初一因式分解的方法和能力提高训练.docx
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初一因式分解的方法和能力提高训练
初一因式分解的方法和能力提高训练（总11页）
因式分解能力提高
因式分解的十二种方法:
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x（2003淮安市中考题）
x-2x-x=x（x-2x-1）
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b（2003南通市中考题）
解：
a+4ab+4b=（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解：
m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=（m-5m）+（-mn+5n）
=m（m-5）-n（m-5）
=（m-5）（m-n）
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）
例4、分解因式7x-19x-6
分析：
1-3
72
2-21=-19
解：
7x-19x-6=（7x+2）（x-3）
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40
=（x+）-（）
=（x++）（x+-）
=（x+8）（x-5）
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
解：
bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解：
2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x
=x[2（x+）-（x+）-6
令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6
=x[2（y-2）-y-6]
=x（2y-y-10）
=x（y+2）（2y-5）
=x（x++2）（2x+-5）
=（x+2x+1）（2x-5x+2）
=（x+1）（2x-1）（x-2）
8、求根法
令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解：
令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1
则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）
9、图象法
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）
例9、因式分解x+2x-5x-6
解：
令y=x+2x-5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）
分析：
此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：
a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）
=（b-c）[a-a（b+c）+bc]
=（b-c）（a-b）（a-c）
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解：
令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析：
易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：
设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）
=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd
所以解得
则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）
提公因式法——形如
运用公式法——平方差公式：
，
完全平方公式：
一、填空题：
2．（a－3）（3－2a）=_______（3－a）（3－2a）；
12．若m2－3m＋2=（m＋a）（m＋b），则a=______，b=______；
15．当m=______时，x2＋2（m－3）x＋25是完全平方式．
二、选择题：
1．下列各式的因式分解结果中，正确的是
A．a2b＋7ab－b＝b（a2＋7a）
B．3x2y－3xy－6y=3y（x－2）（x＋1）
C．8xyz－6x2y2＝2xyz（4－3xy）
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a（a＋2b－3c）
2．多项式m（n－2）－m2（2－n）分解因式等于
A．（n－2）（m＋m2） B．（n－2）（m－m2）
C．m（n－2）（m＋1） D．m（n－2）（m－1）
3．在下列等式中，属于因式分解的是
A．a（x－y）＋b（m＋n）＝ax＋bm－ay＋bn
B．a2－2ab＋b2＋1=（a－b）2＋1
C．－4a2＋9b2＝（－2a＋3b）（2a＋3b）
D．x2－7x－8=x（x－7）－8
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
A．a2＋b2 B．－a2＋b2
C．－a2－b2 D．－（－a2）＋b2
5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是
A．－12 B．±24
C．12 D．±12
6．把多项式an+4－an+1分解得
A．an（a4－a） B．an-1（a3－1）
C．an+1（a－1）（a2－a＋1） D．an+1（a－1）（a2＋a＋1）
7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为
A．8 B．7
C．10 D．12
8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为
A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3
C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3
9．把（m2＋3m）4－8（m2＋3m）2＋16分解因式得
A．（m＋1）4（m＋2）2 B．（m－1）2（m－2）2（m2＋3m－2）
C．（m＋4）2（m－1）2 D．（m＋1）2（m＋2）2（m2＋3m－2）2
10．把x2－7x－60分解因式，得
A．（x－10）（x＋6） B．（x＋5）（x－12）
C．（x＋3）（x－20） D．（x－5）（x＋12）
11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得
A．（3x＋4）（x－2） B．（3x－4）（x＋2）
C．（3x＋4y）（x－2y） D．（3x－4y）（x＋2y）
12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得
A．（a＋11）（a－3） B．（a－11b）（a－3b）
C．（a＋11b）（a－3b） D．（a－11b）（a＋3b）
13．把x4－3x2＋2分解因式，得
A．（x2－2）（x2－1） B．（x2－2）（x＋1）（x－1）
C．（x2＋2）（x2＋1） D．（x2＋2）（x＋1）（x－1）
14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为
A．－（x＋a）（x＋b） B．（x－a）（x＋b）
C．（x－a）（x－b） D．（x＋a）（x＋b）
