1991考研数四真题及解析.docx
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1991考研数四真题及解析
1991考研数四真题及解析
Borntowin
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题（本题满分15分,每小题3分.）
（1）设z?
esinxy,则dz?
________.
（2）设曲线f?
x?
?
x3?
ax与g?
x?
?
bx2?
c都通过点?
?
1,0?
且在点?
?
1,0?
有公共切线,
则a?
________,b?
________,c?
________.
n（3）设f?
x?
?
xex,则fx?
在点x?
________处取极小值 ________.（4）n阶行列式
?
a?
0?
?
00?
?
bb0ab0a000000?
00?
?
00 ________.?
ab?
?
0a?
?
___?
（5）设A,B为随机事件,P?
A?
?
P?
A?
B?
?
P?
AB?
?
________.
?
?
二、选择题（本题满分15分,每小题3分；每一小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其
中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的圆括号内,每一小题选对得3分,不选或选错一律得0分.）
（1）下列各式中正确的是 （）
?
1?
?
1?
（A）lim （B）1?
?
1lim1ex?
0?
?
x?
0?
?
x?
x?
?
1?
?
1?
（C）lim?
1e （D）lim?
1e
x?
?
xx?
?
x?
（2）设数列的通项为
x?
xxx?
n2?
n,n为奇数，?
?
nxn?
?
?
1,n为偶数，?
?
n则当n?
?
时,xn是 （）（A）无穷大量 （B）无穷小量
（C）有界变量 （D）无界变量
（3）设A,B为n阶方阵,满足等式AB?
0,则必有 （）
Borntowin
（A）A?
0或B?
0 （B）A?
B?
0（C）A?
0或B?
0 （D）A?
B?
0
（4）设A是m?
n矩阵,Ax?
0是非齐次线性方程组Ax?
b所对应的齐次线性方程组,则下
列结论正确的是 （）（A）若Ax?
0仅有零解,则Ax?
b有唯一解
（B）若Ax?
0有非零解,则Ax?
b有无穷多个解（C）若Ax?
b有无穷多个解.,则Ax?
0仅有零解（D）若Ax?
b有无穷多个解,则Ax?
0有非零解
（5）设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 （）
（A）A与B不相容 （B）A与B相容（C）P?
AB?
?
P?
A?
P?
B?
（D）P?
A?
B?
?
P?
A?
三、（本题满分5分）
求极限limx?
1?
xx2?
.
21x
四、（本题满分5分）
求定积分I2x?
x?
1?
dx.
?
11
五、（本题满分5分）
x2arctanxdx.求不定积分I?
?
1?
x2
六、（本题满分5分）
已知xy?
xf?
z?
?
yg?
z?
xf?
?
z?
?
yg?
?
z?
?
0,其中z?
z?
x,y?
是x和y的函数.求证：
?
?
x?
g?
zz?
z?
?
y?
fzy.?
x?
七、（本题满分6分）
假设曲线L1：
y?
1?
x2?
0?
x?
1?
、x和y轴所围区域被曲线L2：
y?
ax2分为面积
相等的两部分,其中a是大于零的常数.试确定a的值.
八、（本题满分8分）
Borntowin
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和
q2；需求函数分别为
q1?
24?
和q2?
10?
总成本函数为
C?
35?
40?
q1?
q2?
.
试问：
厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？
最大利润为多少？
九、（本题满分6分）
证明不等式
1?
1?
ln?
10?
x.
x1?
x?
?
十、（本题满分5分）
设n阶矩阵A和B满足条件A?
B?
AB.
（1）证明A?
E为可逆矩阵（其中E是n阶单位矩阵）；
?
1?
30
（2）已知B?
210,求矩阵A.002?
?
十一、（本题满分7分）
设有三维列向量
?
11?
?
1?
?
0?
?
1,1?
,
?
1?
?
1?
?
2?
?
32111问?
取何值时,
（1）?
可?
1,?
2,?
3线性表示,且表达式唯一?
