分块矩阵及其应用汇总.docx
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分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用
徐健,数学计算机科学学院
摘要：
在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广.一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛.本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.
关键词：
分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩
OnBlockMatrixesanditsApplications
XuJian,SchoolofMathematicsandComputerScience
AbstractInthehigheralgebra,blockmatrixisageneralizationofmatrixcontent.Ingeneral,matrixelementsarenumbers.However,theblockmatrixisalargematrixwhichisdividedintosomesmallrectangularmatricies,whoseelementsarematrixblocks.Theintroductionoftheblockmatrixmakesitmoreconvenienttousematrix,andmorepowerfultosolverelevantproblems.Sotheapplicationoftheblockmatrixismuchwider.Thispapermainlystudiestheblockmatrixanditsapplicationinthecalculationofdeterminant,suchassolvinglinearequations,calculatinginversematrix,provingtheoremrelatedtotherankofmatrix,etc.
KeywordsBlockmatrix;Determinant;Systemofequations;Rankofamatrix
Enn
1引言
我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化.考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.
定义1.1[1]分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把mn
矩阵分割为如下形式的矩阵：
特别地，对于单位矩阵分块：
显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的Aij
ij
所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.
2分块矩阵
3
矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：
分块后的矩阵同样用到这些概念.
n个元素的乘积a1j1a2j2anjn的代数和，这一定义又可写成
定义2.1.2[]向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.
定义2.1.3[2]n级方阵称为可逆的，如果有n级方阵B，使得ABBAE
1这里E是n级单位矩阵），那么B就称为A的逆矩阵，记为A.
定义2.1.4[3]对分块矩阵施行下列三种初等变换：
（1）互换分块矩阵的某两行（列）；
（2）用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）；
（3）用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上，分别称上述三种初等行（列）变换为分块矩阵的初等行（列）变换.
ImOOIn
其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵.分块矩阵具有以下形式：
其中P,Q分别是m阶和n阶可逆方阵，且R1Rmn，SRnm为非零阵.
3.1矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：
定义2.2.1[4]矩阵加法：
设Aaijsn，Bbijsn是两个同型矩阵，则
矩阵Ccijsn=aijbijsn称为A和B的和，记为CAB.元素全为零的
矩阵称为零矩阵，记为Osn，可简单记为O,对于矩阵A、B，有:
（1）AOA
（2）A（A）0
（3）ABA（B）
（4）（AB）CA（BC）
（5）ABBA
定义2.2.2[4]矩阵乘法：
设Aaiksn，Bbkjnm是两个不同型矩阵，
那么矩阵CABcijsm，称为矩阵A与B的乘积，其中：
n
cijai1b1jai2b2jainbnjaikbkj
k1
在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等
特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：
（1）
1AA；
（2）
k（lA）（kl
）A;
（3）
k（AB）
kAkB
（4）
（kl）A
kAlA;
（5）
kAB
kAkB
kA，有以下性质：
的数量乘积，记为
3.2分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：
设A、B是mn矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：
A11B11A1tB1t
加法：
AB
As1Bs1AstBst
乘法：
CAB,
其中：
CijAi1B1jAi
n
2B2jAinBnjAikBkj
k1
kA11kA1t
数乘：
kA.
kAs1kAst
总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：
定义2.3.1[2]由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：
（1）互换矩阵E的i行与j行的位置;
（2）用数域P中的非零数c乘E的i行;
（3）把矩阵E的j行的k倍加到i行.
定义2.3.2[5]将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:
（1）对调两块同阶的块所在的行或列;
（2）某一块乘以同阶的满秩方阵;
（3）某一块乘以一个矩阵后加到另一行上（假定这种运算可以进行）.
BD进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对应分块矩阵：
O
En
3.3矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块
的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6]：
（1）列向量分法，即A1,,n，其中j为A的列向量.
1
（2）行向量分法，即A，其中j为A的行向量.
m
（3）分两块，即AA1,A2,其中A1,A2分别为A的各若干列作成.或
C1C2
（4）分四块，即A12.
C3C4
我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.
3.4常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：
（1）单位矩阵：
对角线元素都为1，其余元素为0的n阶方阵.
（2）对角矩阵：
对角线之外的元素都为0的n阶方阵.
（3）三角矩阵：
对角线以上（或以下）元素全为0的n阶方阵.
（4）对称矩阵：
满足矩阵A的转置和A相等.
5）若尔丹（Jordan）块：
形如
0
00
1
0
J（,t）
0
0
0
00
1
（6）若尔丹形矩阵：
由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵,其一般形状形如：
在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化
4分块矩阵及其应用
4.1行列式计算的应用
定理3.1.1[]拉普拉斯（Laplace）定理:
设在行列式D中任意取定了k个行.
由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列
式D.
事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块.然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用.这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.
例3.1.1[7]：
（爪形行列式）计算行列式：
a0
1
1
1
1
a1
0
0
1
0
a2
0
其中ai0（i1,2,,n）
1
0
0
an
a1
B，C（1,1,,1）T，D（1,1,,1）.
an
因为ai0（i1,2,,n），所以B是可逆矩阵.
例3.1.2[7]：
（对角行列式）计算行列式：
H2n
解：
令
a
b
c
d
，B
，C
，D
a
b
c
d
A
由于a
0,故A为可逆方阵.bca1d
bca1d
bca1d
在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中
3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：
（1）标准型：
则方程组又可以表述为：
x11x22xnnB;
4）行向量型：
x11x22xnnB.
可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.
例3.2.1：
（齐次线性方程组）求解方程组：
x12x22x3x40
2x1x22x32x40
x1x24x33x40
解：
对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：
R（A）2，基础解系含422个.
