A4019中南大学李伟正郭煜何金深.docx
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A4019中南大学李伟正郭煜何金深
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
20004019
所属学校（请填写完整的全名）：
中南大学
参赛队员（打印并签名）：
1.李伟正
2.郭煜
3.何金深
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
张佃中
日期：
2007年9月24日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘要
针对中国人口发展的具体特点，本文建立了中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口变化中短期趋势和长期趋势做出了预测。
一个地区人口变化的直接原因是出生、死亡和移民，所有影响社会人口变化的诸因素都是通过这三种现象表现出来的。
一个好的人口预测模型，首先应该符合人口基本理论和数学建模要求，其次要保证模型数据可得一致性和可比性，在数据预测检验阶段能充分拟合原始数据，特别是波动较大的数据。
因此，综合中国人口变化因素及各模型的特点，本文采用了下面三种人口预测模型，取得了预期效果。
首先建立Logistic人口预测模型。
此模型是对Malthus指数增长模型的修改，增加了对人口数量的限制，在人口没有达到环境最大容量之前，运用此模型预测效果比较好。
在建立模型过程中，我们采用1949年到2003年的全国人口总数为基本数据，使用Matlab7.1软件，通过最小二乘法，对1951年-2001年数据拟合，求得Logistic模型中的待定参数k（最大人口数）和r（固有增长率）,从而得到Logistic模型的表达式（见公式5-1）。
再使用1949年、1950年、2002年、2003年的数据对模型进行检验，误差范围十分理想，故可用于长期人口预测。
再通过此表达式预测出了未来50年的总人数发展趋势（见图5-1）。
接着建立了灰色系统预测模型。
考虑到统计数据量较少，波动较大，规律性不强，本文建立了GM（1,1）。
首先将近5年人口数据作为原始数据序列，以此为基础建立GM（1,1）模型来进行预测。
为了提高预测的精确度，我们摒弃了把原始序列
作为初始条件的传统做法，利用“最小二乘法”确定GM（1,1）白化函数的时间响应函数中的常数C，经检验证明该模型的预测精度更高。
通过模型求解得出中国未来20年的人口预测情况（见表6-3）。
本文最后采用Leslie人口预测模型。
具体到对城市女性的预测，考虑到抽样调查百分比并非1%，故具体到城市中的人口总数未知，本文使用城市女性人口所占城市总人口比率等效为城市女性数，由此将模型简化。
通过每年出生率及死亡率建立L矩阵，从而建立差分模型，考虑人口在男女出生比例失衡时，人口发展趋势。
结果发现，当男女比例失衡时，随着时间的推移，人口数与时间关系将呈现出“倒S曲线”（见图7-1），人口将递减直到灭绝。
这提示我们因加强宏观调控，防止男女出生比例严重失衡。
由于人口预测问题是一个极其复杂的问题，存在着很多随机性和影响因素，所以在建模过程中不可避免会忽视某些因素。
同时本文所建立的模型可以推广应用于类似问题如老龄化对一个国家总人口的影响可使用Leslie模型。
关键词：
人口预测；Logistic模型；灰色系统预测；Leslie模型
1问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
因此根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
题中数据是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据，附录2是从网上搜集整理得到的中国从1949年到2003年的总人口的资料。
从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考题中所给数据和附录2中的相关数据，具体分析中国人口的特点，建立中国人口增长的数学模型，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
2基本假设
1．假设人群的迁入和迁出对对各地域人口数不产生影响；
2．假设人口的的增长不和偶发的事件有联系；
3符号说明
t:
时间（年份）；
x（t）:
第t年的总人口数；
:
年龄为
的女性生育率；
:
年龄为
的女性死亡率；
:
年龄为i的女性存活率，且有
=1-
。
4材料分析
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
材料中给出了2001年到2005年中国人口的各项数据，横向分为城，镇，乡，纵向分为从0岁到90岁以上这九十一个年龄段，其中包括了男女各自的比率以及死亡率，还给出了育龄妇女（15岁~49岁）的生育率。
4.1人口年龄构成分析
分别对附录2中城镇乡男女所占比率进行统计，得下表：
表4-12001~2005年中国人口构成表（％）
年龄
2001
2002
2003
