四年级.docx

四年级.docx

《四年级.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

四年级

四年级奥数教学题纲

一、乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有

N＝m1×m2×…×mn

种不同的方法。

　　从乘法原理可以看出：

将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。

让我们先看下面几个问题。

例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。

问：

小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

分析与解：

由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。

　　事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。

第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。

对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有

　　3×2＝6（种）。

例2从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。

问：

从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？

分析与解：

用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。

　　共有下面12种走法：

　　A1B1C1A1B2C1A1B3C1

　　A1B1C2A1B2CA1B3C2

　　A2B1C1A2B2C1A2B3C1

　　A2B1C2A2B2C2A2B3C2

　　事实上，从甲到丁是分三步走的。

第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。

对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有

　　2×3×2＝12（种）。

例3用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

分析与解：

组成一个三位数要分三步进行：

第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。

根据乘法原理，可以组成三位数

　　5×6×6＝180（个）。

例4如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

分析与解：

将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。

　　先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。

根据乘法原理，共有不同的染色方法

　　5×4×3×3×2＝360（种）。

例5求360共有多少个不同的约数。

分析与解：

先将360分解质因数，

　　360＝2×2×2×3×3×5，

　　所以360的约数的质因数必然在2，3，5之中。

为了确定360的所有不同的约数，我们分三步进行：

　　第1步确定约数中含有2的个数，可能是0，1，2，3个，即有4种可能；

　　第2步确定约数中含有3的个数，可能是0，1，2个，即有3种可能；

　　第3步确定约数中含有5的个数，可能没有，也可能有1个，即有2种可能。

　　根据乘法原理，360的不同约数共有

　　4×3×2＝24（个）。

由例5得到：

如果一个自然数N分解质因数后的形式为

　　其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：

　　（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。

　　利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。

例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不同的约数

　　（4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。

例6有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。

问：

共有多少种不同的吃法？

分析与解：

将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。

从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。

下图表示10块糖分在五天吃：

第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。

因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29＝512（种）。

因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。

二、年龄问题

例1、1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。

2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。

问：

父亲出生在哪一年？

　　分析与解：

如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。

　　父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。

由

　　1段＋12岁=2段＋3岁，

　　推知1段是9岁。

所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于

　　1994——36＝1958（年）。

　　例2、今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。

问：

父子今年各多少岁？

　　解法一：

假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。

这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。

　　事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为

　　（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），

　　父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。

　　解法二：

如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。

　　20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。

由

　　1段＋20=2段＋10，

　　求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。

　　例3、今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。

问：

几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？

　　分析：

今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。

每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。

因而只需求出12里面有几个2即可。

　　解：

[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

　　答：

6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。

三、流水问题

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。

在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。

这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。

　　流水问题有如下两个基本公式：

　　顺水速度=船速+水速         

（1）

　　逆水速度=船速-水速         

（2）