而方程又满足：
E2C
1
0
O1O2
2
0
相应的可以取：
C
E2
2
有通解：
k11k22，其中12，2
1
0
5
3
4
3
0
1
例3.2.2[9]：
（非齐次线性方程组）求解方程组：
x12x23x42x51
2x13x24x35x42x57
9x19x26x316x42x525
解：
我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：
r（A）3，而r（A）4,故r（A）r（A）.从而方程组无解.
45b4
事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：
经对分块矩阵454进行行列变事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：
经对分块矩阵E50进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.
例3.2.3：
证明：
n阶方阵A的秩为n-1，则rank（A）=1
首先证明此例需要利用的一个引理：
引理：
A（aij）nn，B（bij）nn，r（A）r，AB0，则r（B）nr
证明：
对矩阵B进行列向量的分块，B（B1,B2,Bn）,AB0则有：
ABi0，Bi是AX0的解.而AX0基础解系有nr个解.
故：
r（B）nr
再证明本例：
因为r（A）n1，则A0，A至少有一个n1级子式不为零,
rank（A）1.
利用引理得：
rank（A）1，故rank（A）=1.
得证.
3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：
利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.
3.4
例3.3.1[6]：
设A、B是n阶方阵，若AB与AB可逆，试证明：
ABAB0.
AD1BD3
BD1AD2
AD2BD4
BD2AD4
类似地：
D2D3,D4D1.
所以：
qq块，求证：
B与C都可逆，并求M1.
.值得
备注：
本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有
两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法
注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
2
1
0
0
1
0
0
1
2
2
1
0
AE
3
2
5
0
0
1
0
2
2
3
0
1
EO66
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
解：
构造矩阵：
D
所以;
此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.
3.5矩阵秩基本不等式
矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系.现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：
（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：
设A、B均为mn矩阵，则：
r（AB）r（A）r（B）.
（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：
设A是mn矩阵,B是ns矩阵，则：
r（AB）minr（A）,r（B）.
AB
（3）rr（A）r（B）.
0C
A1
（4）rAij.
Am
再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式
例3.4.1[11]：
（薛尔弗斯特不等式）设Aaijsn，Bbijnm，证明：
rank（AB）rank（A）rank（B）n
证明：
由分块矩阵的乘积
En0
EnB
EnB
En0
AEs
A0
0Em
0AB
知：
但,
故：
nrank（AB）rank（A）rank（B）
得证.
备注：
在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：
A0
（1）矩阵不等式中含两个不同矩阵：
构造0B;
AE
A0
（2）矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：
构造
0B或者
EB
具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.
例3.4.2[6]：
（Frobenius不等式）设A、B、C是任意3个矩阵，乘积ABC有意义，证明：
r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）
证明：
设B是nm矩阵，r（B）r
那么存在n阶可逆阵P，m阶可逆阵Q，使
0
0
Q.
0
把P、Q适当分块：
PM,S,QN,由上式有：
T
Er0
N
00
T
BM,S
MN.
故：
r（ABC）r（AMNC）r（AM）r（NC）r
r（AMN）r（MNC）r（B）r（AB）r（BC）r（B）.
得证.
3.6矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：
例3.5.1[11]：
设A为mk矩阵，B为kn矩阵，则证明：
rank（A）+rank（B）-krank（AB）minrank（A）,rank（B）
证明：
先证明右边的不等式，由：
A0（EkEB）（AAB）;
0En
可得：
rank（A）rank（A
0）rank（AAB）rank（AB）;
BB
rank（B）rankrankrank（AB）
0AB
再证左边的不等式.注意到下列事实：
Em
A
A
0
Ek
B
0
AB
0
Ek
Ek
B
0
En
Ek
0
则：
A0
0AB
rank
rank
EkB
Ek0
于是：
这里也是用到构造矩阵的方法
rank（AB）rank（A）rank（B）rank（AB）
rank（AB）rank（AB）.
即：
rank（AB）rank（A）rank（B）rank（AB）.得证.
例3.5.3：
设A是n阶方阵，且r（A）r（A2）,证明：
对任意自然数k,有
r（Ak）r（A）
由：
r（A）r（A2）
所以，r（A3）r（A2A）r（A2）.
故：
r（A2）r（A3）.
由此可推得：
r（A3）r（A4）,r（A4）r（A5）,.故：
对任意自然数k,有：
r（Ak）r（A）.
3.7综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：
特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.
例3.6.1[6]：
（特征多项式的降阶定理）设A是mn矩阵，B是nm矩阵.证明:
AB的特征多项式fAB（）与BA的特征多项式fBA（）有如下的关系：
nfAB（）mfBA（）.
证：
先要把上式改写为：
HEn1BA
（1）nEnBA.
上述等式是假设了0，但是两边均为的nm次多项式，有无穷多个
值使它们成立（0），从而一定是恒等式，即证.
这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester）公式.以下例题是定理的应用.
例3.6.2[6]：
设A为mn矩阵，B为nm矩阵，证明：
AB与BA有相同的非零特征值.
证：
由定理：
mEnBAnEmAB.
设EmABms
（1）
（2）（s）,
其中12m0，即AB有s个非零特征值：
1,2,,s,由上面两式,那么有：
EnBA
（1）
（2）（s）
即证BA也只有s个非零特征值：
1,2,,s.
例3.6.3[6]：
设A、B分别是mn和nm矩阵，证明：
trABtrBA.
解：
由上例知，若
EmAB（a1）（as）
其中a1a2as0.
则AB的全部特征值为
1a1,,sas,s1m0,
且：
EnBA（-a1）（as）.
即BA的全部特征值为:
1a1,2a2,,s1n0.
s
从而trABaitrBA.
i1
可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.
结论
本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做
了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高参考文献
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