张星毕业论文15讲解.docx

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张星毕业论文15讲解

初中三角函数的教学教法研究

张星

摘要：

初中三角函数是学习今后三角函数的基础，三角函数几乎覆盖整个数学几何的运算，学生经常被其中复杂的运算、巧妙的作图、完美的解题所吸引，所折服。

本章三角函数主要研究教学教法，让学者轻松便捷的认识到三角函数。

通过对本章的学习，会发现三角函数其中的巧妙转换，以及实践的课堂内外操作从而便于对各种直角三角形的正确解答。

关键词：

基础；教学教法；转换；实践操作；三角函数

Juniormiddleschooltrigonometricfunctionteachingpedagogyresearch

Zhangxing

Pickto:

juniorhighschooltrigonometricfunctionisthebasisofthestudytrigonometricfunctioninthefuture,trigonometricfunctionalmostcoversthewholemathematicalgeometryoperation,studentsareoftenthecomplicatedcalculations,cleverconstruction,perfecttheproblemsolving,impressed.Trigonometricfunctionofthischaptermainlystudiestheteachinglaw,easyandconvenienttoscholarsrealizedthetrigonometricfunctions.Bylearningthischapter,you'llfindtrigonometricfunctionsofcleverconversion,insideandoutsidetheclassroomandpracticeoperationsoastofacilitatecorrectanswersforalltypesofarighttriangle.

Keywords:

foundation;Theteachinglaw;Conversion;Practice;Trigonometricfunctions

引言

①p2在数学的领域中，可能没有其他分支学科能像三角学一样始终占据着中心位置。

——赫伯特

从前辈的这句话里我们知道在我们生活中，三角学在我们生活中的主要地位，有了三角学我们生活变得丰富多彩，竞彩斑斓。

所以三角函数在我们初中课本也是必学的一个过程，了解我们最基本的三角函数知识，以为我们今后的更多知识打下牢固的基础。

在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形，②p5著名天算家托勒密（Ptolemy,约87-165）在前人希巴卡斯（Hipparchus，约公元前180-125）的基础上，也编制了所谓的“弦表”，他借助了几何知识，编制弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希腊人却未引用“

余弧的弦”或“余弦”这类名称。

8——12世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯，在这些国家里，不但提出“正弦”一词，还以几何方法定义了“余弦线”“正切线”“余切线”，并编制了各种三角表。

其编制方法虽然不同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献。

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,同时也是一种重要的数学思想方法之一;分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类求解,然后综合出问题的答案;它在训练人的思维的条理性和概括性中起着至关重要的作用.而三角函数又是高中数学的重要内容,因此,本文通过实例主要探讨分类讨论的思想在三角函数中的应用.

三角函数与其他学科的练习与结合非常重要。

最重要的是它与振动和波动的联系。

“可以它几乎是全部高科技的基础之一”，这是当前数学教学的薄弱环节。

振动和波动都是周期现象，可以三角函数刻画，比如手机、电视机、网络、核磁共振、航天没有三角函数的不行的。

强化发挥单位圆的作用，强调利用向量方法，淡化三角恒等变形的技巧内容。

中考中恒等变换以前占的比例大，现在占的比例顶多是中下。

本节主要研究正弦函数，教材从一个实际问题引出对正弦函数的讨论.这个实际问题抽象出数学问题就是在直角三角形中已知一个锐角和这个锐角所对的直角边，求斜边的长.通过讨论30°和45°的角与其所对的直角边和斜边的比值之间的对应关系，引出对一般情况的讨论，即对于任意给定度数的锐角，他的对边与斜边的比值是否是一个固定值.对于任意锐角的正弦函数，教材中利用“相似三角形对应边成比例”探索得出了对应角的对边与斜边的比相等，从而得到在直角三角形中，锐角度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

1三角函数在初中数学的地位和作用

三角函数是最具有代表性的一种初等函数，学习正、余弦函数的图像，三角函数的有关概念和公式，是第四章《三角函数》的核心内容，其知识和方法将为后续内容的学习打下坚实的基础，有承上启下的作用。

初中三角函数是从解三角形中提出来的，在解三角形和用正弦定理解三角形时，三角函数都是不可缺少的重要角色，但是三角函数在初中数学中要求不是太高，它只是作为直角三角形边长比，坐标长度比的记号求解。

可以说，初中三角函数的学习要求只是对应一个给定的角有一个三角形函数值，在查表时会涉及到三角函数的性质，必备涉及到三角函数性质，不必涉及到三角函数的周期性，三角函数的图像，以及三角函数的和差化积，倍角公式等更深的内容，即总体上应该防止“越位”。

三角函数思想贯穿了整个中学、大学，具有极其广泛的应用价值，对它们学习好坏，直接关系着中学继续学习的难易程度问题，而对本章将主要从学生学生感兴趣的几个方面入手，结合日常数学经验，进行三角函数的教学教法研究，以达到培养能力，形成素质目的。

初中三角函数是数学中一个非常重要的知识点，是对函数的一个延伸和推广，主要是推广到高一的三角函数。

也是对集合与函数的知识的又一渗透，所以本章《三角函数》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。

