华图魏华刚 数量关系.docx
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华图魏华刚数量关系
数字特性（第4-5视频）
主要利用倍数关系,整除特性,质数、和数奇数偶数、比例特性、最主要的是倍数法则等方面解题,
倍数法则：
•倍数关系：
若A是B的4倍，则AB的和能被5整除（即和5倍），差能被3整除（即差3倍）。
•比例关系：
A是B的2/3，则A能被2整除，B能被3整除；A加B能被5整除；A是A加B的几分之一？
B是A加B的几分之一？
B比A多多少？
A比B少多少？
比例法则：
A=B*4/13推出B是13的倍数
A是4的倍数
A+B是13+4的倍数
A-B是13-4的倍数
但是如果出现两个倍数关系应选择有特殊性的区分或着直接就选择其最小公倍数
注意：
①如果总体为A+B+C+D，A=（B+C+D）1/2那么A+B+C+D应该是1+2=3的倍数如果答案中有两个3的倍数再加上另外条件进行排除
②注意做题中确定信息优先，比如最多，至少这个条件后考虑
如：
一位单位出去组织旅游，要求每车上的乘客都相等，起初每车22人，结果一人无法上车，如果开走一辆，那么所有的乘客正好平均到各个车上，已知每车最多32人，请问共有多少人去旅游？
A269B352C478D529
我们不能说这个数能被32整除，因为说最多可乘并没有说他正好乘32人，他可以乘30，也可以平均乘31人也满足每车最多32人是个不确定信息。
所以我们只能从第一个条件入手起初每车22人，结果一人无法上车所以总数=22N+1首先确定是个奇数排除BC然后在带入看谁除以22余1选以选D
例1：
某公司甲乙两个营业部共有50人，其中32人为男性，已知甲的营业部的男女比例为5:
3，乙营业部男女比例为2:
1,w问甲营业部有多少名女职工？
A18B16C12D9
a:
b=m:
n（m,n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数
甲男：
甲女5:
3所以甲女的人数应该是3的倍数排除B
甲乙两个营业部共有50人，其中32人为男性所以说甲乙两个女职员50-32=18所以排除A把C代入。
甲男：
甲女=5:
3甲女=12所以甲男=20乙男=32-20=12乙女=18-12=6
乙男：
乙女=12:
6正好等于2:
1所以C是正确的。
代D不和题意
附加的比例问题
例2.甲乙丙丁共同植树造林，甲队造林的是另外3个队的1/4，乙队是另外3个队的1/3，丙为另外3个队的1/2，已知丁队造林为3900，问甲队造林有多少亩？
（2009年国考）
A9000B3600C6000D4500
甲队造林的是另外3个队的1/4甲=1/4*（乙+丙+丁）也就是4甲=（乙+丙+丁）总数=5甲说明甲干了总数的1/5同理乙干了总数的1/4同理丙干了1/3所以丁=1-1/5-1/4-1/3=13/60总数=3900/13/60甲=3900/13/60*1/5=3600
例3.某机关召开一次特殊会议，参加者中每两个人有1个科员，每四人中有一个科长，每六个人有一个副处长，才外还有5位处长，问共有多少人参加会议？
（2009北京应届毕业生）
A48B60C65D72
科员=1/2总科长=1/4总副处长=1/6总可以推出总数是2的倍数，4的倍数，6的倍数，也就是12的倍数只能排除C
只能用整体法：
处长=1-1/2-1/4-1/6=1/12总1/12总=5所以只能选60
处长=1-
例4.有甲乙两个项目组。
乙组任务加重，从甲组抽掉了甲组的四分之一人员，此后，甲组由于任务重，又从乙组调回重组后的乙组人数的十分之一，此时，甲乙两组数相等，由此得出下结论。
A甲组原有16人乙组原有11人B甲乙组人员数之比为16:
11
C甲组原有11人乙组原有16人D甲乙组人员数之比为11:
16
没有给任何数都是分数不可能求出具体值排除AC列方程求解令甲为X乙未Y
（1-1/4）X+1/10（Y+1/4X）=（1-1/10）（Y+1/4X）X：
Y=16：
11
方程思想
核心提示
广泛适用于：
经济利润类问题、和差倍比问题、行程问题、牛吃草问题、比例问题等。
一、设未知数原则1.以便于理解为准，设出来的未知数要便于列方程；2.设题目所求的量为未知量。
二、消未知数原则1.方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其它未知量；2.消未知数时注重整体代换
三、在实际做题时，还可以用有意义的汉字来代替未知数，这样会使题目更加简单直观
方程思想主要应用到利润、工程的题目
方程主要分为定方程和不定方程
不定方程一般是求整体定方程求的是个体
不定方程的解法：
1.令系数比较大的未知数等于0转化定方程
2.整体消元
3.剩余定理
解方程要注意利用整体思想
【例1】两工厂各加工480件产品，甲工厂每天比乙工厂多加工4件，完成任务所需时间比乙工厂少10天。
设甲工厂每天加工产品x件，则x满足的方程为？
A
B
C
D