2004
2005
（岁）
城
镇
乡
城
镇
乡
城
镇
乡
城
镇
乡
城
镇
乡
0~
9.49
12.22
14.19
9.09
11.98
13.50
8.69
11.67
13.10
8.77
10.99
12.02
9.08
11.55
12.85
10~
14.19
16.77
19.43
13.64
17.34
19.31
13.26
16.51
19.34
13.36
16.09
18.83
13.73
16.44
17.84
20~
16.55
15.97
15.21
15.97
14.92
14.66
15.06
14.52
14.03
14.68
13.36
12.89
15.83
12.76
10.98
30~
21.09
21.66
18.74
21.42
21.61
18.76
19.99
21.10
18.48
20.12
20.89
18.35
20.07
19.98
16.79
40~
16.37
14.07
12.41
16.57
13.83
12.85
17.67
15.29
13.32
17.36
15.71
14.07
16.78
15.76
14.67
50~
9.79
9.06
9.31
10.35
9.7
9.91
11.53
10.24
10.44
12.52
11.32
11.65
12.18
11.82
13.18
60~
7.60
6.25
6.26
7.70
6.25
6.35
8.09
6.34
6.42
7.68
6.61
6.79
6.91
6.60
7.61
70~
4.92
4.00
4.45
5.26
4.37
4.66
5.71
4.33
4.87
5.51
5.03
5.40
5.42
5.09
6.08
合计
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
分析上表，分别作出2001年到2005年的城镇乡各年龄段人口比例折线图，可以看出城镇乡各年龄段人口所占比例每年的变化趋势大致相同，以2005年为例做出比例图：
图4-12005年城乡镇各年龄段人口比例
4.2人口老龄化分析
4.2.1数据处理及图表
分别按60岁以上和65岁以上计算老年人口比例，2001年为11.16％和7.53％，均达到老龄化的标准；2005年达到12.57％和8.76％，较01年有大幅上升。
具体情况见下表：
表4-22001~2005年中国人口老龄化情况
年份
60岁以上
65岁以上
老年人口比例（％）
老年人口比例（％）
2001
11.16
7.53
2002
11.53
7.92
2003
11.92
8.28
2004
2005
12.34
8.54
12.57
8.76
将上表形象化,做成下图:
图4-2老龄化情况
4.2.2中国老龄化的特点[1]
（1）．基数大
至2004年底，中国60岁以上老人有1.4亿，占全国总人口近11%；65岁以上的老人为9680万，占全国总人口的7.6%。
中国老年人口的数量比很多国家的总人口还要多得多。
（2）．地区发展不平衡
目前东部经济发达地区的老年人口比已经达到了14%，西部贫困地区还不到9%。
这种现象主要是由经济发展不平衡所引起的。
（3）．速度快
根据国际标准，一个国家65岁以上老人占全国人口的7%，或60岁以上老人占10%，表明该国已进入老年型国家。
按此标准，中国在1999年就已进入了老年型国家。
从历史发展规律来看，一个国家从成年型进入老年型，一般需要花费50-100年。
而中国实现这一转变最多只用了20年。
（4）．人口老龄化提前达到高峰
上世纪后期，为控制人口的急剧增长，国家推行计划生育政策，使得人口出生率迅速下降，加快了我国人口老龄化的进程。
由于本世纪前半叶人口压力仍然沉重，还要继续坚持计划生育的国策，其结果将不可避免地使我国提早达到人口老龄化高峰。
（5）．“未富先老”
客观地说，无论从物质准备、政策制度，还是从思想观念上看，中国都没有做好充分准备。
而且，从人口发展趋势来看，中国老龄化最高峰还没到来，大约在2030至2040年之间，那时老年人口将有可能占到全国总人口的25-28%。
这给国家政策造成很大的压力。
各年龄死亡率见附录1。
4.2.3关于老龄化讨论
随着人口老龄化进程的加快，人们在继续重视控制人口数量的同时，日益关注人口年龄结构的变化及其对经济持续发展的影响。
人口老龄化将导致用于老年人的支出加大、社会积累下降、劳动资源率下降和社会消费结构的变化，一系列为老年人服务行业的需求大大增加，消费结构的变化又会带来社会生产结构的变化。
同时，也要求社会增加满足老年人生活需求和精神需求的福利设施和公共场所；社会保障制度、医疗保险制度、闲暇活动、文化教育、居住环境、乃至法律法规等都会产生新的需求，发生相应变化。
独生子女进入婚育龄，成为家庭主角之后，家庭小型化和家庭功能削弱，必然对家庭养老的传统带来挑战。
由此而带来的老人瞻养、日常照料和精神慰籍乃至住房等问题都将日益突出；由于老年人患病率高、慢性病患者增多等导致医疗费用消耗高、残疾、需要照顾的老人增加，无疑对有限的卫生保健资源也是一个挑战。
4.3出生人口的性别比例
4.3.1中国人口出生性别比率概况[2]
中国第五次人口普查资料显示，新生婴儿的男女比率是119.2:
