brｅaｋ ％ 符合要求时结束
eｎd
ｅnd
h＝（b－a）/n %求ｈ
Tn1＝0
fｏrk=1：
n—1 ％求连加与
ｘｋ=a+k＊h
Ｔｎ1=Tｎ1+ｆ（xk）
end
Ｔｎ=ｈ/2＊（（f（a）+2*Tｎ1+f（b）））
ｚ=ｅxp
（2）
R=Tn-z %求已知值与计算值得差
fpｒintf（＇用复化梯形算法计算得结果 Tn=＇）
ｄiｓｐ（Ｔn）
fｐrintｆ（'等分数 n=’）
disp（ｎ） %输出等分数
fprintf（'已知值与计算值得误差R＝'）
dｉsｐ（Ｒ）
输出结果显示:
用复化梯形算法计算得结果Tｎ=7、3８91
等分数n=7０１９
已知值与计算值得误差Ｒ= 2、８300e—00８
2、Simpson公式
程序:
程序1：
（求f（x）得n阶导数）：
syｍsx
f=x＊eｘｐ（x） ％定义函数f（x）
ｎ=inｐuｔ（'输入所求导数阶数：
＇）
f2=diff（f，x，n）％求f（ｘ）得n阶导数
结果1
输入n＝4
f2=
4＊eｘp（ｘ）+x*exp（x）
程序2:
clc
cleaｒ
sｙmｓx ％定义自变量ｘ
ｆ=inline（’x＊exp（ｘ）’,＇x’） ％定义函数f（x）=ｘ＊exp（ｘ），换函数时只需换该函数表达式即可
f2=ｉnline（'（４＊eｘp（x）+ x*ｅxp（x））’,’x'） ％定义f（x）得四阶导数，输入程序1里求出得f２即可
f3='—（４＊exp（x）+x＊ｅxp（x））' %因ｆmiｎbnd（）函数求得就是表达式得最小值,且要求表达式带引号，故取负号,一边求最大值
e=５*１０^（-８） ％精度要求值
a＝1 %积分下限
b＝2 ％积分上限
ｘ１=fｍiｎbnd（f3，1,2） ％求负得四阶导数得最小值点，也就就是求四阶导数得最大值点对应得x值
forn=２:
１0０0000 ％求等分数n
Rn＝—（b—a）/1８0*（（b-ａ）/（2＊n））^４＊ｆ2（x１） ％计算余项
ifaｂs（Rn）〈e ％用余项进行判断
break ％符合要求时结束
ｅnd
ｅnd
h=（b－ａ）/ｎ ％求ｈ
Ｓn1=０
Ｓn2=0
fork=０:
ｎ－1 ％求两组连加与
xk=a+k＊h
ｘk1=ｘk+h/2
Ｓn1=Sn1+f（xk1）
Sｎ2=Sn２+f（xk）
ｅnd
Sn=h/6*（f（a）+4＊Sn1＋２*（Sn２-ｆ（a））+ｆ（b））％因Ｓn2多加了k=0时得值,故减去f（a）
z=ｅxp（２）
R=Sn—z %求已知值与计算值得差
fpｒintf（’用Simpsoｎ公式计算得结果Sn＝＇）
dｉsp（Sn）
fpｒｉntｆ（'等分数n＝’）
disp（n）
fprｉntf（'已知值与计算值得误差R=’）
disp（Ｒ）
输出结果显示:
用Siｍpsoｎ公式计算得结果Sn= 7、3891
等分数n=２４
已知值与计算值得误差R＝2、7２84ｅ—008
用复化梯形公式计算得结果为:
7、3８91，与精确解得误差为:
2、８3０0ｅ-00８。
等分数n＝70１9
用复化Simpｓon公式计算得结果为：
7、38９1，与精确解得误差为:
2、7２8４e-008.等分数ｎ＝2４
3、柯斯特公式求积分：
程序代码：
（1）fuｎctiｏｎ［y，Ck，Ak］=NewtｏnCotes（fun,a，b,n）
ifnａrgin==1
［mm，nn］=size（fun）;
ｉｆmm〉＝8
erroｒ（'为了保证NeｗtoｎCｏtes积分得稳定性,最多只能有9个等距节点！
'）
ｅｌseｉfnn~=2
errｏr（’fｕｎ构成应为：
第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10得等距节点!
'）
end
xk=fun（1,：
）;
fk=fun（2,:
）；
a＝min（xk）；
b＝max（xk）；
n＝mm－1；
ｅlｓｅifnargiｎ==4
xk=ｌinｓpａce（a,b，ｎ+1）;
ｉｆ isa（fuｎ，’fuｎｃtiｏn＿hanｄle'）
fｘ=fuｎ（xk）；
elｓｅ
eｒror（'fuｎ积分函数得句柄,且必须能够接受矢量输入！
'）
eｎｄ
ｅlsｅ
erｒoｒ（’输入参数错误,请参考函数帮助!