【例2】甲、乙、丙、丁四人做纸花，已知甲、乙、丙三人平均每人做了37朵，乙、丙、丁三人平均每人做了39朵，已知丁做了41朵，问甲做了多少朵？
A.35朵B.36朵
C.37朵D.38朵
甲+乙+丙=37*3①
乙+丙+丁=39*3②
②-①丁-甲=3*2=6丁做了41朵所以甲做了41-6=35
【例3】A、B、C、D、E五个人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的互不相同的整数。
如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分。
则D的得分是？
A.96分B.98分
C.97分D.99分
A+B+C=95*3①
B+C+D=94*3②
①-②A-D=3A=D+3可以排除BD因为满分是100
如果是因为各个分数都不相同所以排除A只能选C
【例4】甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是55、58、62、65。
这四个人中年龄最小的是？
A.7岁B.10岁
C.15岁D.18岁
解方程要注意利用整体思想
甲+乙+丙=55
甲+乙+丁=58
甲+丙+丁=62
丙+乙+丁=65
两边相加3（甲+乙+丙+丁）=55+58+62+65甲+乙+丙+丁=80
我们知道四个数之和了减去一个最大的三位数之和不就等于最小的年龄了
所以80-65=15选C
不定方程
【例5】甲买3支签字笔，7支圆珠笔，1支铅笔，共花32元钱；乙买同样的4支签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共花43元，如同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买1支，共用多少钱？
A．21B．11
C．10D．17
令签字笔、圆珠笔、铅笔分别为X,Y,Z
3X+7Y+Z=32
4X+10Y+Z=43
另Y=0变成定方程了
3X+Z=32
4X+Z=43
X=11Z=-1Y=0
X+Y+Z=11+0-1=10
所以选C
方法2：
整体消元法
3X+7Y+Z=32①
4X+10Y+Z=43②
①*3=9X+21Y+3Z=32*3
②*2=8X+20Y+2Z=43*2
①-②=X+Y+Z=10
【例6】小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器，3个订书机，7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器，4个订书机，10包打印纸共需要362元。
小王购买了1个计算器，1个订书机，1包打印纸共需要？
A.224元B.242元
C.124元D.142元
第一章计算问题模块
总结：
1.善用尾数法尾数法行不同再使用整体消去法估算法凑整法等方法
2.裂项相加法适用于分数形式的计算
3.尾数相同了又不容易用整体消去法可以用估算法
4.凑整法
第一节裂项相加法
【例1】计算
…+
的值为（）
A
B
C
D
…+
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4…
=1-1/2005
选A
裂项和=（小分之一减去大分之一）*分子/差小是分子中最小的大是最大的那个不是如此题2005
【例2】
+…+
的值为（）
A
B
C
D
用公式法=（1/2-1/100）*1/1=
【例3】
+…+
的值是（）
A
B
C
D
用公式法=（1/2-1/32）*3/3=
【例4】
的值是（）
A
B
C
D
=1/1*3+1/3*5+1/5*7+1/7*9+1/9*11+1/11*13+13*15+1/15*17
再攻公式法就可以=（1-1/17）*1/2=8/17
第二节乘方尾数问题
乘方尾数问题核心口诀：
1）底数留个位
2）指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）这是对于初了（1，4，5，6，9）
因为除了1和5和9的N次方的数都是4个一循环，又因为被4整除的数是末两位数能被4整除。
3.0，1，5，6N次方尾数不变，4.9两个一循环剩下的都是4个一循环
2的N次方的尾数是24862
3的N次方尾数是39713
4的N次方尾数是4646
5的N次方尾数是55
6的N次方尾数是6
7的N次方尾数是79317
8的N次方尾数是84268
9的N次方尾数是919
【例1】
2002
的个位数是（）
A.1B.2
C.4D.6
【例2】1
+3
+5
+7
+9
的值的个位数是（）
A.5B.6
C.8D.9
1和5都是其本身并且是本身循环
3和9都是四个一循环都用07/4余数为3
3的3次方尾数是7
7的3次方尾数是3
9的N次是2循环所以奇数就是余1偶数余22007是奇数余1尾数就是9
9的N次方尾数是91
所以1
+3
+5
+7
+9
的尾数就是1+7+5+3+9=25所以选A
【例3】2
+3
的个位数是几？
A.-3B.5
C.7D.9
2008/4整除为余4
2的4次方是63的4次方尾数是1所以2
