高中数学排列组合.docx
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高中数学排列组合
本次课题
排列组合
教学目标
考点分析
掌握排列和组合的区别
掌握常见的插空法、特殊优先法、捆绑法分析问题
教学重点
与难点
组合、排列、分类综合分析
知识回顾：
知识回顾：
1.分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
1.排列
（1）排列的概念：
从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数的定义：
从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A
表示.
（3）排列数公式
A
＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）.
（4）全排列数公式
A
＝n（n－1）（n－2）…2·1＝n！
（叫做n的阶乘）.
2.组合
（1）组合的定义：
一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数的定义：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C
表示.
（3）组合数公式
C
＝
＝
＝
（n,m∈N*,且m≤n）.特别地C
＝1.
（4）组合数的性质：
①C
＝C
;②C
＝C
＋C
.
排列与组合,排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与顺序无关即是组合.
（1）排列数公式A
＝
（2）组合数公式C
＝
利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数.
①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中体现“有序”和“无序”.
②要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果.
求解排列组合问题的思路：
“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.”
例题：
[第4页第1题]18选2-3A 某班有28名男生,20名女生,从中选一名同学任数学课代表,则不同的选法种数为（ ）
A.28 B.20 C.48 D.560
[第4页第2题]18选2-3A 某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为（ ）
A.8 B.15 C.18 D.30
[第5页第4题]18选2-3A 如图,在由开关组A与B所组成的电路中,闭合开关使灯泡发光的方法种数是________.（规定只能合上一个开关）
[第203页第1题]L7 （2016课标全国Ⅱ,5,5分）如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9
[第5页第6题]18选2-3A 已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标,则可确定的不同点的个数为（ ）
A.5 B.6 C.10 D.12
[第5页第7题]18选2-3A 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有（ ）
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
[第5页第8题]18选2-3A 5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则报名方法共有________种.
[第5页第9题]18选2-3A 从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个?
（1）三位数;
（2）三位偶数.
[第5页第10题]18选2-3A 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有（ ）
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
[第5页第11题]18选2-3A 在2016年奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须要在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.
[第5页第3题]18选2-3A （2017浙江杭州模拟,★★☆）如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
A.60 B.48 C.36 D.24
[第5页第4题]18选2-3A （2016河北衡水期中,★☆☆）将3个不同的小球放入4个不同的盒子中,则不同的放法种数为（ ）
A.81 B.64 C.12 D.14
[第5页第5题]18选2-3A （2016湖北武汉二中期末,★★☆）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有（ ）
A.120个 B.80个 C.40个 D.20个
[第5页第6题]18选2-3A （2016河北衡水检测,★★☆）四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.24
[第6页第8题]18选2-3A （2016湖北江陵实验中学测试,★★☆）在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦,则共有________种不同的试种方案.
[第11页第2题]18选2-3A
=9×10×11×12,则m=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
[第11页第3题]18选2-3A 下列各式中与排列数
相等的是（ ）
A.
B.n（n-1）（n-2）…（n-m） C.
D.
·
[第11页第6题]18选2-3A 若
=89,则n=________.
[第11页第7题]18选2-3A 三个不同元素A、B、C之间所有排列的种数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
[第11页第8题]18选2-3A 3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本,不同的选法数为 （ ）
A.3 B.24 C.34 D.43
[第11页第9题]18选2-3A 某段铁路线上有132种普通车票,那么这段铁路线上共有车站 （ ）
A.8个 B.12个 C.16个 D.24个
[第11页第10题]18选2-3A 8名学生站成两排,前排3人,后排5人,则不同的站法共有（ ）
A.
种 B.种 C.（
+
）种 D.
种
[第11页第11题]18选2-3A 从a,b,c,d,e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛,但a不能参加物理竞赛,则不同的选法种数为（ ）
A.16 B.12 C.20 D.10
[第11页第12题]18选2-3A 要为5名志愿者和受到他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有（ ）
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
[第11页第13题]18选2-3A 高三
（1）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是（ ）
A.1800 B.3600 C.4320 D.5040
[第12页第18题]18选2-3A 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法?
