版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第十章第1节.docx
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版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第十章第1节
第1节 随机抽样
最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1.简单随机抽样
（1）定义:
设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样的方法:
抽签法和随机数法.
2.系统抽样
（1）定义:
当总体中的个体数目较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照事先定出的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.
（2）系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k,对编号进行分段,当
（n是样本容量）是整数时,取k＝
；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
④按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k）,再加k得到第3个个体编号（l＋2k）,依次进行下去,直到获取整个样本.
3.分层抽样
（1）定义:
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.
（2）应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
[微点提醒]
1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.（ ）
（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.（ ）
（3）分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（ ）
（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.（ ）
【参考答案】
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2.（必修3P100A1改编）在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,
5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A.总体B.个体
C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
解析 由题目条件知,5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.
【参考答案】A
3.（必修3P100A2
（2）改编）一个公司共有N名员工,下设一些部门,要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本,已知某部门有m名员工,那么从该部门抽取的员工人数是________.
解析 每个个体被抽到的概率是
设这个部门抽取了x个员工,
则
＝
∴x＝
.
【参考答案】
4.（2019·永州模拟）现从已编号（1～50）的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况,用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是（ ）
A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34
解析 抽样间隔为
＝10,只有选项B合题意.
【参考答案】B
5.（2018·全国Ⅲ卷）某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________.
解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.
【参考答案】分层抽样
6.（2018·晋城月考改编）将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个样本编号为________.
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号为015,分段间隔数k＝
＝
＝20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项,20为公差的等差数列,则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×20＝695.
【参考答案】695
考点一 简单随机抽样及其应用
【例1】
（1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0B.1C.2D.3
（2）总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A.08B.07C.02D.01
解析
（1）①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.
（2）从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.
【参考答案】
（1）A
（2）D
规律方法 1.简单随机抽样需满足:
（1）被抽取的样本总体的个体数有限；
（2）逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较多的情况）.
【训练1】
（1）从2019名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛,若采用以下方法选取:
先用简单随机抽样法从2019名学生中剔除19名学生,剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率（ ）
A.不全相等B.均不相等
C.都相等,且为
D.都相等,且为
（2）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,若从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个样本个体的编号是________（下面摘取了随机数表第7行至第9行）.
87421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
解析
（1）从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于
.
（2）由随机数表知,前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.
【参考答案】
（1）C
（2）068
考点二 系统抽样及其应用
【例2】
（1）（2019·安徽皖北联考）某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39,则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）
A.5B.7C.11D.13
（2）（2018·长沙雅礼中学质检）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:
分钟）的茎叶图如图所示:
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.
解析
（1）把800名学生分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组.
所以第1组抽到的数为39－32＝7.
（2）依题意,可将编号为1～35号的35个数据分成7组,每组有5个数据,从每组中抽取一人.
成绩在区间[139,151]上共有20个数据,分在4个小组内,每组抽取1人,共抽取4人.
【参考答案】
（1）B
（2）4
规律方法 1.如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k＝
否则,可随机地从总体中剔除余数,然后按系统抽样的方法抽样,特别注意,每个个体被抽到的机会均是
.
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【训练2】（2018·郑州模拟）为规范学校办学,某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是（ ）
A.13B.19C.20D.51
解析 由系统抽样的原理知,抽样的间隔为52÷4＝13,故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3,即7号,20号,33号,46号.
∴样本中还有一位同学的编号为20.
【参考答案】C
考点三 分层抽样及其应用
多维探究
角度1 求某层入样的个体数
【例3－1】（2017·江苏卷）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
解析 因为样本容量n＝60,样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1000,所以抽取比例为
＝
＝
.
因此应从丙种型号的产品中抽取300×
＝18（件）.
【参考答案】18
角度2 求总体或样本容量
【例3－2】
（1）（2019·安庆一中、太原五中联考）某中学有高中生960人,初中生480人,为了了解学生的身体状况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取容量为n的样本,其中高中生有24人,那么n等于（ ）
A.12B.18C.24D.36
（2）（2018·唐山调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
解析
（1）根据分层抽样方法知
＝
解得n＝36.
（2）由题设,抽样比为
＝
.
设甲设备生产的产品为x件,则
＝50,∴x＝3000.
故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.
【参考答案】
（1）D
（2）1800
规律方法 1.分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:
层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系
（1）
＝
；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【训练3】
（1）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位:
人）.
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.