+3
的个位数6+1=7选C
【例4】2009年江苏真题
已知a2+a+1=0则a2008+a2009+1=（）
A0B1C2D3
如果a=1那么a2+a+1不能等于0所a不能等于1a2+a+1=0等式两边都除以a-1，得到（a-1）×（a2+a+1）=0a3-1=0那么a=1a2008+a2009+1=a2007（a2+a）+1=0
a2007=a3=1所以=a2007（a2+a）+1=（a2+a）+1=0所以选A
第三节整体消去法
【例1】1994×2002-1993×2003的值是（）
A.9B.19
C.29D.39
【例2】19961997×19971996-19961996×19971997的值是（）
A.0B.1
C.10000D.100
（19961996+1）×19971996-19961996×（19971996+1）
=19971996-19961996=1000
【例3】
的值是（）
A
B
C
D
令
+
+
=X
原式=（1+X）×（X+1/5）-（1+1/5+X）×X
=X+1/5+X2+1/5X-X-1/5X-X2
=1/5选D
第二章初等数学模块
第一节多位数问题
核心提示
多位数问题常用方法：
1.直接代入法在解决多位数问题时显得非常重要。
2.对于数页码问题，解题思路是：
把个位页码、十位页码、百位页码分开来数。
个位数所用的数字
个位上的数1-999
两位数的个数10-9990重复数字也算90*2
三位数的个数100-999900重复数字也算900*3
四位数的个数1000-9999900重复数字也算9000*4
【例1】一个三位数，百位上的数比十位上的数大4，个位上的数比十位上的数大2，这个三位数恰好是后两个数字组成的两位数的21倍，那么，这个三位数是？
A.532B.476
C.676D.735
代入法：
百位上的数比十位上的数大4只有D符合
或者能用倍数法说明这个三位数一定能被21整除也就是说既能被3整除也能被7整除只有D符合
【例2】一个三位数，各位上的数的和是15，百位上的数与个位上的数的差是5，如颠倒百位与个位上的数的位置，则所成的新数是原数的3倍少39。
求这个三位数？
A.196B.348
C.267D.429
各位上的数的和是15可以排除A则所成的新数是原数的3倍少39如果是B那么它的3倍至少是900接近1000所以排除B如果是D的话它的3倍就是1200多所以排除D选C
【例3】编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？
A.117B.126
C.127D.189
1位数1-9用了9个数字
两位数10-99有90个数每个数用两个数字90*2=180
三位数100-999有900个数每个数字用了3个数字
270-9-180=81剩下81个数还没有数又因为三位数每个数用三个数字所以
81/3=27由于100-126正好是27个数字所以选B
【例4】一本数学辅导书共有200页，编上页码后。
问数字“1”在页码中出现了多少次？
A.100B.121
C.130D.140
1位数出现1次1
2位数出现19次
10-19个数出现10+1十位数上有10个1个位上出现了1次
20-291
30-391推出20-99出现了8个1所以两位数就是出现18+1=19
3位数100-199百位数上就出现100次再加上两位数上出现的次数19次再加上1位数出现的1次
3位数100+19+1=120
总数就等于120+19+1=140选D
方法2：
可以用排列组合做
1位数只有1次
2位数
如果十位是1个位不是1有9个数每次出现1次有9次
如果个位是1且十位不是1的有8个数每次出现1次有8次
如果个位十位都是1的有1个数出现2次12
2位数总共出现9+8+2=19次
3位数
百位是1且十位和个位都不是1的数有十位上有9个个位数有9个乘法原理9*9=81个数字并且每个数字都出现1次1既有81个1
如果是十位是1那么个位上不能选1也就有9个数并且每个数都出现2次19*2=18
如果是个位是1且十位不是1的数有9个并且每个数都出现2次19*2=18
再加上百位十位个位都是1出现3次1
所以三位数出现1的次数=81+18+18+3=120种
总共出现：
1+19+120=140
第二节余数相关问题
余数问题核心基础公式
余数基本关系式：
被除数÷除数=商……余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：
被除数=除数×商＋余数
同余问题核心口诀
“余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期”
1、余同：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时该数可以选这个相同的余数，余同取余。
例：
“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1。