15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是
A．x2－11x－12或x2＋11x－12
B．x2－x－12或x2＋x－12
C．x2－4x－12或x2＋4x－12
D．以上都可以
16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，（x2＋3x）2－（2x＋1）2中，不含有（x－1）因式的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为
A．（x－6y＋3）（x－6x－3）
B．－（x－6y＋3）（x－6y－3）
C．－（x－6y＋3）（x＋6y－3）
D．－（x－6y＋3）（x－6y＋3）
18．下列因式分解错误的是
A．a2－bc＋ac－ab=（a－b）（a＋c）
B．ab－5a＋3b－15=（b－5）（a＋3）
C．x2＋3xy－2x－6y=（x＋3y）（x－2）
D．x2－6xy－1＋9y2=（x＋3y＋1）（x＋3y－1）
19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为
A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数
C．相等的数 D．任意有理数
20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是
A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2
C．（xy＋2）（xy－8） D．（xy－2）（xy－8）
21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为
A．（a2＋b2＋ab）2 B．（a2＋b2＋ab）（a2＋b2－ab）
C．（a2－b2＋ab）（a2－b2－ab） D．（a2＋b2－ab）2
22．－（3x－1）（x＋2y）是下列哪个多项式的分解结果
A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y
C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy
23．64a8－b2因式分解为
A．（64a4－b）（a4＋b） B．（16a2－b）（4a2＋b）
C．（8a4－b）（8a4＋b） D．（8a2－b）（8a4＋b）
24．9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2因式分解为
A．（5x－y）2 B．（5x＋y）2
C．（3x－2y）（3x＋2y） D．（5x－2y）2
25．（2y－3x）2－2（3x－2y）＋1因式分解为
A．（3x－2y－1）2 B．（3x＋2y＋1）2
C．（3x－2y＋1）2 D．（2y－3x－1）2
26．把（a＋b）2－4（a2－b2）＋4（a－b）2分解因式为
A．（3a－b）2 B．（3b＋a）2
C．（3b－a）2 D．（3a＋b）2
27．把a2（b＋c）2－2ab（a－c）（b＋c）＋b2（a－c）2分解因式为
A．c（a＋b）2 B．c（a－b）2
C．c2（a＋b）2 D．c2（a－b）
28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为（1－2x＋y），则k的值为
A．0 B．1
C．－1 D．4
29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是
A．－（a2＋b2）（3x＋4y） B．（a－b）（a＋b）（3x＋4y）
C．（a2＋b2）（3x－4y） D．（a－b）（a＋b）（3x－4y）
30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是
A．2（a＋b－2c） B．2（a＋b＋c）（a＋b－c）
C．（2a＋b＋4c）（2a＋b－4c） D．2（a＋b＋2c）（a＋b－2c）
三、因式分解：
1．m2（p－q）－p＋q；
2．a（ab＋bc＋ac）－abc；
3．x4－2y4－2x3y＋xy3；
4．abc（a2＋b2＋c2）－a3bc＋2ab2c2；
5．a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）；
6．（x2－2x）2＋2x（x－2）＋1；
7．（x－y）2＋12（y－x）z＋36z2；
8．x2－4ax＋8ab－4b2；
9．（ax＋by）2＋（ay－bx）2＋2（ax＋by）（ay－bx）；
10．（1－a2）（1－b2）－（a2－1）2（b2－1）2；
11．（x＋1）2－9（x－1）2；
12．4a2b2－（a2＋b2－c2）2；
13．ab2－ac2＋4ac－4a；
14．x3n＋y3n；
15．（x＋y）3＋125；
16．（3m－2n）3＋（3m＋2n）3；
17．x6（x2－y2）＋y6（y2－x2）；
18．8（x＋y）3＋1；
19．（a＋b＋c）3－a3－b3－c3；
20．x2＋4xy＋3y2；
21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；
23．－m4＋18m2－17；
24．x5－2x3－8x；
25．x8＋19x5－216x2；
26．（x2－7x）2＋10（x2－7x）－24；
27．5＋7（a＋1）－6（a＋1）2；
28．（x2＋x）（x2＋x－1）－2；
29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；
30．（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）－48；
31．x2－y2－x－y；
32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；
33．m4＋m2＋1；
34．a2－b2＋2ac＋c2；
35．a3－ab2＋a－b；
36．625b4－（a－b）4；
37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；
38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；
39．m2－a2＋4ab－4b2；
40．5m－5n－m2＋2mn－n2．
四、证明（求值）：
1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
2．求证：
四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3．证明：
（ac－bd）2＋（bc＋ad）2=（a2＋b2）（c2＋d2）．
4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
5．若x2＋mx＋n=（x－3）（x＋4），求（m＋n）2的值．
6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
8．两个连续偶数的平方差是已知
，
，求
的值。
9、已知
，求
的值
10、
（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，求
的值；
（3）已知
，
，求
（1）
；
（2）
（4）已知
，求x+y的值；
11、先分解因式，然后计算求值：
（本题6分）
（a2+b2－2ab）－6（a－6）+9，其中a=10000，b=9999。
12、已知
求
的值。
13.已知：
（1）求
的值；
（2）求
的值。
14、已知x（x－1）－（x2－y）＝－2．求
的值．
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