100，较正常值高出很多。
中国新生儿性别比例失衡。
出生人口性别比是指活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。
正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。
4.3.2出生人口性别比分析与图表
附录中最后给出了从1994年到2005年12年的数据，通过Excel做出分析：
表4-3男女出生比率（%）
市男女出生比例
镇男女出生比例
乡男女出生比例
全国
1994
114.52
124.33
116.15
118.33
1995
111.92
115.62
117.75
115.1
1996
111.68
111.68
117.7
113.69
1997
108.81
125.9
118.85
117.85
1998
110.68
108.73
119.98
113.13
1999
110.27
118.4
122.03
116.9
2000
113
116.3
119.3
116.2
2001
109.28
116.02
117.59
114.3
2002
111.37
123.12
122.11
118.87
2003
112.06
110.97
120.9
114.64
2004
114.44
126.9
122.21
121.18
2005
113.92
117.21
121.21
117.45
图4-3出生人口性别比
从图表中可以清楚地看出，出生人口性别比持续高昂，镇男女比例最高逼近130。
同时，乡男女比率远远高于城市比例，可以看出在农村依旧存在着重男轻女的思想。
根据资料，第五次全国人口普查为117，2003年抽样调查为119，个别省份超过130。
2005年1%抽样调查为118.58。
城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。
如果按照120的比例发展下去，根据预测到2020年，20－45岁男性将比女性多3000万人左右。
2005年以后，新进入婚育年龄人口男性明显多于女性，婚姻挤压问题凸现，低收入及低素质者结婚难，所导致的社会秩序混乱将成为影响社会稳定的严重隐患。
4.4育龄妇女生育率
4.4.1育龄妇女生育率概况[3]
我国之所以成为世界上第一人口大国，一个是由于人口基数大，另一个是因为妇女生育率高。
育龄妇女是指15岁到49岁的妇女。
但是从目前情况来看，我国有许多发达城市如上海天津等地区的育龄妇女生育率却在大幅下降，许多妇女选择不生孩子，现在已经接近零界点，政府开始鼓励生二胎。
4.4.2数据分析及图表
由已知数据进行统计：
表4-4育龄妇女生育率（‰）
市育龄妇女生育率
镇育龄妇女生育率
乡育龄妇女生育率
1995
37.271
43.651
54.505
1996
56.61
45.9
57.83
1997
37.77
40.69
55.79
1998
36.22
81.73
53.63
1999
35.1
42
50.9
2000
/
/
/
2001
31.03
37.11
46.3
2002
26.68
34.87
45.17
2003
26.7
35.9
44.3
2004
29.13
35.91
43.56
2005
26.3
32.61
39.92
图4-4-1育龄妇女生育率
由于2000年数据缺省，并且98年镇生育率和96年市生育率数据异常，故舍去并以内插值代替，得到新的图表：
图4-4-2育龄妇女生育率
从图中明显看出，市镇乡各地区的生育率都在震荡下降，并且城市的育龄妇女生育率最低，乡村的最高。
4.5农村人口城镇化[4]
从城乡分布来看，2004年末全国城镇人口达到54283万人，占总人口的41.76％，乡村人口为75705万人，占58.24％。
近年来，由于积极推进人口城镇化和产业结构升级，实施城市带动农村、工业反哺农业的发展战略，人口城镇化率以每年超过1个百分点的速度增长。
采取多种措施和合理规划，引导农村富余劳动力向非农产业转移，努力改善农民进城务工环境，促进农村劳动力有序流动。
2004年，中国流动人口已经超过1.4亿。
大量农村劳动力进城务工，为城市发展提供了充裕的劳动力，同时也改善了农村的经济状况。
按人口城镇化率每年增加1个百分点测算，到2020年还将从农村转移出3亿左右的人口。
与此同时，流动人口管理与服务体系却严重滞后，亟待完善。
庞大的流动迁移人口对城市基础设施和公共服务构成巨大压力。
流动人口就业、子女受教育、医疗卫生、社会保障以及计划生育等方面的权利得不到有效保障，严重制约着人口的有序流动和合理分布，统筹城乡、区域协调发展面临困难。
5Logistic人口预测模型[5]
5.1问题分析
对中国人口的中短期预测即根据现阶段中国国情，对中国近期总人口及其结构进行预测。
这对国家发展战略的制定具有很大的帮助，也是很有必要的工作。
随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐步下降。
这对中国现阶段国情依然适用。
在Logistic模型中，环境容量
被假设为不变量。
而我国现在总人口数没有达到最大人口容量，因此符合Logistic模型的建立条件。
5.2Logistic人口预测模型
5.2.1基本假设及符号说明
