创新设计一轮复习 第十章 第2节.docx

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创新设计一轮复习第十章第2节

第2节　排列与组合

考试要求　1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

知识梳理

1.排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同元素

按照一定的顺序排成一列

组合

合成一组

2.排列数与组合数

（1）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.

（2）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质

公式

（1）A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝.

（2）C＝＝

＝（n，m∈N*，且m≤n）.特别地C＝1

性质

（1）0！

＝1；A＝n！

.

（2）C＝C；C＝C＋C

[微点提醒]

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（　　）

（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.（　　）

（3）若组合式C＝C，则x＝m成立.（　　）

（4）（n＋1）！

－n！

＝n·n！

.（　　）

（5）kC＝nC.（　　）

解析　

（1）元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故

（1）错；

（2）一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故

（2）错；（3）若C＝C，则x＝m或n－m，故（3）错.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2.（选修2－3P18例3改编）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（　　）

A.12B.24C.64D.81

解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24.

答案　B

3.（选修2－3P26知识改编）计算C＋C＋C＋C的值为________（用数字作答）.

解析　原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.

答案　210

4.（2019·济宁质检）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）

A.144B.120C.72D.24

解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.

答案　D

5.（一题多解）（2018·全国Ⅰ卷）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种（用数字作答）.

解析　法一　可分两种情况：

第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.

法二　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.

答案　16

6.（2018·浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）.

解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1260.

答案　1260

考点一　排列问题

【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）（一题多解）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）（一题多解）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

解　

（1）从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2520（种）.

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5040（种）.

（3）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576（种）.

（4）（插空法）先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1440（种）.

（5）法一　（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3600（种）.

法二　（特殊位置优先法）左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3600（种）.

（6）法一　（特殊元素优先法）甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3720.

法二　（间接法）7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3720（种）.

规律方法　排列应用问题的分类与解法

（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【训练1】（2019·天津和平区二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（　　）

A.120B.240C.360D.480

解析　第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.

答案　C

考点二　组合问题

【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解　

（1）从余下的34种商品中，选取2种有C＝561（种），∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984（种）.

∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100（种）.

∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

（4）选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2100＋455＝2555（种）.

∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

（5）选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式

C－C＝6545－455＝6090（种）.

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：

解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【训练2】

（1）（一题多解）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）

A.14B.24C.28D.48

（2）（2019·杭州二模）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A.60种B.63种C.65种D.66种

解析　

（1）法一　4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为

C·C＋C·C＝2×4＋1×6＝14.

法二　从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为C－C＝15－1＝14.

（2）共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66（种）.

答案　

（1）A　

（2）D

考点三　分组、分配问题

【例3】

（1）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.

（2）（2019·西安月考）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（　　）

A.80种B.90种C.120种D.150种

（3）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有（　　）

A.24种B.30种C.48种D.60种

解析　

（1）先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法.

（2）分两类：

一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有·A＝90种分派方法；

另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有A＝60种分派方法.

所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150（种）.

（3）B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.

答案　

（1）90　

（2）D　（3）C

规律方法　1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数.

2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！

.

3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.

【训练3】

（1）（2017·全国Ⅱ卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

A.12种B.18种C.24种D.36种

（2）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）.

解析　

（1）先把4项工作分为2，1，1共3组，有＝6种分法，再将3组对应3个志愿者，有A＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.

（2）分情况：

一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60（种）.

答案　

（1）D　

（2）60

[思维升华]

1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先安排；

（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题倍除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件.

[易错防范]

1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.

2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.

基础巩固题组

（建议用时：

35分钟）

一、选择题

1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）

A.8B.24C.48D.120

解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48（种）.

答案　C

2.不等式A<6×A的解集为（　　）

A.{2，8}B.{2，6}C.{7，12}D.{8}

解析　<6×，

∴x2－19x＋84<0，解得7

又x≤8，x－2≥0，

∴7

答案　D

3.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有（　　）

A.180种B.220种C.240种D.260种

解析　因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种.

答案　C

4.（一题多解）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）

A.18B.24C.30D.36

解析　法一　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种.

法二　从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.

答案　C

5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（　　）

A.9B.10C.18D.20

解析　由于lga－lgb＝lg（a＞0，b＞0），

∴lg有多少个不同的值，只需看不同值的个数.

从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A－2＝18.

答案　C

6.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（　　）

A.CAB.CAC.CAD.CA

解析　首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.

答案　C

7.（2019·济南模拟）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（　　）

A.34种B.48种C.96种D.144种

解析　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A种情况，其余3人站剩余的3个位置，有A种情况，由分步乘法计数原理知共有4CAA＝96种.

答案　C

8.福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（　　）

A.90种B.180种C.270种D.360种

解析　根据题意，分3步进行分析：

①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有×A＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案.

答案　B

二、填空题

9.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种（用数字作答）.

解析　特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A种方案.故共有CA＝4×60＝240种方案.

答案　240

10.已知－＝，则m＝________.

解析　由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0解得m＝2或m＝21（舍去）.

答案　2

11.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种（用数字作答）.

解析　将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24种不同的展出方案.

答案　24

12.（2019·烟台模拟）某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种（用数字作答）.

解析　若甲、乙同时参加，有CCCAA＝120种，若甲、乙有一人参与，有CCA＝960种，从而总共的发言顺序有1080种.

答案　1080

能力提升题组

（建议用时：

15分钟）

13.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（　　）

A.8B.7C.6D.5

解析　根据题意，分2种情况：

①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7.

答案　B

14.（2019·天津和平区一模）把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为（　　）

A.35B.70C.165D.1860

解析　根据题意，分4种情况讨论：

①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C＝35种放法；

②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；

③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；

④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.

故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法.

答案　C

15.（2019·江西八所重点中学模拟）摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________（用数字作答）.

解析　从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有C·C·C种.

故有N＝C·C·C·C＝20种调整方案.

答案　20

16.设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素有________个（用数字作答）.

解析　因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.

①xi（i＝1，2，3，4，5）中4个0，1个为－1或1，A有2C＝10个元素；

②xi中3个0，2个为－1或1，A有C×2×2＝40个元素；

③xi中2个0，3个为－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素；

从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素.

答案　130

新高考创新预测

17.（多填题）将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.

（1）有________种不同的保送方法；

（2）若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法.

解析　

（1）5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法.根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法.

（2）先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有＋＝25（种）分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100（种）.

答案　

（1）150　

（2）100