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1、1991考研数四真题及解析 1991考研数四真题及解析 Born to win 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 设z?esinxy,则dz?_. (2) 设曲线f?x?x3?ax与g?x?bx2?c都通过点?1,0?,且在点?1,0?有公共切线, 则a?_, b?_, c?_. n(3) 设f?x?xex,则fx?在点x?_处取极小值_. (4) n阶行列式 ?a?0?00?bb0ab0a000000?00?00_. ?ab?0a?_?(5) 设A,B为随机事件,P?A?,P?A?B?,P?AB?_. ?二、选择题(本题满分1

2、5分,每小题3分；每一小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其 中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的圆括号内,每一小题选对得3分,不选或选错一律得0分.) (1) 下列各式中正确的是 ( ) ?1?1?(A) lim(B) 1?1lim1e x?0?x?0?x?x?1?1?(C) lim?1e(D) lim?1e x?xx?x?(2) 设数列的通项为 x?xxx?n2?n,n为奇数，?nxn? ?1, n为偶数，?n则当n?时,xn是( ) (A) 无穷大量(B) 无穷小量 (C) 有界变量(D) 无界变量 (3) 设A,B为n阶方阵,满足等式AB?0,则必有( ) Bo

3、rn to win (A) A?0或B?0(B) A?B?0 (C) A?0或B?0(D) A?B?0 (4) 设A是m?n矩阵,Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组,则下 列结论正确的是( ) (A) 若Ax?0仅有零解,则Ax?b有唯一解 (B) 若Ax?0有非零解,则Ax?b有无穷多个解 (C) 若Ax?b有无穷多个解.,则Ax?0仅有零解 (D) 若Ax?b有无穷多个解,则Ax?0有非零解 (5) 设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( ) (A) A与B不相容(B) A与B相容 (C) P?AB?P?A?P?B?(D) P?A?B?P

4、?A? 三、(本题满分5分) 求极限 limx?1?xx2?. 21x 四、(本题满分5分) 求定积分I2x?x?1?dx. ?11 五、(本题满分5分) x2arctanxdx. 求不定积分 I?1?x2 六、(本题满分5分) 已知xy?xf?z?yg?z?,xf?z?yg?z?0,其中z?z?x,y?是x和y的函数. 求证：?x?g?zz?z?y?fzy. ?x? 七、(本题满分6分) 假设曲线L1：y?1?x2?0?x?1?、x和y轴所围区域被曲线L2：y?ax2分为面积 相等的两部分,其中a是大于零的常数.试确定a的值. 八、(本题满分8分) Born to win 某厂家生产的一种产

5、品同时在两个市场销售,售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和 q2；需求函数分别为 q1?24?和q2?10? 总成本函数为 C?35?40?q1?q2?. 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？ 九、(本题满分6分) 证明不等式 1?1?ln?10?x. x1?x? 十、(本题满分5分) 设n阶矩阵A和B满足条件A?B?AB. (1) 证明A?E为可逆矩阵(其中E是n阶单位矩阵)； ?1?30(2) 已知B?210,求矩阵A. 002? 十一、(本题满分7分) 设有三维列向量 ?11?1?0?,1,1?, ?1?1?2?32111问?取何值时, (1)

6、?可?1,?2,?3线性表示,且表达式唯一? (2) ?可?1,?2,?3线性表示,且表达式不唯一? (3) ?不能?1,?2,?3线性表示? 十二、(本题满分4分) 已知向量1,k,1?是矩阵 TBorn to win ?211? A?121112?的逆矩阵A的特征向量,试求常数k的值. 十三、(本题满分7分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数. (1) 求X的概率分布. (2) 求E?1?1?1?X?. ? 十四、(本题满分7分) 在电源电压不

7、超过xx年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】esinxycosxy?ydx?xdy? 【解析】方法一：先求出两个偏导数 ?z?z和,然后再写出全微分dz, ?x?y?zsinxysinxy?e?cosxy?y?yecosxyx, ?z?esinxy?cosxy?x?xesinxycosxyy所以dz?z?zdx?dy?yesinxycosxydx?xesinxycosxydy ?x?y?esinxycosxy(ydx?xdy). 方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz. dz?d?esinxy?esinx

8、yd?sinxy?esinxycosxydxy?esinxycosxy?ydx?xdy?. (2)【答案】a?1,b?1,c?1 【解析】于曲线f?x?与g?x?都通过点?1,0?,则 ?f?11?a?0, ?g?1?b?c?0又曲线f?x?与g?x?在点?1,0?有公切线,则f1?g1?,即 f13x2?a?(3)【答案】xn?1?；?e?n?1?x?1?3?a?g1?2bxx?1?2b, 亦即3?a?2b,解之得 a?1,b?1,c?1. ?n?kCnuvkk?0nn?k?【解析】高阶导数的莱布尼兹公式?uv?f(n)可知, 012(x)?Cnx(ex)(n)?Cnx?(ex)(n?1)?

