第三章复变函数的积分答案doc.docx

1、第三章复变函数的积分答案doc复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号1 复变函数积分的概念4 原函数与不定积分一选择题1设 C 为从原点沿 y2x 至 1i 的弧段，则( xiy 2 ) dzC（ A） 1 5 i（ B）15 i（ C）1 5 i（ D） 1 5 i666666662. 设 C 是 z(1 i)t ， t 从 1 到 2 的线段，则arg zdzC（ A）（ B）i（ C）4(1 i)（ D） 1 i443设 C 是从0 到 1i 的直线段，则zezdz2C（A）12e（B） 1e（C） 1ei（D）1ei2224设 f ( z) 在复平面处处解析且i2i ，则积

2、分iz)dz f ( z)dzf (ii（A） 2i（ B）2i（C） 0（ D）不能确定二填空题1 设 C 为沿原点 z0到点 z1 i 的直线段，则2zdz2。C2 设 C 为正向圆周 | z4 |1，则z23z2dz10 i.C(z4)2三解答题1计算下列积分。（ 1）3 ie2 zdzi1 2 z 3iei21 (e6 ie 2 i )02（ 2）i2 zdzsinii 1 cos2zzsin2zii2dz24iisin2ie 2e2e 2e22ii.4i4（3）1zsin zdz0(sin z zcos z)（4）10 sin1 cos1.izcosz2 dz0sin z2isin

3、21sin( i )2.20222计算积分zC 为正向圆周：dz 的值，其中C | z|（1）| z | 2积分曲线 C 的方程为z2ei ,02则原积分22e i2ieid2I=22id4 i.00（ 2）| z | 4积分曲线 C 的方程为z4ei, 02则原积分24e i4ieid2I=44id8 i .003分别沿 y x 与 yx21i算出积分(i z )dz 的值。0解： (1) 沿 y=x 的积分曲线方程为z(1i )t , 0t1则原积分1i(1 i )t(1 i )dtI0112t )dt( i1)t t 2 1i 2(i00（ 2）沿 yx2 的积分曲线方程为ztit 2

4、, 0t1则原积分I1( tit 2 )(1 2it )dti013 t 21 t41t 3)12 i.2t3i (1 t 2 )dt i (t2 3t0223034计算下列积分(1)( x yix 2 )dz ,C: 从 0 到 1i 的直线段；CC的方程：z(1i )t,0t 1x(t )tt1或, 0y(t )t则原积分I1tit 2 (1 t0(i1t2i1)dt03i )dt1.(2) ( z2 zz)dz ， C： | z | 1 上沿正向从 1 到 1。CC的方程：z ei , 0则原积分I( e2 i1)ieid0i(e3iei)de3ii8e.0303复变函数练习题第三章复变

5、函数的积分系专业班姓名学号2 柯西古萨基本定理3 基本定理的推广复合闭路定理一、选择题1 设 f ( z) 在单连通区域B 内解析， C 为 B 内任一闭路，则必有（ A）Im( )0（ B）Re()0Cfz dzCf zdz（ C）| f (z) | dz0（ D） Ref (z)dz0CC1z3 cos12设 C 为正向圆周 | z|，则Cz22 dz 2(1 z)（A） 2i (3cos1 sin1)（B） 0（C） 6i cos1（ D）2 i sin13 设 f ( z) 在单连通域B 内处处解析且不为零，C 为 B 内任何一条简单闭曲线，则积分f ( z) 2 f (z)f ( z

6、)dzCf (z)（ A） 2 i（B） 2i（C） 0（D）不能确定二、填空题1设 C 为正向圆周 | z |3，则z z dz6 i.C| z|12闭曲线 C :| z | 1 取正方向，则积分ez 20。dzC ( z22)( z 3)三、解答题利用柯西积分公式求复积分（1）判断被积函数具有几个奇点；（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.1计算下列积分（ 1）12 dz,C :| za |a( a0);C z2a解：.1