　　这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。

　　公式

（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。

这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。

　　公式

（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。

　　根据加减互为逆运算的原理，由公式

（1）可得：

　　水速=顺水速度-船速         （3）

　　船速=顺水速度-水速         （4）

　　由公式

（2）可得：

　　水速=船速-逆水速度         （5）

　　船速=逆水速度+水速         （6）

　　这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。

　　另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。

因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：

　　船速=（顺水速度+逆水速度）÷2   （7）

　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2   （8）

　　*例1一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。

此船在静水中的速度是多少？

（适于高年级程度）

　　解：

此船的顺水速度是：

　　25÷5=5（千米/小时）

　　因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。

　　5-1=4（千米/小时）

　　综合算式：

　　25÷5-1=4（千米/小时）

　　答：

此船在静水中每小时行4千米。

　　*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。

水流的速度是每小时多少千米？

（适于高年级程度）

　　解：

此船在逆水中的速度是：

　　12÷4=3（千米/小时）

　　因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：

　　4-3=1（千米/小时）

　　答：

水流速度是每小时1千米。

　　*例3一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。

这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？

（适于高年级程度）

　　解：

因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：

　　（20+12）÷2=16（千米/小时）

　　因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：

　　（20-12）÷2=4（千米/小时）

　　答略。

　　*例4某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。

此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。

求甲、乙两地的路程是多少千米？

此船从乙地回到甲地需要多少小时？

（适于高年级程度）

　　解：

此船逆水航行的速度是：

　　18-2=16（千米/小时）

　　甲乙两地的路程是：

　　16×15=240（千米）

　　此船顺水航行的速度是：

　　18+2=20（千米/小时）

　　此船从乙地回到甲地需要的时间是：

　　240÷20=12（小时）

　　答略。

　　*例5某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。

已知水速为每小时3千米。

此船从乙港返回甲港需要多少小时？

（适于高年级程度）

　　解：

此船顺水的速度是：

　　15+3=18（千米/小时）

　　甲乙两港之间的路程是：

　　18×8=144（千米）

　　此船逆水航行的速度是：

　　15-3=12（千米/小时）

　　此船从乙港返回甲港需要的时间是：

　　144÷12=12（小时）

　　综合算式：

　　（15+3）×8÷（15-3）

　　=144÷12

　　=12（小时）

　　答略。

　　*例6甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。

求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？

（适于高年级程度）

　　解：

顺水而行的时间是：

　　144÷（20+4）=6（小时）

　　逆水而行的时间是：

　　144÷（20-4）=9（小时）

　　答略。

　　*例7一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。

一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。

求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？

（适于高年级程度）

　　解：

此船顺流而下的速度是：

　　260÷6.5=40（千米/小时）

　　此船在静水中的速度是：

　　40-8=32（千米/小时）

　　此船沿岸边逆水而行的速度是：

　　32-6=26（千米/小时）

　　此船沿岸边返回原地需要的时间是：

　　260÷26=10（小时）

　　综合算式：

　　260÷（260÷6.5-8-6）

　　=260÷（40-8-6）

　　=260÷26

　　=10（小时）

　　答略。

　　*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。

顺水行150千米需要多少小时？

（适于高年级程度）

　　解：

此船逆水航行的速度是：

　　120000÷24=5000（米/小时）

　　此船在静水中航行的速度是：

　　5000+2500=7500（米/小时）

　　此船顺水航行的速度是：

　　7500+2500=10000（米/小时）

　　顺水航行150千米需要的时间是：

　　150000÷10000=15（小时）

　　综合算式：

　　150000÷（120000÷24+2500×2）

　　=150000÷（5000+5000）

　　=150000÷10000

　　=15（小时）

　　答略。

　　*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。

顺水用8小时，逆水用13小时。

求船在静水中的速度及水流的速度。

（适于高年级程度）

　　解：

此船顺水航行的速度是：

　　208÷8=26（千米/小时）

　　此船逆水航行的速度是：

　　208÷13=16（千米/小时）

　　由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：

　　（26+16）÷2=21（千米/小时）

　　由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：

　　（26-16）÷2=5（千米/小时）

　　答略。

　　*例10A、B两个码头相距180千米。

甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。

甲船顺水行全程用10小时。

乙船顺水行全程用几小时？

（适于高年级程度）

　　解：

甲船逆水航行的速度是：

　　180÷18=10（千米/小时）

　　甲船顺水航行的速度是：

　　180÷10=18（千米/小时）

　　根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：

　　（18-10）÷2=4（千米/小时）

　　乙船逆水航行的速度是：

　　180÷15=12（千米/小时）

　　乙船顺水航行的速度是：

　　12+4×2=20（千米/小时）

　　乙船顺水行全程要用的时间是：

　　180÷20=9（小时）

　　综合算式：

　　180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]

　　=180÷[12+（18-10）÷2×2]

　　=180÷[12+8]

　　=180÷20

　　=9（小时）

四、火车过桥问题

火车在行驶中，经常发生过桥与通过隧道，两车对开错车与快车超越慢车等情况．

　　火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：

　　后三个都是根据第二个关系式逆推出的．

　　对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行．

　　两列火车的"追及"情况，请看下图：