2、和同：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，此时该数可以选这个相同的和数，和同加和。
例：
“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取3+2+1=7，表示为60n+7。
3、差同：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差。
例：
“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3。
4.如果三个数不满足合同余同差同的应该两两看有没有不同的然后再找到与第三个数的关系
【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？
A.12B.41
C.67D.71
常规方法：
利用了被除数=除数×商＋余数性质
令除数是X被除数=X*5+11
X+X*5+11+5+11=99
6X=72
X=12被除数=5*12+11=71选D
方法2.0≤余数＜除数这个性质
从题意得余数是11因为除数应该大于余数所以除数应该大于11那么至少是12商是5那么被除数=5*12+11=71整好是D答案。
【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
问被除数、除数、商以及余数之和是多少？
A、98B、107
C、114D、125
余数是8那么除数应比8大的一位数只能是9
商是两位数那么商如果是11那么被除数99是整除不能余8如果是12被除数就不是两位数，所以商只能10
被除数=除数×商＋余数被除数=10*9+8=98
和=98+10+9+8利用位数是5所以选125
【例3】自然数P满足下列条件：
P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。
如果：
100A.不存在B.1个
C.2个D.3个
根据、差同：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差。
就是10,9,8的最小公倍数是36010-9=19-8=18-7=1所以说余数为-1注意：
余数和除数的差
那么P=360n-1100-1000只有2个
【例4】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有？
A.5个B.6个
C.7个D.8个
方法1.
最小公倍数180
9-7=25-2=34-3=1
可以看出5+2=74+3=7那么后两个数就是20n+7第一个数是9n+7所以应该满足180n+7
方法2排除法
我们知道这个三位数肯定是能被9,5,7的最小公倍数180n+x再看到他的余数都不是很大即使是最小公倍数也不会很大几乎不影响他的个数
100-1000的数只有大约5个数是如果是6个1080超过
第三节星期日期问题
判断方法
一共天数
2月
平年
年份不能被4整除
365天
有28天
闰年
年份可以被4整除
366天
有29天
包括月份
共有天数
大月
一、三、五、七、八、十、腊月
31天
小月
二、四、六、九、十一月
30天（2月除外）
特殊数列
特殊数列：
1.日期型数列就是年月日各成数列但记住不要忘记2月只有25,29两天还要看大小月
2.小数整数和小数独立成关系
3数位组合数字和数的位置成规律机械分组
1）做差获做和后和数的位置成规律
52-44=859-52=773-59=1483-73=1094-83=11所以说X-94=13
因为4+4=852中的5+2=7
.2）位数之和相等或成为数列
前两个数相加等后一个数字
所以选B
3）位数相除
2/2=14/2=29/3=328中8/2=4所以选D15中5/1=5
4）位数组合排列依次排列
此四个数组合按大小排列出来的所以应该选2134
5）数位变化尾数成规律
选B
6）位数都是存在约数首先是机械分组
后两位能除后一位并且是最小公倍数
124最小公倍数是43，6，12最小公倍数125，10，20最小公倍数20所以只有B
方法2：
第一个数字1,3,5，所以应该是7开头的所以排除CD，第二位数2,6,10所以应该14所以只有B
第三个数4,12,20,28
选B把每个数都分成两部分2,4,8（），32,64，所以应该是162,4,6，（）10,12，所以应该填8
7）前项是后项的次觅
4=（1/2）-22=41/216=24（）=162所以选D
8）三项之和成规律等差或等比或平方
1+3+0=43+0+6=96+9+10=25所以10+9+（）=36所以选D
2.因数分解类
把数分解质因数后再成规律
10分解成2,521分成3,744分4,1165分5,13那么（）分解成6,17所以选C因为5,7,11,13，都是质数所以不能选15
2=1*26=2*315=3*528=4*7（）=5*1178=6*13因为都是质数所以选C
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