（2）?
可?
1,?
2,?
3线性表示,且表达式不唯一?
（3）?
不能?
1,?
2,?
3线性表示?
十二、（本题满分4分）
已知向量1,k,1?
是矩阵
T Borntowin
?
211?
?
A?
?
121112?
?
的逆矩阵A的特征向量,试求常数k的值.
十三、（本题满分7分）
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.
（1）求X的概率分布.
（2）求E?
?
1?
1?
1?
X?
?
.?
十四、（本题满分7分）
在电源电压不超过xx年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、填空题（本题满分15分,每小题3分.）
（1）【答案】esinxycosxy?
ydx?
xdy?
【解析】方法一：
先求出两个偏导数
?
z?
z和,然后再写出全微分dz,?
x?
y?
?
zsinxysinxy?
e?
cosxy?
y?
yecosxyx,?
?
z?
?
esinxy?
cosxy?
x?
xesinxycosxyy所以 dz?
?
z?
zdx?
dy?
yesinxycosxydx?
xesinxycosxydy?
x?
y ?
esinxycosxy（ydx?
xdy）.
方法二：
利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.
dz?
d?
esinxy?
?
esinxyd?
sinxy?
?
esinxycosxydxy?
esinxycosxy?
ydx?
xdy?
.
（2）【答案】a?
?
1,b?
?
1,c?
1
【解析】于曲线f?
x?
与g?
x?
都通过点?
?
1,0?
则
?
?
f?
?
11?
a?
0,?
g?
1?
b?
c?
0又曲线f?
x?
与g?
x?
在点?
?
1,0?
有公切线,则f1?
?
g1?
即
f13x2?
a?
（3）【答案】xn?
1?
；?
e?
?
n?
1?
x?
?
1?
3?
a?
g1?
?
2bxx?
?
1?
?
2b,
亦即3?
a?
?
2b,解之得a?
?
1,b?
?
1,c?
1.
?
n?
kCnuvkk?
0nn?
k?
【解析】高阶导数的莱布尼兹公式?
uv?
f（n）可知,
012（x）?
Cnx（ex）（n）?
Cnx?
（ex）（n?
1）?
Cnx?
?
（ex）（n?
2）?
xxn（n）x?
Cnxe
?
xe?
ne?
0?
?
0?
（x?
n）ex.
Borntowin
n对函数g?
x?
?
fx?
求导,并令g?
?
x?
?
0,得
g?
?
x?
?
f（n?
1）（x）?
（x?
n?
1）ex?
0,
解之得驻点xn?
1?
且
?
g?
（x）?
0,x?
?
（n?
1）,函数g（x）严格单调递减；g（x）?
0,x?
?
（n?
1）,函数g（x）严格单调递增；n故xn?
1?
是函数g?
x?
?
fx?
的极小值点,极小值为
g（?
n?
1）?
f（n）（?
n?
1）?
（?
n?
1?
n）e?
n?
1?
?
e?
n?
1.
n（4）【答案】a1?
n?
1bn
【解析】因为本题行列式中零元素较多,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开,达到降阶的目的.
方法1：
按第1列展开,有
ab00abD?
a000000ab00abD?
a0000000ba0000?
b?
?
1?
ab0a0000?
bab0a0ban?
1bab?
an1?
babn?
1bn.
方法2：
也可以按第一行展开,有
abba对第二个n?
1阶行列式,按第一列展开有
b?
b?
?
1?
a?
n?
1?
?
1abab?
?
?
1?
bn?
1.
nbn所以D?
a1?
n?
1babn.
【相关知识点】行列式的性质：
将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即
Borntowin
D?
ai1Ai1?
ai2Ai2?
?
ainAin?
?
aijAij ?
i?
1,2,j?
1n,n?
其中Aij?
（?
1）i?
jMij,Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的n?
1阶行列式,它称为aij的余子式,Aij称为aij的代数余子式.（5）【答案】
【解析】概率基本公式,有
P?
A?
B?