为今后对函数的学习，以及进一步学习三角函数提供了有力的依据。

更为重要的是，通过认真设计这一章节教学教法，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴含于三角函数推导中的重要数学思想和方法，树立运动变化的观点，理解是相对的，动是绝对的，并由此深刻地理解推广过后的三角函数及相关知识，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。

三角函数是刻画客观规律的数学模型，不同的变化规律应不同的函数类型来刻画，三角函数是描述客观世界中变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用，三角函数的基本性质，体现三角函数在解决具有代表性，特殊性，规律性函数问题中的作用，学习三角函数，学生将进一步加深三角函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力。

2初中三角函数的教学教法

2.1创设情境，培养兴趣

课堂中首先由教师创设情境引出三角函数有关的问题开始的，以创设情境为主线，根据三角函数的特点，教学的方法和学生的具体学情，把学生引入一种与问题有关的情境中，以激发学生的学习兴趣，从而产生参与的动机和自主探究的欲望，学生通过观察，不断积累丰富的感性认识，并在实践感受中逐步认识，发展，乃至创造，以提高学生的数学素质。

美国心理学家布鲁纳说，兴趣是学习的重要动力，也是最好的老师。

没有兴趣，没有学生的积累参与，任何教学活动都是低效的。

在实践中，我常巧妙地创设情境，引导学生从害怕数学到爱学数学，提高学生学习数学的兴趣，取得了事半功倍的效果。

如常常用实际问题或设置悬念导入新课来激发学生的求知欲；或者在教学过程中为研究的需要而临时产生一些尝试性的研究河东，以及在教学过程中，学生提出了意想不到的观点或方案等。

显然，关键在教师要创设好问题情境，必须从学生的学习兴趣出发，从知识的形成过程出发，要贴近学生生活，要带有激励性和挑战性。

只有这样才能引发学生的自主学习，使学生的认知过程和情感过程统一起来。

2.1.1三角函数的定义

③p13三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。

他们本质上是任意的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中三角函数也是常用的工具。

2.1.2对三角函数的概述

锐角三角函数是初中数学的主要内容之一，属于数学中的基础知识。

三角函数定义是本章知识的重点内容，正弦、余弦、正切反映了同一个直角三角形中边与角之间的关系，因此各种三角函数之间存在着密切的联系。

在学习中，要能灵活运用锐角三角函数的概念，直角三角形中的边、角间的关系，简单的解直角三角形等知识解决实际问题。

解直角三角形知识常会与日常生活中的测量、工程技术和物理等应用问题相联系，与相似形、方程、函数和园的知识相结合，形成具有一定难度的综合题，本章的学习要求是：

①通过实例认识锐角三角函数；

②掌握30°、45°、60°角的三角函数值；

③会使用计算器由已知锐角求他的三角函数值，已知三角函数值求它的对应锐角；

④能熟练运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，能根据实际情境构造直角三角形解决实际问题。

锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系，可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生，二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解。

我们在应用三角函数的同时，也在应用着勾股定理。

三角函数值是一个比值，这个比值的得出，是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的。

正是由于直角三角形的三边的数值，我们可以得到直角三角形两条直角边的比值，那么也就得到三角函数的正切和余切的值，同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值，也就是得出三角函数的正弦和余弦的值.

2.1.3锐角三角函数

锐角三角形函数属于函数的一种，但是它又不同于前面所学过的一次函数、反比例函数、和二次函数。

它的自变量是锐角，函数值是直角三角形中的边的比值。

它建立了锐角与比值之间的一一对应关系。

通过本节课的学习可使学生对函数的基本概念有更深的了解。

学生前面已经学习了相似三角形和勾股定理的知识，它们为锐角三角形函数的学习提供了研究的方法，通过以前的合作学习，学生具备了一定的合作与交流能力。

但学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，很难想到对于任意锐角，它的边与边的比值也是固定的，所以我要引导学生比较、分析，得出结论。

本节主要研究正弦函数，教材从一个实际问题引出对正弦函数的讨论。

通过讨论30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间的对应关系，引出对一般情况的讨论，再利用“相似三角形对应边成比例”探索得出了正弦函数的概念。

体现了从一般到特殊的推理过程。

2.2自主探究，建构新知

动手实践，自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。

数学学习活动就应是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

注重引导学生动手实践，自主探究与合作交流，学生在观察、实践、猜测、验证、推理与交流等数学活动中，逐步形成自己三角函数知识的理解和有效的学习策略。

在课堂上可以采取小组合作的学习，让学生在小组内相互讨论三角函数的定义、三角函数的概述，评价三角函数，倾听学生的讨论，大家互相鼓励，使学生在交流中互相启发，在计算中明白算理，尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的三角函数认识，激发学生的数学情感，促进学生学习的提高。

2.2.1常见三角函数

在直角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C分别对应的边是a、b、c，在这个直角三角形中，设∠A=θ，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下三种运算方式；