（2）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查,则月收入在[2500,3000）（元）内应抽取________人.
解析
（1）由分层抽样得
＝
解得a＝30.
（2）由频率分布直方图可得在[2500,3000）收入段共有10000×0.0005×500＝2500人,按分层抽样应抽出2500×
＝25人.
【参考答案】
（1）30
（2）25
[思维升华]
1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体容量为N,每个个体被抽到的概率是
.
2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.
3.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
[易错防范]
1.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取,是不放回抽样.
2.系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当
不是整数时,注意剔除,剔除的个体是随机的.
3.分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.
基础巩固题组
（建议用时:
35分钟）
一、选择题
1.（2019·长春一模）完成下列两项调查:
①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是（ ）
A.①简单随机抽样,②系统抽样
B.①分层抽样,②简单随机抽样
C.①系统抽样,②分层抽样
D.①②都用分层抽样
【参考答案】B
2.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则（ ）
A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的知识知,三种抽样中,每个个体被抽到的概率都相等,故选D.
【参考答案】D
3.（2018·佛山质检）为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为（ ）
A.50B.40C.25D.20
解析 根据系统抽样的特点分段间隔为
＝25.
【参考答案】C
4.（一题多解）（2018·长沙一中测试）某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为（ ）
A.100B.150C.200D.250
解析 法一 由题意可得
＝
解得n＝100.
法二 由题意,抽样比为
＝
总体容量为3500＋1500＝5000,故n＝
5000×
＝100.
【参考答案】A
5.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100C.180D.300
解析 设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层抽样的特点得
＝
故x＝180.
【参考答案】C
6.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
故选A.
【参考答案】A
7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A.101B.808C.1212D.2012
解析 甲社区每个个体被抽到的概率为
＝
样本容量为12＋21＋25＋43＝101,所以四个社区中驾驶员的总人数N＝
＝808.
【参考答案】B
8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为（ ）
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
解析 由随机抽样的含义,该批米内夹谷约为
×1534≈169（石）.
【参考答案】B
二、填空题
9.从300名学生（其中男生180人,女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛,则应该抽取男生人数为________.
解析 因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2,所以应该抽取男生人数为50×
＝30.
【参考答案】30
10.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将该班70名同学按00,01,02,…,69进行编号,然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读,则选出的10个样本中第8个样本的编号是________.
（注:
以下是随机数表的第8行和第9行）
第8行:
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
第9行:
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
解析 由随机数表知选出的10个样本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,第8个样本编号是38.
【参考答案】38
11.（2019·南京联合体学校调研）为检验某校高一年级学生的身高情况,现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法,抽取一个容量为210的样本,已知每个学生被抽到的概率为0.3,且男女生的比是4∶3,则该校高一年级女生的人数是________.
解析 抽取的高一年级女生的人数为210×
＝90,则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300.
【参考答案】300
12.（2019·湖北重点中学模拟）某校高三年级共有30个班,学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查,若抽到的编号之和为75,则抽到的最小的编号为________.
解析 系统抽样的抽取间隔为
＝6.设抽到的最小编号为x,则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＋（24＋x）＝75,所以x＝3.
【参考答案】3
能力提升题组
（建议用时:
15分钟）
13.从一群游戏的小孩中抽出k人,一人一个苹果,让他们返回继续游戏,一段时间后,再从中任取m人,发现其中有n人曾分过苹果,则可估计这群小孩共有（ ）
A.k·
人B.k·
人
C.（k＋m－n）人D.（k＋m＋n）人
解析 设这群小孩共有x人,则
＝
解得x＝
.
【参考答案】B
14.（2019·宣城模拟）一支田径队共有运动员98人,其中女运动员42人,用分层抽样的方法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是
则男运动员应抽取（ ）
A.18人B.16人
C.14人D.12人
解析 ∵田径队共有运动员98人,其中女运动员有42人,∴男运动员有56人,
∵每名运动员被抽到的概率都是
∴男运动员应抽取56×
＝16（人）,故选B.
【参考答案】B
15.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为________.
解析 因为a,b,c成等差数列,所以2b＝a＋c.
所以
＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的
.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的
即为
×3600＝1200.
【参考答案】1200
16.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定:
如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同,若m＝8,则在第8组中抽取的号码是________.
解析 由题意知m＝8,k＝8,则m＋k＝16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8－1＝7,故抽取的号码为76.
【参考答案】76
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