?
P?
A?
AB?
?
P?
A?
?
P?
AB?
?
P?
AB?
?
P?
A?
?
P?
A?
B?
?
?
___?
故P?
AB?
?
1?
P?
AB?
?
?
?
二、选择题（本题满分15分,每小题3分.）
（1）【答案】（A）
【解析】重要极限lim（1?
）?
e可知,
x?
?
1xx1x1?
x?
（?
1）?
e?
1,
x?
?
x?
?
xx1?
x1x?
（?
1）?
e?
1. lim（1?
）?
lim（1?
）x?
?
x?
?
xx极限 lim（1?
）?
lim[1?
（?
）]1limln（1?
）xlimxln（1?
）ln（1?
）x1xxxxx?
0?
x?
0?
而极限lim（1,?
）?
lime?
e?
e?
x?
0?
x?
0x11令t?
1,则xx?
0xln（1?
）?
lim lim?
1xln（1?
t）1洛lim?
0,
tt1?
tt1limxln（1?
）1x0xx?
0?
所以 lim（1?
）?
e?
e?
1.
x?
0?
x故选项（A）正确.
（2）【答案】（D）
【解析】于n为奇数时,x?
n?
1（当n?
?
时）,nn为偶数时,x?
1?
0（当n?
?
时）,n所以当n?
?
时,xn既不是无穷大量,也不是无穷小量,而是无界变量.故应选（D）.（3）【答案】（C）
Borntowin
【解析】AB?
0,用行列式乘法公式,有AB?
AB?
0,所以,A与B这两个数中至少有一个为0,故应选（C）.注意,若A11?
?
11?
,有AB?
0,显然A?
0,B?
0.这里一个常见的错误B1?
1?
?
11?
是“若AB?
0,B?
0,则A?
0”.要引起注意.
（4）【答案】（D）
【解析】Ax?
0仅有零解?
r?
A?
?
n,Ax?
b有唯一解?
r?
A?
?
rA?
n.现在的问题是r?
A?
?
n能否推导出rA?
n？
若A是n阶矩阵,结论肯定正确,那么m?
n矩阵呢？
x1?
x2?
0,?
x1?
x2?
1,?
?
考察下面的例子：
?
x1?
x2?
0, ?
x1?
x2?
2,
?
x?
x?
0,?
x?
x?
3,?
12?
12显然Ax?
0只有零解,而Ax?
b无解,可见（A）不正确.
Ax?
b有无穷多解?
r?
A?
?
rA?
n,因为r?
A?
?
n,故Ax?
0必有非零解.所以
（D）正确.故应选（D）.
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?
n矩阵,线性方程组Ax?
b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A?
?
Ab?
的秩,即是r（A）?
r（A）（或者说,b可A的列向量?
1,?
2,亦等同于?
1,?
2,?
?
?
n线表出,
?
n与?
1,?
2,,?
n,b是等价向量组）.
设A是m?
n矩阵,线性方程组Ax?
b,则
有唯一解 ?
r（A）?
r（A）?
n.有无穷多解 ?
r（A）?
r（A）?
n.无解 ?
r（A）?
1?
r（A）.
?
b不能A的列向量?
1,?
2,2.对齐次线性方程组Ax?
0,有定理如下:
对矩阵A按列分块,有A1,?
2,,?
n线表出.
?
n?
则Ax?
0的向量形式为
?
xn?
n?
0,
x1?
1?
x2?
2?
那么, Ax?
0有非零解?
?
1,?
2,,?
n线性相关
Borntowin
?
r?
?
1,?
2, ?
r?
A?
?
n.（5）【答案】（D）【解析】AB?
A,?
n?
?
n
B,如果AB?
?
则AB?
?
即A与B互不相容；如果
AB?
?
则AB?
?
即A与B相容.于A、B的任意性,故选项（A）（B）均不正确.
任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和.又因AB?
?
从而
A?
B?
AB?
A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容
等同于A、B相互独立而错选（C）.