基本函数

英文

表达式

语言描述

正弦函数

Sine

角

的对边比斜边

余弦函数

Cosine

角

的邻边比斜边

正切函数

Tangent

角

的对边比邻边

在这些三角函数中，是在今后的问题经常出现的，所以一定要熟记那几个特殊值，

也就是当

的时候。

一般地，

当

则有

当

则有

当

则有

2.3合作交流，完善认知

在教学过程中，通过创设情境，合作小组自主探究、交流、对话，获得成效。

小组之间交流、评价，达到教学的互动，形成比、学、赶的学习氛围，从而使学生在合作交流的过程中学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，体会在解决三角函数的过程中与他人合作的重要性和感受获得成功的喜悦。

A.合理分组。

按学生学习三角函数的程度的不同，实行最优化组合。

B.培养和训练学生学习三角函数的技巧和方法。

C.教师的鼓励性的评价是进一步促进学生学好三角函数的催化剂。

D.教师要参与到学生的活动小组中去。

教师要巡视并检查学生对三角函数的解决情况，又要收集学生学习三角函数的学习信息，以便更好的引导、点拨，促进对三角函数的思维改建，完善认知。

2.4自我反思，深化认知

在老师的组织下，启发学生对已经学习的三角函数这个章节进行反思，并从中明白在这一章中我学到了什么，对三角函数的定义，三角函数的概述，锐角三角函数，还有常见的三角函数发现自己的不了解的不熟悉的地方，加以学习，达到完善自己，在以后的学习不会出错。

3实际应用

⑤p92在实际应用中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。

因而三角函数解决实际问题应用极广、深透能力很强。

锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用，“不上高山，能测山高；不下湖泊，能量河宽”，正是三角函数应用的独特魅力所在。

同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性。

在应用三角函数解决各类实际问题时，建立数学模型就是十分关键的一步，同时也是很困难的一步。

建立数学模型的过程，是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

在建立数学模型中，会更有利于发挥我们的主动性、创造性，让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来。

下面用几个实例来体会三角函数在生活中的重要应用

3.1旗杆高度问题

例1九年级

（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=9.8m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．

分析：

因为涉及到图形的位置，首先依据现实情形画出数学几何图形。

建立数学几何模型。

从图形中，观察得知，此题涉及到三角形相似判定与相似的性质的相关运用，列出对应边成比例即可解题。

解：

在

中tan∠AEH=AH/EH

∵FB=EH=FD+DB=2+9.8=11.8m

∴FD/FB=（CD－EF）/AH=2/11.8=（3－1.6）/AH

解得AH=8.26m

又∵EF=HB

∴旗杆高度AB=AH+HB=8.26+1.6=9.86m

3.2停车场设计问题

例2⑥p156如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P为弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，长方形停车场PQCR面积的最小值和最大值。

分析：

矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长RP交AB于M。

若直接设RP的长度为x，则PM=100—x，在

中，

从而得PQ=MB=100-

，S=

，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值较为复杂。

不妨以角为变量建立函数关系。

解：

如上添加辅助线，设∠PAB=θ（

），则AM=90

，PM=90

，RP=RM-PM，PQ=MB=100-90

，∴S=PQ·PR=（100-90

）·（100-90

）=10000-9000（

+

）+8100

。

设

+

=t（1＜t≤

）则

c=（t2-1）/2。

带入化简得S=8100/2（t-10/9）2+950.故当t=10/9时，

=950（m2）；当t=

时，

=14050-9000

（m2）

3.3方向角问题

从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：

射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西北。

例3、一搜轮船自西向东航行，在A处测得东偏北68.7°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北26.5°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？

参考数据（sin21.3°≈9/25，tan21.3°≈2/5，sin63.5°≈9/10tan63.5°≈2）

解：

过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到△

ACD

与

△BCD，设BD=x海里，在△

BCD中，tan∠CBD=CD/BD

∴CD=x·tan63.5°

在

△ACD中，AD=AB+BD=（60+x）海里，tan∠A=CD/AD

∴x·tan63.5°=（60+x）·tan21.3°，即2x=（2/5）（60+x）

解得x=15海里

答：

轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近

4结论与反思

通过对三角函数的学习，我们知道三角函数在初中数学的地位和作用，然后对三角函数这章进行教学教法的研究，能够使学生更好地了解什么是三角函数的定义，三角函数的概述，以及锐角三角函数，还有一些常见的三角函数，我们根据教学教法学习这些知识，再通过实际应用，使我们更好的掌握这些内容。

同时，也为今后的学习打下坚实的基础。

成果申明

本人郑重声明：

所呈交的题为《初中三角函数》的毕业论文是本人在指导老师指导下取得的研究成果。

除了文中特别加以注释和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表的研究成果。

与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

论文作者签名：

日期：

致谢

本论文的撰写得到了储昌木老师的悉心的指导，其待后学之风范值得我品味一生.在此，首先对储老师表示衷心的谢忱.在繁忙的工作之余，储老师利用自己宝贵的时间，对本论文的写作给以了仔细的修改及斧正，使本论文的撰写得以顺利完成，在此预祝老师身体健康，工作顺利.同时对在写作过程中予以积极支持和指点的各位老师、同学们的表示诚挚的谢意.

参考文献

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