高中数学排列组合经典练习答案.docx
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高中数学排列组合经典练习答案
高中数学-排列与组合习题
1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）
A.40B.50C.60D.70
c3
［解析］先分组再排列，一组2人一组4人有C2=15种不同的分法；两组各3人共有C2=10种不
同的分法，所以乘车方法数为25X2=50，故选B.
2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）
A.36种B.48种C.72种D.96种
［解析］恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A3a4=72种排法，故选C.
3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）
A.6个B.9个C.18个D.36个
［解析］注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数
字共有C!
=3（种）选法，即1231,1232,1233，而每种选择有a2Xc3=6（种）排法，所以共有3X6=18（种）情况，即这样的四位数有18个.
4.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）
A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人
［解析］设男生有n人，则女生有（8—n）人，由题意可得CnC8-n=30,解得n=5或n=6，代入验证，可知女生为2人或3人.
5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼
到三楼用8步走完，则方法有（）
A.45种B.36种C.28种D.25种
［解析］因为10七的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么
共有C2=28种走法.
6.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同
一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）
A.24种B.36种C.38种D.108种
［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，
第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C3种分法，然后再分到两部门去
共有CJa!
种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各
4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C1种方法，由分步乘法计数原理共有2C3A2
C3=36（种）.
7.已知集合A=⑸，B={1,2},C={1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中
点的坐标，则确定的不同点的个数为（）
A.33B.34C.35D.36
［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C2A3=12个；
2所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有c2a3+a3=18个；
3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C1=3个.
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个，故选A.
&由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）
A.72B.96C.108D.144
［解析］分两类：
若1与3相邻，有A2C3A2A2=72（个），若1与3不相邻有A3a3=36（个）
故共有72+36=108个.
9.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求
甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）
A.50种B.60种C.120种D.210种
［解析］先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：
（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、
（5,6）、（6,7），甲任选一种为C6，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法c6a5=120种，故选C.
10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在
5月1日和2日，不同的安排方法共有种.（用数字作答）
［解析］先安排甲、乙两人在后5天值班，有A2=20（种）排法，其余5人再进行排列，有A5=120（种）排法，所以共有20X120=2400（种）安排方法.
11.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不
同的排法.（用数字作答）
［解析］由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C9C2C3=1260（种）排
法.
12.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服
务，不同的分配方案有种（用数字作答）.
c2c2
［解析］先将6名志愿者分为4组，共有"A歹种分法，再将4组人员分到4个不
C2c2
同场馆去，共有A4种分法，故所有分配方案有：
CAC4a4=1080种.
13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域
不同色，有种不同的种法（用数字作答）.
［解析］5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法.若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，•••有4X3X2X（1X2+1X1）=72种.
14.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号
为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有匚匸种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有
1S
种，故选B.
甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A；（A：
A3A3A；）种方法
故共有1008种不同的排法
16.
由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
解析：
先选一个偶数字排个位，有3种选法
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A|A；=12个
算上个位偶数字的排法，共计3（24+12）=108个
答案：
C
17.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表
示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数
为
A.10B.11C.12D.15
【解析】与信息0110至多有两个对应位苴上的較字相同的信息包抵三类…
第一貼与信慝0110有两个对应位直上的数字梱司有c；"（Ah
第二真：
与信恳0110苟一个对应竝簞上的歌爭相同有C；=4（令
吳三建0110没肓一个对应慢■上的馥宇相同有CA1（个办
与佰Mono至勢脊两个对应位■上的数宇相同的價思•育6+4+m£个人故5SB…
【命題意图】本题肴査组合旬題与分题法计散原理廉中档题.2
18.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、
礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙
丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A.152B.126C.90D.54
【解析】分类讨论：
若有2人从事司机工作，则方案有C3A18;若有1人从事司机工作，则方
名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（D）
乙组中选出一名女生有C；C6C2120种选法.故共有345种选法.选D
分在同一个班的有a3种，所以种数是c2a；a330
解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,（A共有C|a|6种不同排法），
剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况:
此时共有6A；=12种排法
【解析】解析由条件可分为两类：
一类是甲乙两人只去一个的选法有:
21
乙都去的选法有C2C7=7,所以共有42+7=49，即选C项。
23.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相
邻，则不同排法的种数是
A.360B.188C.216D.96
222112222
解析2：
由题意有2A2（C3A2）C2C3A（C3A2）A188,选B。
24.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分
在同一组的概率为
（）
1
3
1
1
A•
B•
C•—
D•-
55
55
4
3
解析因为将
12
个组分成
4个组的分法有
C12C8C4种，而3个强队恰好被分在冋一组分法有
A3
cUVc：
2,
故个强队恰好被分在同一组的概率为c3c9c4c4a2c142c8c：
a3=
3
-。
A；
55
25.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的
位置，则不同的站法种数是（用数字作答）•
3
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有Ay种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共
12
有C3Ay种，因此共有不同的站法种数是336种.
