精品第6章参数估计1.docx
《精品第6章参数估计1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品第6章参数估计1.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
精品第6章参数估计1
参数估计
1，设总体未知，是来自的样本。
求的矩估计量。
今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估计值。
解：
因为总体，所以总体矩。
根据容量为9的样本得到的样本矩。
令总体矩等于相应的样本矩：
，得到的矩估计量为。
把样本值代入得到的矩估计值为。
2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。
解：
总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。
3，设总体参数未知，是来自的样本，求的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则取与最接近的整数作为的估计值）。
解：
总体的数学期望为，，
二阶原点矩为。
令总体矩等于相应的样本矩：
，
得到，。
4，
（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。
求的矩估计量，求的最大似然估计值。
（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本：
6496101163710
求的最大似然估计值。
解：
（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。
似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
（2）根据
（1）中结论，的最大似然估计值为。
5，
（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为。
参数未知。
设是一个样本值
，求的最大似然估计值。
（2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。
他共投篮5次得到的观察值为
51749
求的最大似然估计值。
解：
（1）似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
（2）根据
（1）中结论，的最大似然估计值为。
6，
（1）设总体，参数已知，未知，是来自一个样本值。
求的最大似然估计值。
（2）设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。
求的最大似然估计值。
解：
（1）似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
（2）似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。
（1）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。
（2）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。
（3）设已知，未知，求的最大似然估计值。
解：
（1）似然函数为
，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
相应的最大似然估计量为。
（2）似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
（3）因为其分布律为
所以，似然函数为，相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
8，设总体具有分布律
123
其中参数未知。
已知取得样本值，试求的最大似然估计值。
解：
根据题意，可写出似然函数为
，
相应的对数似然函数为
。
令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为
。
9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。
试求最大似然估计量。
解：
根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为
，
，
相应的对数似然函数为
，
，
令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到
，
算出最大似然估计量分别为，。
10，
（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。
（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。
①验证是的无偏估计量。
②设一星期中故障维修费用为，求。
（3）验证是的无偏估计量。
解：
（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为
。
由于，所以是的无偏估计量。
（2）①因为，所以是的无偏估计量。
②。
（3）因为，
所以，是的无偏估计量。
11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。
设有估计量
，
，
。
（1）指出中哪几个是的无偏估计量。
（2）在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？
解：
（1）因为
，
。
所以，是的无偏估计量。
（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出
，
所以，是比更有效的无偏估计量。
12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求
（1）的置信水平为0.95的置信区间，
（2）的置信水平为0.90的置信区间。
解
：
这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。
根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。
（1）的置信水平为0.95的置信区间为
。
（2）的置信水平为0.90的置信区间为
。
13，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：
55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46
（1）求的最大似然估计值。
（2）求的置信水平为0.95的置信区间。
解：
（1）根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：
。
所以的最大似然估计值为。
（2）的置信水平为0.95的置信区间为
。
14，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）
16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.1
15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4
15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8
设样本来自正态总体，均未知。
（1）求的无偏估计值。
（2）求的置信水平为90%的置信区间。
解：
（1）的无偏估计值为
，。
（2）的置信水平为90%的置信区间为
15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。
在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。
设样本来自正态总体，均未知。
求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。
解：
这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。
根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为
。
16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。
下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以ppm计）如下：
13.0,18.5,16.4,14.8,19.4,17.3,23.2,24.9,
20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,
25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,
16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6
设样本来自正态总体，均未知。
求的置信水平为0.95的置信区间。
解：
根据题中数据，计算可得样本均值，样本方差。
的置信水平为0.95的置信区间为
17，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设，均未知。
下面是X的一个容量为13的样本：
13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0
（1）求的无偏估计；
（2）求的置信水平为0.95的置信区间。
解：
根据题中数据计算可得。
（1）方差的无偏估计即为样本方差。
（2）的置信水平为0.95的置信区间为
，
所以的置信水平为0.95的置信区间为
。
18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。
设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。
求均值差的置信水平为0.95的置信区间。
解：
根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为0.95的置信区间为
19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg计），设，，均未知。
下面是两个样本
X:
0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.4
Y:
1.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1
两样本独立。
求的置信水平为0.95的置信区间。
解：
根据题中数据计算可得，。
（未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，的置信水平为0.95的置信区间为
。
20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，，均未知。
下面是分别来自X和Y的两个独立样本：
X:
15,23,12,18,9,28,11,10
Y:
25,20,35,15,40,16,10,22,18,32
求的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及的置信水平为0.95的单侧置信上限。
解：
根据题中数据计算得到，。
的置信水平为0.95的单侧置信上限为
。
的置信水平为0.95的单侧置信上限为
，
所以，的置信水平为0.95的单侧置信上限为
。
21，在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。
解：
根据单侧区间估计的结论，正态总体均值的置信水平为0.95的单侧置信下限为
。
22，在第18题中求的置信水平为0.90的单侧置信上限。
解：
两个正态总体的均值差的置信水平为0.90的单侧置信上限为
。
（第6章习题解答完毕）
升级会员 