A,B不相容,P?
A?
P?
B?
均不为零,因此
P?
AB?
?
P0,P?
AB?
?
P?
A?
P?
B?
.
即（C）不正确.用排除法应选（D）.
事实上,P?
A?
B?
?
P?
A?
?
P?
AB?
?
P?
A?
.
三、（本题满分5分）
【解析】本题属?
型未定式极限.
0方法一：
limx?
1?
xx2?
1x?
limex1lnx?
1?
x2x?
lnx?
1?
xelim1x?
2x2111?
x2而 limlnx?
1?
x洛lim?
lim=0,
22xxxxx?
1?
x1?
x1x?
?
1?
x于是 limx?
1?
xx2?
?
e0?
1.
方法二：
limx?
1?
xx2?
1x?
1?
?
limx?
?
1?
1?
x2?
?
x1x1x1lnx?
1?
00而 lim?
1?
1?
2?
?
2?
1, limxx?
limex?
e?
1,
xxxx1x Borntowin
于是 limx?
1?
x2x1x?
1.
四、（本题满分5分）【解析】I?
?
?
1?
1?
2x?
x?
1?
dx?
?
21?
1?
4x2?
x2?
1?
4xx?
4x?
2x?
dx
?
1?
1?
5x2?
1?
2x?
dx?
?
1?
1?
4xx?
4x?
dx,
因为积分区域关于原点对称,5x2?
1?
2x为偶函数,4xx?
4x为奇函数,所以定积分的性质可知
?
?
5x?
112?
1?
2x?
dx?
2?
?
5x?
1?
2x?
dx,?
2011?
1?
4xx?
4x?
dx?
0,
所以 I?
2?
10?
5x2?
1?
2x?
dx?
2?
?
5x2?
2x?
1?
dx
0122?
5?
?
2?
x3?
x2?
x?
?
.
?
3?
03
五、（本题满分5分）【解析】方法一：
I?
?
1?
11?
arctanxarctanxdx?
arctanxdx1?
x2dx1?
x2?
?
xarctanx?
?
xdarctanx?
?
arctanxdarctanx
x12dx?
arctanx21?
x21112?
xarctanx?
?
dx?
arctan2x221?
x211?
xarctanx?
ln?
1?
x2?
?
arctan2x?
C.
22?
xarctanx?
?
方法二：
令arctanx?
u,则x?
tanu,1?
x2?
sec2u,dx?
sec2udu
tan2u222Iu?
secudu?
utanudu?
usecu?
1?
du?
2?
?
secu?
?
usec2udu?
?
udu?
?
udtanu?
?
udu
1dcosu12?
utanu?
?
tanudu?
u2?
utanuu
2cosu21?
utanu?
lncosu?
u2?
C
2
Borntowin
11?
xarctanx?
ln?
1?
x2?
?
arctan2x?
C.
22
六、（本题满分5分）
【解析】将xy?
xf?
z?
?
yg?
z?
两边同时对x,y分别求偏导数,得
?
z?
zy?
fz?
xfz?
ygzx?
x?
?
?
z?
z?
x?
xf?
?
z?
?
g?
z?
?
yg?
?
z?
?
y?
y?
?
y?
f?
zzxxf?
?
z?
?
yg?
?
z?
即 ?
.
x?
g?
zzyxf?
?
z?
?
yg?
?
z?
?
于是 ?
x?
g?
zz?
x?
g?
zy?
f?
zzy?
f?
z?
?
.?
xyg?
?
z?
?
xf?
?
z?
?
y
七、（本题满分6分）
【解析】先求出曲线L1和L2的交点,然后利用定积分求出平面图形面积S1和S2,如图：
1?
x?
?
?
y?
1?
x0?
x?
11?
a?
得?
2?
?
y?
a.?
y?
axa?
0?
?
1?
a?
2所以 S?
S1?
S2?
?
10ydx?
?
（1?
x2）dx
012?
13?
?
?
x?
x?
?
3?