9、Cnx?(ex)(n?2)?xxn(n)x?Cnxe ?xe?ne?0?0?(x?n)ex. Born to win n对函数g?x?fx?求导,并令g?x?0,得 g?x?f(n?1)(x)?(x?n?1)ex?0, 解之得驻点xn?1?,且 ?g?(x)?0,x?(n?1),函数g(x)严格单调递减； g(x)?0,x?(n?1),函数g(x)严格单调递增；n故xn?1?是函数g?x?fx?的极小值点,极小值为 g(?n?1)?f(n)(?n?1)?(?n?1?n)e?n?1?e?n?1. n(4)【答案】a1?n?1bn 【解析】因为本题行列式中零元素较多,所以考虑将行列式按某一行或者某

10、一列展开,达到降阶的目的. 方法1：按第1列展开,有 ab00abD?a000000ab00abD?a0000000ba0000?b?1?ab0a0000?bab0a0ban?1bab?an1?babn?1bn. 方法2：也可以按第一行展开,有 , abba对第二个n?1阶行列式,按第一列展开有 b?b?1?a?n?1?1abab?1?bn?1. nbn所以 D?a1?n?1babn. 【相关知识点】行列式的性质：将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即 Born to win D?ai1Ai1?ai2Ai2?ainAin?aijAij?i?1,2,j?1n,n? 其中Aij?(?1)i?jM

11、ij,Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的n?1阶行列式,它称为aij的余子式,Aij称为aij的代数余子式. (5)【答案】 【解析】概率基本公式,有 P?A?B?P?A?AB?P?A?P?AB?P?AB?P?A?P?A?B?, ?_?故 P?AB?1?P?AB? ? 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A) 【解析】重要极限lim(1?)?e可知, x?1xx1x1?x?(?1)?e?1, x?x?xx1?x1x?(?1)?e?1.lim(1?)?lim(1?)x?x?xx极限lim(1?)?lim1?(?)1limln(1?)xlimxln(1?

12、)ln(1?)x1xxxxx?0?x?0?而极限 lim(1, ?)?lime?e?e?x?0?x?0x11令t?1,则 xx?0xln(1?)?limlim?1xln(1?t)1洛lim?0, tt1?tt1limxln(1?)1x0xx?0?所以lim(1?)?e?e?1. x?0?x故选项(A)正确. (2)【答案】(D) 【解析】于n为奇数时,x?n?1(当n?时), nn为偶数时,x?1?0(当n?时), n所以当n?时,xn既不是无穷大量,也不是无穷小量,而是无界变量.故应选(D). (3)【答案】(C) Born to win 【解析】AB?0,用行列式乘法公式,有AB?AB?0

13、,所以,A与B这两个数中至少有一个为0,故应选(C). 注意,若A11?11?,有AB?0,显然A?0,B?0.这里一个常见的错误B1?1?11?是“若AB?0,B?0,则A?0”.要引起注意. (4)【答案】(D) 【解析】Ax?0仅有零解?r?A?n,Ax?b有唯一解?r?A?rA?n. 现在的问题是r?A?n能否推导出rA?n？若A是n阶矩阵,结论肯定正确,那么m?n矩阵呢？ x1?x2?0,?x1?x2?1,?考察下面的例子：?x1?x2?0,?x1?x2?2, ?x?x?0,?x?x?3,?12?12显然Ax?0只有零解,而Ax?b无解,可见(A)不正确. Ax?b有无穷多解?r?A

14、?rA?n,因为r?A?n,故Ax?0必有非零解. 所以 (D)正确.故应选(D). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A?Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,?,?n线表出, ,?n与?1,?2,?n,b是等价向量组). 设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 有唯一解? r(A)?r(A)?n. 有无穷多解? r(A)?r(A)?n. 无解 ? r(A)?1?r(A). ? b不能A的列向量?1,?2,2.对齐次线性方程组Ax?0,有定理

15、如下: 对矩阵A按列分块,有A1,?2,?n线表出. ,?n?,则Ax?0的向量形式为 ?xn?n?0, x1?1?x2?2?那么,Ax?0有非零解?1,?2,?n线性相关 Born to win ?r?1,?2, ?r?A?n. (5)【答案】(D) 【解析】AB?A,?n?n B,如果AB?,则AB?,即A与B互不相容；如果 AB?,则AB?,即A与B相容.于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确. 任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和. 又因AB?,从而 A?B?AB?A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容 等同于A、B相互独立而错选(