假设人口增长率是当时人口数
的递减函数r（x）。
：
t时刻的人口数；
:
最大人口容量；
:
人口数为x时的人口增长率；
r:
固有增长率，即人口很少时的增长率；
5.2.2模型的建立
由基本假设，设r（x）=r-ax,显然
时，
；
时，
，有
由Malthus模型有
5.2.3模型的求解
由方程组
（1）可得Logistic模型表达式：
式中
、r可由最小二乘法估计：
5.2.4具体的人口模型
取附录2当中1951年至2001年的数据进行拟合，其余4年的数据用于验证模型的精确度。
利用MATLAB7.1拟合出Logistic模型的方程（具体程序代码见附录3），得：
（式5-1）
运用此模型对1900年-2100年中国人口进行预测，可得到如下S型曲线。
图5-1Logistic曲线
5.2.5模型检验
下面使用1949年、1950年、2002年、2003年的人口数据对此模型进行检验。
表5-2预测值及其误差
时间/年
实际人口值/亿
预测值/亿
相对误差
1949
5.4167
5.63
0.0393782
1950
5.5196
5.7578
0.0431553
2002
12.8453
13.1366
0.0226776
2003
12.9227
13.2601
0.0261091
由上表发现，无论是对以前人口的预测（1949年和1950年）还是对未来人口（2002年和2003年）的预测，预测值的相对误差值较低。
5.3模型的不足
传统Logistic人口预测在对中国人口预测时精确度不高，与实际情况吻合性较差。
同时，若作长期的人口预测，由于误差的叠加，极易导致病态结果的产生。
分析Logistic人口预测模型不难发现，环境容量
被假设为不变量，但实际上会有多种因素对其产生影响。
如：
在经济因素的影响下，环境容量往往随经济水平的发展而增大。
因此可以将
的值作为在各个因素影响下的因变量，从而对Logistic模型进行改进。
6优化的GM（1,1）模型在中短期预测的应用[6]
6.1问题分析
依照中国1994年到2005年的人口来预测中短期内中国的人口，实际是对已知数据进行规律探索的过程。
对未来人口的预测，需要对已知数据进行规律研究，揭示人口变化的动态特点，以此作为预测基础。
寻求一种能够尽可能灵活处理已知数据并将其动态规律性发掘出来的探索方法，预测得到与实际有较强的吻合效应的结果。
过去10年的人口统计数据，数据量较少。
而且人口的变化具有规律性和随机性的双重特点，受环境因素干扰较大，使用灰色系统预测法较为适宜。
灰色系统预测法以微分方程为表述形式，所揭示的是受时间变量影响的人口变化连续过程，模型的建立是运用时间变量和人口历史数据去揭示系统的动态特性，它摒弃直接在历史数据中寻求统计规律和概率分布的传统方法，将无规律的原始数据通过一定的处理方式使其成为较有规律的时间序列，建立预测模型，其根本仍然是数据本身，考虑到灰色系统预测法在进行动态预测时的优越性，我们采用它来预测中短且人口的情况。
同时参考[6]，可以使用优化的GM（1,1）模型。
6.2优化的GM（1,1）模型
6.2.1符号说明
:
原始的第k年的人口总数。
6.2.2模型的建立
设原始数据序列为：
其中
代表原始的第k年的人口总数。
首先对
做一次累加生成，即
由此生成数列：
据此建立关于
的微分方程：
这是一个一阶微分方程，式中a、u为参数。
a、u计算方法如下：
其中：
则微分方程的解为
C的计算方法如下：
其中
则对t+1年的人口的预测值为
6.2.3模型的求解
选取中国1994-2005年间原始数据进行分析，其原始数据如下：
表6-11994-2005年中国人口统计表
时间/年
人口/亿
时间/年
人口/亿
时间/年
人口/亿
1994
11.9850
1998
12.4810
2002
12.8453
1995
12.1121
1999
12.5768
2003
12.9227
1996
12.2389
2000
12.6743
2004
12.9905
1997
12.3626
2001
12.7627
2005
13.0756
通常情况下，长序列的误差大于短误差，但不应低于5维。
预测时间越远，误差越大，而预测时间越近，误差越小。
当他是5维或6维灰色预测模型时精确度较高。
模型拟合值与实际值最为接近。
故而选取5维模型为最优预测模型。
现取1994-1998年的数据，依据优化的GM（1,1）模型，可以得到相应的预测模型：
6.2.4模型的验证
选取7.2.3中未用于拟合的数据（1999-2005年）,对模型的误差进行分析
表6-21999-2005年总人口数及预测误差
年份/年
人口总数/亿
预测值/亿
相对误差/%
1999
12.5786
12.6057
0.215445
2000
12.6743
12.7324
0.458407
2001
12.7627
12.8604
0.765512
2002
12.8453
12.9896
1.123368
2003
12.9227
13.1202
1.528318
2004
12.9905
13.2520
2.013009
2005
13.0756
13.3852
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