设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1＋x2＝，y1＋y2＝2m－（x1＋x2）＝－＋2m＝，
所以AC中点的坐标为，
由四边形ABCD为菱形可知，点在直线BD上，
所以7·－7·＋1＝0⇒m＝－1∈.
所以直线AC的方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
2.（2017·江门一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0）和直线l：
x＝4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P.
（1）求圆心C的轨迹E的方程；
（2）过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A，B，求△PAB面积的取值范围.
解
（1）设圆心C（x，y），则圆心C到点F的距离等于它到直线l距离的一半，
∴＝|4－x|，
化简得圆心C的轨迹方程为＋＝1.
（2）设直线m的方程为x＝ky＋1，
由得（3k2＋4）y2＋6ky－9＝0，Δ＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|y1－y2|＝＝12，
△PAB的面积S＝×|y1－y2|×|PF|＝18.
设t＝k2＋1≥1，
则＝＝，
设f（t）＝9t＋＋6，t≥1，则f′（t）＝9－＞0，
f（t）单调递增，f（t）≥f
（1）＝16，
所以S≤18＝，△PAB面积的取值范围为.
3.（2017届绵阳中学模拟）已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2＋y2＝a2被直线x－y－＝0截得的弦长为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y＝k（x－1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：
在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？
若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
解
（1）圆x2＋y2＝a2的圆心（0，0）到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，
∴2＝2，解得a2＝2，又＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a2＝2，c＝1＝b.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得·为定值.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
化为（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝.
·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）
＝（x1－m）（x2－m）＋y1y2
＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－1）（x2－1）
＝（1＋k2）x1·x2－（m＋k2）（x1＋x2）＋m2＋k2
＝（1＋k2）·－（m＋k2）＋m2＋k2
＝，
令2m2－4m＋1＝2（m2－2），解得m＝，
因此在x轴上存在定点M ，使得·为定值－.
4.（2017·广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.
（1）若＝3，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.
解
（1）依题意可设直线AB：
x＝my＋1，
将直线AB与抛物线联立⇒y2－4my－4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系得
∵＝3，∴y1＝－3y2，∴m2＝，
∴直线AB的斜率为或－.
（2）S四边形OACB＝2S△AOB＝2·＝＝＝≥4，
当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.
5.（2017·惠州模拟）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），点A在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
解
（1）设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A在椭圆C上，所以2a＝＋＝2，
因此a＝，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：
设直线的方程为y＝2x＋t，
设M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36（t2－8）＞0，
故y0＝＝且－3＜t＜3.
由＝，得＝（x4－x2，y4－y2），
所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.
（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形
而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，
所以y0＝＝，可得y4＝.）
又－3＜t＜3，
所以－＜y4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[－1，1]矛盾.
因此点Q不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q点.
6.（2017届长郡中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F（1，0）的距离与到直线x＝2的距离的比值为.
（1）求动点S的轨迹E的方程；
（2）过点F作与x轴不垂直的直线l交轨迹E于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得·＝0？
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解
（1）设S（x，y），依题意有＝，整理得E的方程为＋y2＝1.
（2）假设在线段OF上存在点M（m，0），使得·＝0，
∵直线l与x轴不垂直，
∴设l：
y＝k（x－1），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2，
由
得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵·＝0，
∴|MP|＝|MQ|（说明：
此处还可以用PQ与M与PQ的
中点连线的斜率成负倒数关系），
∴（x1－m）2＋y＝（x2－m）2＋y，
∴（x1－m）2＋1－＝（x2－m）2＋1－，
∴m＝＝＝－，
∴0≤m＜，∴存在点M（m，0），使得（＋）·＝0，m的取值范围为.
2.导 数
1.（2017·安徽“皖南八校”联考）已知函数f（x）＝ex－ax2－2ax－1.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线方程；
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围.
解
（1）当a＝1时，f（x）＝ex－x2－2x－1，f（－1）＝，
所以切点坐标为，f′（x）＝ex－2x－2，所以f′（－1）＝，
故曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线方程为y－＝，即y＝x＋.