’）
end
Ck＝cｏtｅscoefｆ（ｎ）;
Ak=（ｂ-a）＊Ｃk；
y＝Ak*fx＇;
（２）fuｎｃtionＣk=cｏｔescoeff（n）
fｏrｉ=１：
n+１
k=i-1;
Ｃｋ（i）=（—１）＾（n-k）/faｃtorial（k）/factorial（ｎ—k）/n*ｑuadl（（t）ｉntfｕn（t，n，ｋ）,0,n）;
end
（3）ｆuncｔioｎ f=intｆｕｎ（t，n，k）
ｆ=1；
for i=［0:
k—1,k+1：
n］
f＝ｆ、*（t-i）;
end
代码解释:
fｕnｃtion［y,Ck，Ak]=ＮewｔonCoｔｅｓ（ｆun,a,b，n）
％y＝NewtoｎCotｅs（fｕn,a，ｂ,n）
% 牛顿－科特斯数值积分公式
%参数说明:
％ｆｕn，积分表达式,这里有两种选择
％
（1）积分函数句柄，必须能够接受矢量输入，比如ｆun＝（x）sin（x）、*coｓ（x）
%
（2）x，ｙ坐标得离散点，第一列为ｘ, 第二列为y,必须等距,且节点得个数小于9, 比如：
fun＝[1:
8；sｉn（1：
8）］'
%如果fｕn得表采用第二种方式，那么只需要输入第一个参数即可,否则还要输入ａ，b，ｎ三个参数
%ａ，积分下限
%b，积分上限
％ ｎ，牛顿-科特斯数公式得阶数，必须满足1〈ｎ〈7，因为ｎ〉＝8时不能保证公式得稳定性
％（１）n＝1,即梯形公式
%
（2）n＝2，即辛普森公式
% （３）n=４，即科特斯公式
％ y，数值积分结果
％Ck,科特斯系数
％Ak，求积系数
％
％Ｅxamｐle
%fｕn1=（x）sin（ｘ）;％必须可以接受矢量输入
%fｕn2＝[0：
0、1:
０、5;sin（0：
０、1:
0、５）］;%最多8个点，必须等距
％y1=NewtoｎCoteｓ（fun1，0，0、５，6）
% y２=＝ＮeｗtonCotｅs（fun2）
ｉｆnａrgｉn==1
[mm，nｎ]=sｉzｅ（fuｎ）;
ｉf mm〉=8
eｒrｏｒ（'为了保证NewtonCｏtes积分得稳定性,最多只能有９个等距节点!
'）
eｌseif nn~=2
eｒror（’fun构成应为:
第一列为x,第二列为y,并且个数为小于10得等距节点！
＇）
end
ｘk=fun（1,：
）；
ｆｋ＝fｕn（2,：
）;
a=miｎ（xk）；
b＝max（xｋ）;
n=mm－1;
elseｉfｎaｒｇiｎ==4
％ 计算积分节点xk与节点函数值fx
xｋ=linspace（ａ，ｂ，n+１）;
ｉf isａ（fｕn，’fｕncｔiｏn_handlｅ’）
fx＝ｆｕn（ｘk）;
elsｅ
eｒroｒ（＇fun积分函数得句柄,且必须能够接受矢量输入！
’）
end
else
erroｒ（＇输入参数错误，请参考函数帮助！
'）
end
%计算科特斯系数
Ｃk=coｔeｓcoｅff（n）；
% 计算求积系数
Ａk=（ｂ-ａ）＊Ｃk；
％求与算积分
y=Ak＊fx’;
fuｎctｉonＣk=ｃotescoｅfｆ（n）
％ 由于科特斯系数最多7阶，为了方便我们可以直接使用，省得每次都计算
％A1=［1,1]/2
%A2=［1,4，１]/６
%Ａ3=［1，３，3,1］/８
％ A４=［7，３２，12,32，1］／９0
% Ａ5＝[1９,7５，50，５0,75，１９］/288
％ A６=[41,2１6，27,272，27,216，41］/840
%A7=[751,３57７，1３2３，2９8９，2989，1323，357７,７5１］/17２8０
％当时为了体现公式，我们使用程序计算n阶科特斯系数
for i=1:
n+1
k=i-１；
Cｋ（i）＝（-１）＾（n－ｋ）／fａｃｔoriａl（k）/factｏrｉal（n—k）/n*qｕadl（（t）ｉntfuｎ（ｔ,n,k），0，n）;
ｅｎｄ
funｃtionf=iｎtfuｎ（ｔ,ｎ，k）
％科特斯系数中得积分表达式
ｆ=1；
ｆｏｒi=[0：
k－1，k+１：
n］
f＝ｆ、＊（t—i）；
end
输出结果:
fun=（x）exp（x）;
a=-1;
b=１；
n＝4;
NewtonＣoteｓ（fun，a，b，ｎ）
ans =2、３505
二、三点数值微分
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