16、C). A,B不相容,P?A?,P?B?均不为零,因此 P?AB?P0,P?AB?P?A?P?B?. 即(C)不正确. 用排除法应选(D). 事实上,P?A?B?P?A?P?AB?P?A?. 三、(本题满分5分) 【解析】本题属?型未定式极限. 0方法一：limx?1?xx2?1x?limex1lnx?1?x2x?lnx?1?xelim1x? 2x2111?x2而limlnx?1?x洛lim?lim=0, 22xxxxx?1?x1?x1x?1?x于是limx?1?xx2?e0?1. 方法二：limx?1?xx2?1x?1?, ?limx?1?1?x2?x1x1x1lnx?1?00而lim?1?

17、1?2?2?1,limxx?limex?e?1, xxxx1xBorn to win 于是limx?1?x2x1x?1. 四、(本题满分5分) 【解析】 I?1?1?2x?x?1?dx?21?1?4x2?x2?1?4xx?4x?2x?dx ?1?1?5x2?1?2x?dx?1?1?4xx?4x?dx, 因为积分区域关于原点对称,5x2?1?2x为偶函数,4xx?4x为奇函数,所以定积分的性质可知 ?5x?112?1?2x?dx?2?5x?1?2x?dx, ?2011?1?4xx?4x?dx?0, 所以I?2?10?5x2?1?2x?dx?2?5x2?2x?1?dx 0122?5?2?x3?x2

18、?x?. ?3?03 五、(本题满分5分) 【解析】方法一：I?1?11?arctanxarctanxdx?arctanxdx1?x2dx 1?x2?xarctanx?xdarctanx?arctanxdarctanx x12dx?arctanx 21?x21112?xarctanx?dx?arctan2x 221?x211?xarctanx?ln?1?x2?arctan2x?C. 22?xarctanx?方法二：令arctanx?u,则x?tanu,1?x2?sec2u,dx?sec2udu tan2u222Iu?secudu?utanudu?usecu?1?du ?2?secu?usec2

19、udu?udu?udtanu?udu 1dcosu12?utanu?tanudu?u2?utanuu 2cosu21?utanu?lncosu?u2?C 2 Born to win 11?xarctanx?ln?1?x2?arctan2x?C. 22 六、(本题满分5分) 【解析】将xy?xf?z?yg?z?两边同时对x,y分别求偏导数,得 ?z?zy?fz?xfz?ygzx?x?, ?z?z?x?xf?z?g?z?yg?z?y?y?y?f?zzxxf?z?yg?z?即?. x?g?zzyxf?z?yg?z?于是?x?g?zz?x?g?zy?f?zzy?f?z?. ?xyg?z?xf?z?y

20、七、(本题满分6分) 【解析】先求出曲线L1和L2的交点,然后利用定积分求出平面图形面积S1和S2,如图： 1?x?,?y?1?x0?x?11?a? 得 ?2?y?a.?y?axa?0?1?a?2所以S?S1?S2?10ydx?(1?x2)dx 012?13? ?x?x?, 3?03?S1?11?a01?1?x?2?ax11?a2?dx011?a2?1?1?axdx ?1?a3x?x?3?0又因为S?2S1,所以 ?2. 31?a22?2?,即1?a?2,解得a?3. 331?aBorn to win 八、(本题满分8分) 【解析】方法1：总收入函数为 R?p1q1?p2q2?24p1?10p

21、2?, 总利润函数为 L?R?C?p1q1?p2q235?40?q1?q2?32p1?12p2?1395. 极值的必要条件,得方程组 ?L ?p?32?0,?1 ? ?L?12?0, 2 p2 即p1?80,p2?120. 因驻点的唯一,且问题的实际含义可知必有最大利润.故当p1?80,p2?120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 Lp?80,p?120?12p1?80,p2?120?605 方法2：两个市场的价格函数分别为 p1?120?5q1,p2?200?20q2, 总收入函数为 R?p1q1?p2q2?120?5q1?q1?200?20q2?q2, 总利润函数为 L?R?C?