03?
S1?
?
11?
a01?
?
1?
x?
2?
?
ax11?
a2?
dx011?
a2?
?
1?
1?
axdx
?
1?
a3x?
x?
3?
?
0又因为S?
2S1,所以
?
2.31?
a22?
2?
即1?
a?
2,解得a?
3.331?
a Borntowin
八、（本题满分8分）
【解析】方法1：
总收入函数为
R?
p1q1?
p2q2?
24p1?
?
10p2?
总利润函数为
L?
R?
C?
?
p1q1?
p2q235?
40?
q1?
q2 ?
32p1?
?
12p2?
?
1395.极值的必要条件,得方程组
?
?
L
?
?
p?
32?
?
0,?
1
?
?
?
L?
12?
?
0,
2
p2
即p1?
80,p2?
120.
因驻点的唯一,且问题的实际含义可知必有最大利润.故当p1?
80,p2?
120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为
Lp?
80,p?
120?
12p1?
80,p2?
120?
605
方法2：
两个市场的价格函数分别为
p1?
120?
5q1,p2?
200?
20q2,
总收入函数为
R?
p1q1?
p2q2?
?
120?
5q1?
q1?
?
200?
20q2?
q2,
总利润函数为
L?
R?
C?
?
120?
5q1?
q1?
?
200?
20q2?
q235?
40?
q1?
q2 ?
80q1?
5q12?
160q2?
20q22?
35.极值的必要条件,得方程组
?
?
L?
?
q?
80?
10q1?
0,?
1?
q1?
8,q2?
4.?
?
L?
?
160?
40q2?
0,q2因驻点的唯一,且问题的实际含义可知必有最大利润.故当q1?
8,q2?
4,即p1?
80,
p2?
120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为Lq1?
8,q2?
4?
605.
Borntowin
九、（本题满分6分）【解析】令g（x）?
ln?
1?
方法一：
利用单调性.
?
?
1?
1,欲证不等式成立,只需证g（x）?
0,x?
（0,?
?
）.?
?
x?
1?
x121111?
x于 g?
（x）?
?
ln（1?
）?
22?
1x1?
x?
1?
（1?
x）x（1?
x）?
x?
且x?
（0,?
?
）,故g?
（x）?
?
1?
0,所以函数g（x）在（0,?
?
）上单调减少.2x（1?
x）又 limg（x）?
lim?
ln（1?
）?
xx1x1?
?
0,1?
x1?
10?
x.?
x?
1?
x于是有g（x）?
0,x?
（0,?
?
）,所以ln?
1?
方法二：
利用拉格朗日中值定理.令 ln?
11?
?
x?
1?
?
lnln（1?
x）?
lnx?
u（x?
1）?
u（x）,x?
x?
?
所以在区间（x,x?
1）存在一点?
使得
u（x?
1）?
u（x）?
u?
（?
）（x?
1?
x）?
u?
（?
）?
1?
即ln（1?
）?
1x1?
又因为0?
x1?
x,所以
111?
?
所以1?
x?
x1111?
ln（1?
）?
?
1?
xx?
x即 ln?
11?
10?
x.?
x?
1?
x
十、（本题满分5分）
【解析】
（1）A?
B?
AB,加项后因式分解得有
AB?
B?
A?
E?
?
A?
E?
?
B?
E?
?
E,
Borntowin
所以A?
E可逆,且?
A?
E?
?
1?
B?
E,?
B?
E?
?
A?
E,?
B?
E?
?
A?
E.
?
1?
1?
1
（2）
（1）小题得出A?
E?
?
B?
E?
.
对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：
Aab?
?
则求A的伴随矩阵
?
cdab?
?
d?
b?
A*.
?
cdca?
?
ab?
1?
d?
b?
1?
?
如果A?
0,这样A?
?
ca?
ad?
bc?
cd?
?
A?
1?
A0?
再利用分块矩阵求逆的法则：
0B?
?
0?
1?
1?
1?
d?
b.?
ca?
