第三章复变函数的积分答案doc.docx
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第三章复变函数的积分答案doc
复变函数练习题
第三章
复变函数的积分
系
专业
班
姓名
学号
§1复变函数积分的概念
§4原函数与不定积分
一．选择题
1．设C为从原点沿y2
x至1
i的弧段，则
（x
iy2）dz
[
]
C
（A）15i
（B）
1
5i
（C）
15i
（D）15i
6
6
6
6
6
6
6
6
2.设C是z
（1i）t，t从1到2的线段，则
argzdz
[
]
C
（A）
（B）
i
（C）
4
（1i）
（D）1i
4
4
3．设C是从
0到1
i的直线段，则
zezdz
[
]
2
C
（A）1
2
e
（B）1
e
（C）1
ei
（D）1
ei
2
2
2
4．设f（z）在复平面处处解析且
i
2
i，则积分
i
z）dz
[]
f（z）dz
f（
i
i
（A）2
i
（B）
2
i
（C）0
（D）不能确定
二．填空题
1．设C为沿原点z
0到点z
1i的直线段，则
2
zdz
2
。
C
2．设C为正向圆周|z
4|
1
，则
z2
3z
2dz
10i.
C
（z
4）2
三．解答题
1．计算下列积分。
（1）
3i
e2zdz
i
12z3
i
e
i
2
1（e6i
e2i）
0
2
（2）
i
2zdz
sin
i
i1cos2z
z
sin2z
i
i
2
dz
2
4
i
i
sin2
i
e2
e2
e2
e2
2
i
i
.
4i
4
（3）
1
zsinzdz
0
（sinzzcosz）
（4）
1
0sin1cos1.
i
zcosz2dz
0
sinz2
i
sin2
1
sin（i）2
.
2
0
2
2
2．计算积分
z
C为正向圆周：
dz的值，其中
C|z|
（1）
|z|2
积分曲线C的方程为
z
2ei,
0
2
则原积分
2
2ei
2ie
i
d
2
I=
2
2id4i.
0
0
（2）
|z|4
积分曲线C的方程为
z
4ei
0
2
则原积分
2
4ei
4ie
i
d
2
I=
4
4id8i.
0
0
3．分别沿yx与y
x2
1
i
算出积分
（iz）dz的值。
0
解：
（1）沿y=x的积分曲线方程为
z
（1
i）t,0
t
1
则原积分
1
[i
（1i）t]（1i）dt
I
0
1
1
2t）dt
[（i
1）tt2]
1
i2
（i
0
0
（2）沿y
x2的积分曲线方程为
z
t
it2,0
t
1
则原积分
I
1
（t
it2）]（12it）dt
[i
0
1
3t2
1t4
1t3）]
1
2i.
2t3
i（1t2）]dt[
i（t
2
[3t
0
2
2
3
0
3
4．计算下列积分
（1）（xy
ix2）dz,C:
从0到1
i的直线段；
C
C的方程：
z
（1
i）t,
0
t1
x（t）
t
t
1
或
0
y（t）
t
则原积分
I
1
t
it2]（1
[t
0
（i
1
t
2
i
1）
dt
0
3
i）dt
1
.
（2）（z2zz）dz，C：
|z|1上沿正向从1到1。
C
C的方程：
zei,0
则原积分
I
（e2i
1）iei
d
0
i
（e
3i
e
i
）d
e3i
i
8
e
.
0
3
0
3
复变函数练习题
第三章
复变函数的积分
系
专业
班
姓名
学号
§2柯西－古萨基本定理
§3基本定理的推广－复合闭路定理
一、选择题
1．设f（z）在单连通区域
B内解析，C为B内任一闭路，则必有
[
]
（A）
Im[
（）]
0
（B）
Re[
（
）]
0
C
f
zdz
C
fz
dz
（C）
|f（z）|dz
0
（D）Re
f（z）dz
0
C
C
1
z3cos
1
2．设C为正向圆周|z|
，则
C
z
2
2dz
[]
2
（1z）
（A）2
i（3cos1sin1）
（B）0
（C）6
icos1
（D）
2isin1
3．设f（z）在单连通域
B内处处解析且不为零，
C为B内任何一条简单闭曲线，则积分
f（z）2f（z）
f（z）dz
[
]
C
f（z）
（A）2i
（B）2
i
（C）0
（D）不能确定
二、填空题
1．设C为正向圆周|z|
3，则
zzdz
6i.
C
|z|
1
2．闭曲线C:
|z|1取正方向，则积分
ez2
0
。
dz
C（z2
2）（z3）
三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
（1）判断被积函数具有几个奇点；
（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，
若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；
若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.
1．计算下列积分
（1）
1
2dz,C:
|z
a|
a（a
0）;
Cz
2
a
解：
.
1
2dz
1
1
1
dz
Cz
2
a
C2az
a
za
1
1
dz
1
dz=1
2i0
i.