22、120?5q1?q1?200?20q2?q235?40?q1?q2?80q1?5q12?160q2?20q22?35. 极值的必要条件,得方程组 ?L?q?80?10q1?0,?1?q1?8,q2?4. ?L?160?40q2?0,q2因驻点的唯一,且问题的实际含义可知必有最大利润.故当q1?8,q2?4,即p1?80, p2?120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为Lq1?8,q2?4?605. Born to win 九、(本题满分6分) 【解析】令g(x)?ln?1?方法一：利用单调性. ?1?1,欲证不等式成立,只需证g(x)?0,x?(0,?). ?x?1?x121111?x

23、于g?(x)?ln(1?)?, 22?1x1?x?1?(1?x)x(1?x)?x?且x?(0,?),故g?(x)?1?0,所以函数g(x)在(0,?)上单调减少. 2x(1?x)又limg(x)?lim?ln(1?)?xx1x1?0, 1?x1?10?x. ?x?1?x于是有g(x)?0,x?(0,?),所以ln?1?方法二：利用拉格朗日中值定理. 令ln?11?x?1?lnln(1?x)?lnx?u(x?1)?u(x), x?x?所以在区间(x,x?1)存在一点?,使得 u(x?1)?u(x)?u?(?)(x?1?x)?u?(?)?1?, 即ln(1?)?1x1?,又因为0?x1?x,所以

24、111?,所以 1?x?x1111?ln(1?)?, 1?xx?x即ln?11?10?x. ?x?1?x 十、(本题满分5分) 【解析】(1)A?B?AB,加项后因式分解得有 AB?B?A?E?A?E?B?E?E, Born to win 所以A?E可逆,且?A?E?1?B?E,?B?E?A?E,?B?E?A?E. ?1?1?1(2) (1)小题得出A?E?B?E?. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：Aab?,则求A的伴随矩阵 ?cdab?d?b?A*. ?cdca?ab?1?d?b?1?如果A?0,这样A?ca?ad?bc?cd?A?1?A0?再利用分块矩阵求逆的法则：0B?0?1?1?1?d

25、?b. ?ca?0?,有 ?1?B?0?30?1A01?200?B?E01?, 0010?1利用2阶矩阵快速求逆法得 A1?31?2?, 00?13?0?1200?0?0?, ?1再利用分块矩阵求逆的法则,得?B?E?1?A?10011?1?1故 A?E?B?E3?0?应当用定义法. 十一、(本题满分7分) 1210?0?0?. ?2注：A?B?AB要证A?E可逆时,因为满足关系式A?B?AB的矩阵A,B不唯一,故 Born to win 【解析】设x1?1?x2?2?x3?3?,将分量代入得到方程组 ?1x1?x2?x3?0,?x1?1x2?x3?, ?2x?x?1?x?.?3?12对方程组

26、的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有?1?、?1加到第二行和第三行上,有 110?1111?122?1112?再第二行加到第三行上,所以有 10?0, ?0?20. 00?21101?123?2若?0且?3?0,即?0且3,则r?A?rA?3,方程组有唯一解,即 可?1,?2,?3线性表示且表达式唯一. 若?0,则r?A?rA?1?3,方程组有无穷多解,?可?1,?2,?3线性表示,且表达式不唯一. 若?3,则r?A?2,rA?3,方程组无解,从而?不能?1,?2,?3线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数

27、矩阵的秩等于增广矩阵A?Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,?n线表出, ,?n与?1,?2,?n,b是等价向量组). 设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 (1) 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n. (2) 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n. (3) 无解? r(A)?1?r(A). ?b不能A的列向量?1,?2, ,?n线表出. Born to win 十二、(本题满分4分) ?1【解析】?为A的特征值可知,存在非零向量?使A,两端左乘A,得 A?1?. ?1因为?0,故?0,于是有A?1?.按特征值定义知 1?是A的特征

28、值,且?为相应 ?1的特征向量. 本题中设?0是?所属的特征值,即A?10?.于是0A?, ?211?1?10?2?k?1?1,?kk1?2k?1?k,?k?2或k?1. ?0?121?0112110?1?k?2?1,注：利用特征值、特征向量的定义来建立方程组,通过借方程组可求出参数.这种方法在以后 的考试中多次出现. 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX?X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量. 十三、(本题满分7分) 【解析】(1)首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率. 设事件A

29、i?“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i?1,2,3,且Ai相互独立. 1P?Ai?PAi?. 2?事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i?1.所以有 P?X?0?P?A1?1, 2P?X?1?PA1A2?PA1P?A2?122, 2323, . P?X?2?PA1A2A3?PA1PA2P?A3?1P?X?3?PA1A2A3?PA1PA2PA3?1则X的概率分布为 ?0 1 2 3 1111P?X?x? 2 3 3 22221111(2)离散型随机变量的取值为1,.所以其概率分布为 1?X234xBorn to win 1 211P?X?x? 2 221 离散型随机变量数学