?
0?
有?
1?
B?
?
0?
30?
?
1A01?
?
200?
B?
E01?
0010?
?
1利用2阶矩阵快速求逆法得A1?
?
31?
2?
?
00?
13?
?
0?
?
1200?
0?
?
0?
?
?
1再利用分块矩阵求逆的法则,得?
B?
E?
?
1?
A?
10011?
1?
1故A?
E?
?
B?
E3?
?
0?
?
应当用定义法.
十一、（本题满分7分）
1210?
0?
?
0?
.?
?
2注：
A?
B?
AB要证A?
E可逆时,因为满足关系式A?
B?
AB的矩阵A,B不唯一,故
Borntowin
【解析】设x1?
1?
x2?
2?
x3?
3?
?
将分量代入得到方程组
?
?
1x1?
x2?
x3?
0,?
?
x1?
?
1x2?
x3?
?
?
2x?
x?
1?
?
x?
?
.?
?
3?
12对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有?
?
1?
、?
?
1加到第二行和第三行上,有
110?
?
1111?
?
122?
1112?
再第二行加到第三行上,所以有
10?
?
0,?
?
0?
20.00?
21101?
123?
?
2若?
?
0且?
?
3?
?
0,即?
?
0且3,则r?
A?
?
rA?
3,方程组有唯一解,即
可?
1,?
2,?
3线性表示且表达式唯一.
若?
?
0,则r?
A?
?
rA?
1?
3,方程组有无穷多解,?
可?
1,?
2,?
3线性表示,且表达式不唯一.
若?
?
3,则r?
A?
?
2,rA?
3,方程组无解,从而?
不能?
1,?
2,?
3线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?
n矩阵,线性方程组Ax?
b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A?
?
Ab?
的秩,即是r（A）?
r（A）（或者说,b可A的列向量?
1,?
2,亦等同于?
1,?
2,,?
n线表出,
?
n与?
1,?
2,,?
n,b是等价向量组）.
设A是m?
n矩阵,线性方程组Ax?
b,则
（1）有唯一解?
r（A）?
r（A）?
n.
（2）有无穷多解?
r（A）?
r（A）?
n.（3）无解 ?
r（A）?
1?
r（A）.
?
b不能A的列向量?
1,?
2,
?
n线表出.
Borntowin
十二、（本题满分4分）
?
1【解析】?
为A的特征值可知,存在非零向量?
使A,两端左乘A,得
A?
1?
.
?
1因为?
?
0,故?
?
0,于是有A?
?
1?
?
.按特征值定义知
1?
是A的特征值,且?
为相应
?
1的特征向量.
本题中设?
0是?
所属的特征值,即A?
10?
.于是0A?
?
211?
?
1?
?
10?
2?
k?
1?
?
1,?
?
kk1?
2k?
1?
k,?
k?
?
2或k?
1.
?
0?
121?
?
0112110?
1?
k?
2?
?
1,注：
利用特征值、特征向量的定义来建立方程组,通过借方程组可求出参数.这种方法在以后
的考试中多次出现.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：
设A是n阶矩阵,若存在数?
及非零的n维列向量X使得AX?
?
X成立,则称?
是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.
十三、（本题满分7分）
【解析】
（1）首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率.
设事件Ai?
“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i?
1,2,3,且Ai相互独立.
1P?
Ai?
?
PAi?
.
2?
?
事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i?
1.所以有
P?
X?
0?
?
P?
A1?
?
1,
2P?
X?
1?
?
PA1A2?
PA1P?
A2?
?
122,
2323,.
P?
X?
2?
?
PA1A2A3?
PA1PA2P?
A3?
?
1P?
X?
3?
?
PA1A2A3?
PA1PA2PA3?
1则X的概率分布为
?
?
01231111P?
X?
x?
23322221111
（2）离散型随机变量的取值为1,,,.所以其概率分布为
1?
X234x Borntowin
1211P?
X?
x?
2221离散型随机变量数学
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