

数论问题

五年级小学奥数题及答案：

数论问题

　　1.数论问题

　　写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

　　解答:

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数（除0外）有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数。

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

　　2.数论问题

　　甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?

五年级小学奥数题及答案：

几何问题

　　1.几何问题

　　2.几何问题

　　如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

　　解答:

如下图所示

　　可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，而这个正方形与图17-12中的正方形形状、大小相同．

　　每个正方形的面积为（1×1÷2）×4=0.5×4=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为2×4=8平方厘米．

五年级小学奥数题及答案：

数字谜

1.数字谜

　　有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少?

　　解答:

设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍．

　　2.数字谜

　　将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入下图中的9个圆圈内，使其中一条边上的4个数之和与另一条边的4个数之和的比值最大．那么这个比值是多少?

　　解答:

为了使比值尽可能的大，那么一边应尽可能的小，另一边尽可能的大．

　　有两种情况：

五年级小学奥数题及答案：

平均数问题

　　1.平均数问题

　　期末考试中，小明语文、数学的平均成绩是90分，算上英语成绩后，总的平均分是92分，求小明英语考了多少分？

　　解答：

92×3-90×2=96（分）

　　【小结】平均数问题从总数角度考虑是解决问题的重要手段。

　　2.平均数问题

　　1,2,3,,,,999这999个数的平均数是多少？

   解答：

五年级奥数题及答案：

整除

1.整除

　　一个多位数，它的各数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小值是多少？

　　解答：

数位尽可能少，但两位数不可能，考虑三位数。

把13拆成两个数，这两个数之差是11的整

　　数倍，则只有12-1=11，三位数两奇一偶，因此奇数位数字和为12，使百位尽可能小，为3，对应319为满足条件的最小值。

　　2.整除

   解答：

五年级奥数题及答案：

整除问题

1.整除问题

　　某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是多少？

　　解答：

320

　　2、3、4、5、6、7、8、9

　　的最小公倍数是5×7×8×9=2520

　　所以七位数1993□□□被2520整除。

　　又1994000÷2520=791…680

　　所以七位数1994000-680=1993320能被2520整除。

它的最后三位是320

　　2.整除性质

　　有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。

1号同学写了一个自然数，2号说：

"这个数能被2整除"，3号说：

"这个数能被3整除"，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

（2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。

　　解答：

（1）8和9说得不对；

（2）60060

（1）首先可以判定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对。

不然，其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对。

这个数能同时被2、5，3，4和2、7整除，则一定能被10、12、14整除，从而编号为10、12、14的同学说得对。

由"两个连续编号的同学说得错"知，11，13，15号也说得对。

因此，说的不对的两个同学的编号是8和9.

（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，因为

　　[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，

　　15]=60060.因为60060是一个五位数，而上述12个数的其它公倍数不是五位数，所以1号同学写的数就是60060

 五年级奥数题及答案：

勾股定理

　1.勾股定理

　　观察下列各组数，能够构成直角三角形三边的有哪些？

并说明理由。

（1）3,4,5；

（2）5,12,13；（3）6,10,15；（4）7,24,25

　　2.勾股定理的应用

　　已知一个等腰直角三角形的斜边C长为12，求这个直角三角形斜边上的高。

五年级奥数题及答案：

完全平方数

　1.完全平方数的性质

　　写出1~100的自然数中有奇数个约数的个数有多少个？

　　2.整除和完全平方数

五年级奥数题及答案：

整除

1.整除

　　一个多位数，它的各数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小值是多少？

　　解答：

数位尽可能少，但两位数不可能，考虑三位数。

把13拆成两个数，这两个数之差是11的整

　　数倍，则只有12-1=11，三位数两奇一偶，因此奇数位数字和为12，使百位尽可能小，为3，对应319为满足条件的最小值。

　　2.整除

   解答：

五年级奥数题及答案：

整除问题

　1.整除问题

　　某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是多少？

　　解答：

320

　　2、3、4、5、6、7、8、9

　　的最小公倍数是5×7×8×9=2520

　　所以七位数1993□□□被2520整除。

　　又1994000÷2520=791…680

　　所以七位数1994000-680=1993320能被2520整除。

它的最后三位是320

　　2.整除性质