（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm
?
（2）求证：
四边形PBQD面积为定值.
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形？
写出探索过程.
解：
（1）由题意得：
×（6-t）×2t=8 ∴t=2或t=4
∴当t=2或t=4时△PBQ的面积等于8cm2．
（2）∵
=36
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值.
（3）①当DP=DQ时，由题意得
解得
（舍去），
②当DP=PQ时，由题意得
解得
（舍去），
（舍去）
③当DQ=PQ时，由题意得
解得
（舍去），
综上所述，当
为
，或
时，△PDQ等腰三角形.
７、你知道吗？
平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）
解：
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为抛物线过点（-1，1）、（3，1）、（0，1.5）
所以有：
解之得 所以y=-ｘ２＋ｘ＋１．５
当x=1.5时，y==1.625．
即丁的身高是1.625米．
８、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。
已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：
当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为元，年销售量为万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。
（1）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（2）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？
相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：
在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。
请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？
：
解：
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
y=20-=20-+10=30-
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
z=xy-40y-500=x（30-）-40（30-）-500
=30x--1200+4x-500=-+34x-1700
（3）z=-+34x-1700=-（x-170）²+1190
x=160时,年获利z=-×100+1190=1180万
当z=1180时
-（x-170）²=-10
x-170=10或-10
x=180或160要获得同样的年获利,单价还可以定为180元,此时销售量y=30-180/10=30-18=12万件
（４）z=-x2+34x-3200=-（x-170）2-310；
因此当x=170时，z取得最大值-310，
第二年的销售单价定为x元时，则年获利为
z=（-x+30）（x-40）-310=-x2+34x-1510；
当z=1130时，1130=-x2+34x-1510，
解得x1=120，x2=220，
函数z=-x2+34x-1510的图象大致如图：
由图象可知当120≤x≤220时，z≥1130．
９、某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品
的售价和成本进行了调研，结果如下：
每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关
系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q（元）与时间t（月）
的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）。
（说明：
图1，图2中
的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本．）请你根据图象提
供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价﹣成本）是多少元？
（2）求图2中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函
数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）
之间的函数关系式吗（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？
若该
公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可
获利多少元？
解：
（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4） ∴设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4∵抛物线过（3，1）点 ∴1=a（3﹣6）2+4解得：
a=﹣
∴Q=﹣
（t﹣6）2+4=﹣
t2+4t﹣8，其中t=3、4、5、6、7；
（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b
∵线段过（3，6）、（6，8）两点 ∴3k+b=66k+b=8解得：
k=
，b=4
∴M=
t+4，其中t=3、4、5、6、7，
所以每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为
W=M﹣Q=（
t+4）﹣（﹣
t2+4t﹣8）=
t2﹣
t+12
∴W=
（t﹣5）2+
，其中t=3、4、5、6、7
∴当t=5时，W的最小值为
元
∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×
=110000元。
答：
30000件商品一个月内售完，至少获利110000元。
10、在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.（1≤x≤16），且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？
最大利润为多少？
解：
（1）依题意得，可建立的函数关系式为：
∴y=
即y=
（2）设备利润为W，则W=售价-进价
故W=
化简得W=
①W=x2+14时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6
∴当x=6时，W有最大值，最大值=18.5
②当W=x2-2x+26时，∵W=（x-8）2+18，当x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴在x=11时，函数有最大值为19
③当W=x2-4x+48时，∵W=（x-16）2+16，
∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18
综上所述，当x=11时，函数有最大值为19
11、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润的总和s与t之间的关系）.根据图象提供的信息,解答下列问题:
（1）由已知图象上的三点坐标,求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式;
（2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元?
解：
（1）设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c则
解得
∴S=t2-2t；
（2）把S=30代人S=t2-2t得t=10
即截止到10月末公词累积利润可达到30万元。
（3）把x=7代入关系式，得S=t2-2t=10.5，
把x=8代入关系式，得S=t2-2t=16，
16-10.5=5.5，
答：
第8个月公司所获利是5.5万元．
12、某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价为3元,年销售量为100万件为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x（单位：
10万元）时,产品的年销量将是原销售量的y倍,且y=-1/10x^2+3/5x+1.把利润看成是销售总额减去成本费和广告费.
1、试写出年利润S（单位10万元）与广告费x（单位10万元）的函数关系式
2、如果投入广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大
3、在2中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大?
是多少?
解：
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
由关系表，得
解得
∴函数的解析式为y=-x2+x+1．
（2）根据题意，得S=10y（3-2）-x=-x2+5x+10
（3）S=-x2+5x+10=-（x-）2+
∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
故当年广告费为10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大
13、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，根据设计图纸已知：
图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=-x2+2x+。
（1）确定关系式中的值；
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（3）不计其他因素，那么水池的半径至少为多时，才能使喷出的水流都落在水池内？
解：
（1）当x=0时，y=5/4，
故OA的高度为1.25米；
（2）∵y=-x²+2x+5/4=-（x-1）²+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；
（3）解方程-x²+2x+5/4=0，
得x1=-1/2，x2=5/2，
∴B点坐标为（5/2，0），
∴OB=5/2．
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．
14、有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式．
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数关系式．
（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
解：
（1）设二次函数解析式为y=ax2，
代入点（10，-4）得﹣4=100a，解得a=﹣
，
因此二次函数解析式为y=﹣
x2；
（2）把点（
，4-h）代入函数解析式y=-
x2，得h=4-
d2
（3）把x=9代入函数解析式y=﹣
x2中，
∵y=﹣
×92=﹣
（米），
∴4+2﹣
=
．
答：
当水深超过
米时，超过了正常水位
，就会影响过往船只在桥下顺利航行．
15、如图,RT△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C和M点重合,BC和MN在一条直线上,令RT△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动,直到C点与N点重合为止.设移动x秒,矩形ABCD与△PMN重叠面积为ycm².
（1）当D在边PM上时,求x和y的值
（2）当D点在边PN上时求x和y的值
（3）求x和y之间的函数关系式
解：
在Rt△PMN中,
∵PM=PN,∠P=90°∴∠PMN=∠PNM=45°,
延长AD分别交PM,PN于点G．
过G作GF⊥MN于F,过H作HT⊥MN于T．
∵DC=2cm,∴MF=GF=2cm,TN=HT=2cm．
∵MN=8cm,∴MT=6cm．
因此,矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：
（1）当C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2）,如图①所示,
设CD与PM交于点E,则重叠部分图形是Rt△MCE,且MC=EC=x．
∴y=1/2MC•EC=x²/2（0≤x≤2）
（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6）,如图②所示,重叠部分图形是直角梯形MCDG．
∵MC=x,MF=2,
∴FC=DG=x-2,且DC=2,
∴y=1/2（MC+GD）•DC=2x-2（2＜x≤6）
（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8）
设CD与PN交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG．
∵MC=x,
∴CN=CQ=8-x,且DC=2,
∴y=1/2（MG+GH）×DC-1/2（CN×CQ）
=-1/2（x-8）²+12（6＜x≤8）．
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