2a
Cz
a
Cz
a
2a
a
1
解法二：
由被积函数在C内部只有一个奇点za，z2a2
故由柯西积分公式可得
2
1
2dz2i
1
i.
Cz
a
zaza
a
（2）．
z
dz,C:
|z|2;
Cz2
1
解：
z
1
1
1
1
dz=
+
dz=
（
i2
i）
2i.
Cz2
2C
z
2
1
1z+1
2
解法二：
被积函数
z
在
内部具有两个奇点
，
z2
1
C
z
1
分别作两个以
1,-1
为心，充分小的长度为半径的圆周
1、
2，
C
C
且1和
2含于
内部。
由复合闭路定理，
C
C
C
z
z
dz
z
Cz2
dz
C1z2
1
C2z2
dz
1
1
2
z
2
i
z
i
1z
z
1z1
z
1
ii
2i
（3）
|z|5z2
3z
1
dz
2z
3
2
1
z
3
dz22i2i6i.
|z|5
z1
同上题中的解法二，
3z
1
dz
3z
1
3z
1
|z|5z2
2z
dz
dz
3
C1（z3）（z1）
C2（z3）（z1）
2i3z1
2i3z1
2i4i6i
z
3z
1
z1z3
（4）
coszdz，其中C:
x2
y2
4x正向
Cz2
4
coszdz
cosz/（z
2）dz2icos2/（22）
icos2.
Cz2
4
Cz2
2
2．计算积分
dz
，其中C为下列曲线：
Cz（z2
1）
dz
1
2
1
1
dz
1
1
1
1
1
I
1）
C2
z
zi
zi
dz
2
dz
dz
Cz（z2
Cz
Czi
2Czi
（1）C:
|z|
1
;
2
I
2i
0
0
2i.
解法二：
I
2
i
1
2
i
2
1z
z
0
（2）C:
|z
i|
3
;
2
1
I
2i
0
2
i
i.
2
解法二：
I
2
i
1
2
i
1
2
ii
i
2
1z
z（z
z
0
i）zi
（3）C:
|z
i|
1
;
1
2
I
2
i
0
i.
0
2
解法二：
I
2
i
1
i
z（z
i）z
i
（4）C:
|z|
3
。
1
2
1
I
2i
2
i
2i
0.
2
2
解法二：
I
2i
1
2i
1
1
2i
ii0
z
2
1z
i）z
2i
0
z（z
i
z（z
i）zi
3．计算Lnzdz，其中
C
（1）Lnzln|z|iargz,C:
|z|1;
C的方程：
z
ei,
C
Lnzdz
i
iei
d（i
1）ei
2i.
（2）Lnz
ln|z|
iargz
2
i,C:
|z|
R.
C的方程：
zRei,
Lnzdz
（lnR
iargz
2i）dz
iargzdz
i
Riei
d
2Ri.
C
C
C
复变函数练习题
第三章
复变函数的积分
系
专业
班
姓名
学号
§5
柯西积分公式
§6解析函数的高阶导数
一．选择题。
sin（
z）
1．设C是正向圆周x2
y2
2x
0，则
4
dz
[
]
Cz2
1
（A）
2i
（B）2i
（C）0
（D）
2
i
2
2
2．设C为正向圆周|z|
2，则
cosz
2
dz
[
]
C（1
z）
（A）
sin1
（B）sin1
（C）2isin1
（D）2
isin1
3．设f（z）
e
d
，其中|z|
4，则f（
i）
[
]
||4
z
（A）2i
（B）1
（C）2i
（D）1
4．设C为不经过点
1与
1的正向简单闭曲线，则
z
dz为
[
]
C（z1）（z
2
1）
（A）
i
（B）
i
（C）0
（D）以上都有可能
2
2
二．填空题：
1．闭曲线C:
|z|
3取正方向，积分
ez
（e
2）i.
3dz
Cz（z1）
Ce
z
1
1
1
1
（ez）''
（ez）'z
z
（z
3
（z1）
2
z
1
z
dz2i
e
2ie
z0
1）
2!
1!
z1
sin（
）
2．设f（z）
2
d
，其中
|z|2，则f
（1）
0
，f（3）
0
。
||
2
z
对满足z2的所有的z，f（z）=0，从而f'（3）0
三．解答题：
1．设f（z）
u
iv是解析函数且uvx2
y2
2xy，求f（z）。
分别对方程
u
v
x2
y2
2xy
两边关于x和y求偏导，可得
ux
vx
2x
2y
uy
vy
2y
.
2x
由f（z）解析知，u和v满足C.R.方程，从而
vy
vx
2x2y
vx
vy
2y
2x
vx
2y
v
2xy
C
u
x2
y2
C
vy
2x
f（z）
x2
y2
C
i（2xy
C）
z2
C
2．计算
z
dz，C分别为：
C（z1）（z1）2
（1）|z1|
1
；
（2）
|z1|
1
；
（3）
|z|2.
2
2
解：
z
dz
z
1（
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