7、2 dz111dzC z2aC 2a zaz a11dz1dz = 12 i 0i .2aC zaC za2aa1解法二：由被积函数 在 C 内部只有一个奇点 z a， z2 a2故由柯西积分公式可得212 dz 2 i1i .C zaz a z aa（ 2）zdz,C :| z | 2;C z21解：z1111dz=+dz=（i 2i )2 i.C z22 Cz211 z+12解法二：被积函数z在内部具有两个奇点，z21Cz1分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周1、2，CC且1 和2 含于内部。由复合闭路定理，CCCzzdzzC z2dzC1 z21C2 z2dz112z2i

8、zi1 zz1 z 1z1ii2 i（3）|z| 5 z23z1dz2z321z3dz 2 2 i 2 i 6 i .|z| 5z 1同上题中的解法二，3z1dz3z13z1|z| 5 z22zdzdz3C1 ( z3)( z 1)C2 ( z3)( z 1)2 i 3z 12 i 3z 12 i 4 i 6 iz3 z1z 1 z 3（ 4）cos z dz ，其中 C : x2y24 x 正向C z24cos z dzcos z / ( z2) dz 2 i cos2 / (2 2)i cos2 .C z24Cz 222计算积分dz，其中 C为下列曲线：C z(z21)dz1211dz11

9、111I1)C 2zz iz idz2dzdzC z( z2C zC z i2 C z i（ 1） C :| z |1;2I2 i002 i .解法二： I2i12i21 zz0（ 2） C :| zi |3;21I2 i02ii.2解法二： I2i12i12i ii21 zz( zz0i ) z i（ 3） C :| zi |1;12I2i0i .02解法二： I2i1iz( zi ) zi（ 4） C :| z |3。121I2 i2i2 i0.22解法二：I2 i12 i112 ii i 0z21 zi ) z2 i0z(ziz(zi ) z i3计算 Ln zdz，其中C（ 1） Ln

10、 z ln | z | i arg z, C :| z | 1;C的方程：zei ,CLn zdziieid(i1)ei2 i.（ 2） Ln zln | z|i arg z2i , C :| z|R .C的方程：z Rei ,Ln zdz(ln Ri arg z2 i)dzi arg zdziRieid2R i.CCC复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号 5柯西积分公式6 解析函数的高阶导数一选择题。sin(z)1设 C 是正向圆周 x2y22x0 ，则4dzC z21（ A）2 i（ B） 2 i（C）0（ D）2i222设 C 为正向圆周 | z |2 ，则cos z2dz

11、C (1z)（ A）sin1（ B） sin1（ C） 2 i sin1（D） 2i sin13设 f ( z)ed，其中 | z |4 ，则 f (i )| | 4z（ A） 2 i（B） 1（C） 2 i（D）14设 C 为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则zdz 为C (z 1)(z21)（ A）i（ B）i（C） 0（ D）以上都有可能22二填空题：1闭曲线 C :| z |3取正方向，积分ez(e2) i.3 dzC z(z 1)C ez1111(ez )(ez )zz( z3(z 1)2z1zdz 2 ie2 iez 01)2!1!z 1sin()2设 f ( z)2d，其中| z

12、 | 2 ，则 f(1)0， f (3)0。| |2z对满足 z 2的所有的 z，f ( z)=0，从而 f (3) 0三解答题：1设 f ( z)uiv 是解析函数且 u v x2y22xy ，求 f ( z) 。分别对方程uvx2y 22xy两边关于 x和 y求偏导，可得uxvx2 x2 yuyvy2 y.2x由 f ( z)解析知， u和 v满足 C . R.方程，从而vyvx2x 2 yvxv y2 y2xvx2 yv2xyCux2y2Cvy2xf ( z)x2y2Ci(2 xyC )z2C2计算zdz ， C分别为：C (z 1)( z 1)2(1) | z 1|1；(2)| z 1|1；(3)| z | 2 .22解：zdzz1 (