（1）两名女生必须相邻而站;
（2）4名男生互不相邻;
（3）若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站;
（4）老师不站中间,女生不站两端.
[第12页第1题]18选2-3A （2017河北石家庄质检,★☆☆）一排有6个座位,三个同学随机坐下,任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A.120 B.36 C.24 D.72
[第12页第2题]18选2-3A （2016湖北武汉二中期末,★☆☆）在制作飞机的某一零件时,要先后实施6个工序,其中工序A只能出现在第一步或最后一步,工序B和C在实施时必须相邻,则实施顺序的编排方法共有（ ）
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
[第12页第3题]18选2-3A （2016湖南新田一中检测,★★☆）某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五项社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五五天内完成.其中“参观工厂”与“环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一,则不同安排方法的种数是（ ）
A.12 B.24 C.36 D.48
[第12页第4题]18选2-3A （2017福建厦门模拟,★☆☆）用字母A,Y,数字1,8,9构成一个无重复字符的五位编号,要求字母A,Y不相邻,数字8,9相邻,则可构成的编号的个数是________.（用数字作答）
[第12页第5题]18选2-3A （2017安徽黄山模拟,★☆☆）某诗词大会亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有________种.（用数字作答）
[第12页第6题]18选2-3A （2016湖北黄冈检测,★☆☆）将A,B,C,D,E五个不同的文件放入一排编号依次为1,2,3,4,5,6的六个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件A,B必须放入相邻的抽屉内,文件C,D也必须放入相邻的抽屉内,则满足条件的放法有________种.
[第12页第7题]18选2-3A （2016河北唐山期末,★☆☆）将一个白球,一个红球,三个相同的黄球摆放成一排,则白球与红球不相邻的放法有________种.
[第12页第8题]18选2-3A （2016河北衡水期中,★☆☆）某单位有7个连在一起的停车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停放方法有 ______种.
[第18页第1题]18选2-3A 给出下列问题:
①从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,可组成多少个三位数?
②有4张电影票,要在7人中选4人去观看,有多少种不同的选法?
③某人射击8枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?
其中是组合问题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
[第18页第2题]18选2-3A 化简
+2
+
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
[第18页第3题]18选2-3A 方程
=
的解集为（ ）
A.{2,8} B.{2} C.{8} D.{x|0≤x≤10,x∈N}
[第18页第7题]18选2-3A 某新农村社区包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为（ ）
A.4 B.8 C.28 D.64
[第18页第8题]18选2-3A A,B,C,D四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且A,B不选修同一门课,则不同的选法有（ ）
A.36种 B.72种 C.30种 D.66种
[第18页第9题]18选2-3A 若从1,2,3,…,9这9个整数中取4个不同的数,使其和为奇数,则不同的取法共有（ ）
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
[第18页第10题]18选2-3A 两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（每人输赢局次的不同视为不同情形）共有 （ ）
A.10种 B.15种 C.20种 D.30种
[第18页第11题]18选2-3A 甲组有5名男同学,3名女同学,乙组有6名男同学,2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有________种.
[第19页第13题]18选2-3A 现有10件产品,其中有2件次品,任意抽出3件检查.
（1）恰有一件是次品的抽法有多少种?
（2）至少有一件是次品的抽法有多少种?
[第19页第14题]18选2-3A 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球,共有几种放法?
（2）恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
（3）恰有2个盒不放球,共有几种放法?