26.
锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相
取得个数分别按1.1.2;1,2,1;2,1,1三类，故所求概率为
c6c5c：
c6
27.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种
【解析】分两步完成：
第一步将
4名大学生按，2,1,1分成三组，其分法有
c：
c2C11
；第二步将
（用数字作答）•
3
分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A3所以满足条件得分配的方案有
28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个
数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）
A.10种B.20种C.36种D.52种
解析：
将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的
个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：
①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C44
2
种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C46种方法；则不同的放球方法有
10种，选A.
29.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案
有
（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种
解析：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分
C1c2
成三组，一组1人，另两组都是2人，有亠'15种方法，再将3组分到3个班，共有15A；90
A
种不同的分配方案，选B.
30.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和
丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种
解析：
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，
甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①甲、丙同去，则乙不去，有CfA4=240种选法；
②甲、丙同不去，乙去，有C；A：
=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A；120种选法，共有
600种不同的选派方案.
31.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有个（用
数字作答）.
解析：
可以分情况讨论：
①若末位数字为0,则1,2，为一组，且可以交换位置，3,4,各为1个
数字，共可以组成2A12个五位数；②若末位数字为2,则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2A4个五位数；③若末位数字为4,则1,2,为一组，且可以交换位置，3,0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2（2A；）=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
32.有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮,
但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的
信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？
［解析］因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C3种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2X2X2=
8（种）方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有Cix2X2X2=160（种）.
33.按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法?
3个不同车间.
（1）各组人数分别为2,4,6个；
（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入c4fc4c4
［解析］
（1）C%C40C6=13860（种）;
（2）CA3=5775（种）;
（3）分两步：
第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有
C?
2C4c4=34650（种）不同的分法.
34.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
⑶男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？
⑷男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排
法？
［解析］
（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有
a6a4种不同排法.
（2）方法一：
甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A9种排法，若甲不在末位，则甲
有A3种排法，乙有A1种排法，其余有a8种排法，
综上共有（A9+a8a1a8）种排法.
方法二：
无条件排列总数
甲在首，乙在末A8
a〔8—甲在首，乙不在末A9-a8
甲不在首，乙在末A9-A8
甲不在首乙不在末，共有（A10—2A9+A8）种排法.
（3）10人的所有排列方法有A〔0种，其中甲、乙、丙的排序有A3种，又对应甲、乙、丙只有一种
A10
排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有等种.
（4）男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好
1
是这二者之和，因此满足条件的有2a18种排法.
35.已知m,n是正整数，f（x）（1x）m（1x）n的展开式中x的系数为7,
（1）试求f（x）中的x2的系数的最小值
（2）对于使f（x）的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数
解：
根据题意得：
CmC：
7，即mn7
（1）
（3）
222x的系数为CmCn
利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.01）
m（m1）n（n1）m2n2mn
222
将
（1）变形为n7m代入上式得:
x2的系数为m27m21（m7）235
24
故当m3或4时，x2的系数的最小值为9
（1）当m3,n4或m4,n3时，x3的系数为为C；C：
5
2）f（0.003）
2.02
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