7人排成一行,甲乙不相邻,问有多少种排法？
7人排成一行,甲乙之间有两人,问有多少种排法？
7人排成一行,甲乙相邻且甲在乙地左边,问有多少种排法？
有n件不同的产品,其中A、B产品排在一起的排法有48种,问总共有多少件产品？
6个学生,1个老师,老师必须坐中间,A、B学生必须相邻,问有多少种坐法？
名学生分6本相同的书,每人至少一本,有多少不同种的分法？
将4名老师全部分配到3所学校,且每个学校至少一人,则不同的分配方法有多少种？
7人排成一行,甲在乙的右边,乙在丙的右边,问有多少种排法？
[第212页例1题]、把5件不同产品摆成一排,若A、B相邻,A、C不相邻,问有多少种排法？
从1、3、5、7取两个数字,从0、2、4、6、8中取2个数字,组成没有重复的四位数,且能被5整除的种数？
[第19页第1题]18选2-3A （2017广东肇庆统测,★☆☆）平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线,过这十个点中的任意两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是（ ）
A.30 B.29 C.28 D.27
[第19页第2题]18选2-3A （2017河南郑州联考,★★☆）将数字“123367”重新排列后,可得到不同的偶数的个数为（ ）
A.72 B.120 C.192 D.240
[第19页第3题]18选2-3A （2016湖南新田一中检测,★★☆）4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则:
每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则4位同学不同的得分情况的种数是（ ）
A.48 B.36 C.24 D.18
[第19页第4题]18选2-3A （2016湖北新洲一中检测,★★☆）用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）
A.144 B.120 C.108 D.72
[第19页第5题]18选2-3A （2015湖北襄阳联考,★★☆）某校在高二年级开设选修课,选课结束后,有4名同学要求改选物理,现物理选修课开有三个班,若每个班至多可再接收2名同学,那么不同的接收方案共有（ ）
A.72种 B.54种 C.36种 D.18种
[第19页第6题]18选2-3A （2017山西太原五中月考,★☆☆）现有2个红球,3个黄球,4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,有________种不同的排列方法.
[第19页第7题]18选2-3A （2017北京西城模拟,★☆☆）某大厦一层有A,B,C,D四部电梯,现有3人在一层乘坐电梯上楼,其中恰有2人乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有________种.（用数字作答）
[第19页第8题]18选2-3A （2016浙江绍兴一中模拟,★★★）现有5位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成A,B两个小组,每个小组都至少有1人,并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高,则不同的选法共有多少种?
[第203页第3题]L7 （2016四川,4,5分）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（ ）
A.24 B.48 C.60 D.72
[第203页第4题]L7 （2015四川,6,5分）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ）
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
[第203页第5题]L7 （2014辽宁,6,5分）6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A.144 B.120 C.72 D.24
[第203页第6题]L7 （2014大纲全国,5,5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有（ ）
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
[第203页第7题]L7 （2014四川,6,5分）六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有（ ）
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
[第203页第8题]L7 （2014重庆,9,5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72 B.120 C.144 D.168
[第203页第11题]L7 （2012课标全国,2,5分）将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ）
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
[第203页第12题]L7 （2012浙江,6,5分）若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（ ）
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
[第203页第13题]L7 （2013福建,5,5分）满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对（a,b）的个数为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.10
[第203页第15题]L7 （2015广东,12,5分）某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.（用数字作答）
[第203页第16题]L7 （2014浙江,14,4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种（用数字作答）.
[第203页第17题]L7 （2013重庆,13,5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数字作答）.
[第206页第1题]L7 （2016山西八校联考,7）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A.360 B.520 C.600 D.720
[第206页第2题]L7 （2016江西校级联考,8）某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置）,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘坐方式共有（ ）
A.24种 B.18种 C.48种 D.36种
[第206页第3题]L7 （2015贵州贵阳一模,7）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（ ）
A.12种 B.16种 C.24种 D.36种
[第218页第1题]L8（2017课标全国Ⅱ,6,5分）安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
[第218页第7题]L8（2017天津,14,5分）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.（用数字作答）
[第218页第8题]L8（2017浙江,16,5分）从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.（用数字作答）
[第220页第1题]L8（2017福建漳州八校2月联考,8）有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有（ ）
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
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