（2）f（x）＝ex－ax2－2ax－1求导得f′（x）＝ex－2ax－2a，
令g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－2a，则g′（x）＝ex－2a（x＞0）.
①当2a≤1，即a≤时，g′（x）＝ex－2a＞1－2a≥0，
所以g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－2a在（0，＋∞）上为增函数，
g（x）＞g（0）＝1－2a≥0，
即g（x）＝f′（x）≥0，所以f（x）＝ex－ax2－2ax－1在（0，＋∞）上为增函数，
所以f（x）＞f（0）＝1－0－0－1＝0，故a≤时符合题意.
②当2a＞1，即a＞时，令g′（x）＝ex－2a＝0，得x＝ln2a＞0，
x
（0，ln2a）
ln2a
（ln2a，＋∞）
g′（x）
－
0
＋
g（x）
减函数
极小值
增函数
当x∈（0，ln2a）时，g（x）＜g（0）＝1－2a＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，ln2a）上为减函数，所以f（x）＜f（0）＝0，与条件矛盾，故舍去.
综上，a的取值范围是.
2.（2017·广东惠州调研）已知函数f（x）＝x2－（a－2）x－alnx（a∈R）.
（1）求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）当a＝1时，证明：
对任意的x＞0，f（x）＋ex＞x2＋x＋2.
（1）解 函数f（x）的定义域是（0，＋∞），
f′（x）＝2x－（a－2）－＝＝.
当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，＋∞）恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）证明 当a＝1时，f（x）＝x2＋x－lnx，要证明f（x）＋ex＞x2＋x＋2，
只需证明ex－lnx－2＞0，设g（x）＝ex－lnx－2，
则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，
令g′（x）＝ex－＝0，得ex＝，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0＝，
当x变化时，g′（x）和g（x）的变化情况如下表：
x
（0，x0）
x0
（x0，＋∞）
g′（x）
－
0
＋
g（x）
单调递减
单调递增
g（x）min＝g（x0）＝ex0－lnx0－2＝＋x0－2，
因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2－2＝0，因此不等式得证.
3.（2017·江门一模）设函数f（x）＝ex－ax，a是常数.
（1）若a＝1，且曲线y＝f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；
（2）讨论f（x）的零点的个数.
解
（1）f（x）＝ex－x，f′（x）＝ex－1，
经过切点（m，em－m）的切线方程为y－（em－m）＝（em－1）（x－m），
由0－（em－m）＝（em－1）（0－m），得m＝1，所求切线为y＝（e－1）x.
（2）f′（x）＝ex－a，
①当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝lna.若x＜lna，则f′（x）＜0；若x＞lna，则f′（x）＞0.
函数f（x）在区间（－∞，lna）上单调递减，在区间（lna，＋∞）上单调递增，f（x）的最小值为f（lna）＝a（1－lna）.
（ⅰ）当0＜a＜e时，f（lna）＝a（1－lna）＞0，f（x）无零点；
（ⅱ）当a＝e时，f（lna）＝a（1－lna）＝0，f（x）只有一个零点；
（ⅲ）当a＞e时，f（lna）＝a（1－lna）＜0，根据f（0）＝1＞0与函数的单调性可知，f（x）在区间（－∞，lna）和（lna，＋∞）上各有一个零点，f（x）共有两个零点.
②当a＝0时，f（x）＝ex，f（x）无零点.
③当a＜0时，由f（x）＝0，得ex＝ax，由函数图象知，曲线y＝ex与y＝ax只有一个交点，所以f（x）只有一个零点.
综上所述，当0≤a＜e时，f（x）无零点；当a＜0或a＝e时，f（x）有一个零点；当a＞e时，f（x）有两个零点.
4.（2017届重庆市一中月考）已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）.
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f
（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）＝x2＋nx＋mf′（x）（m，n∈R），当且仅当在x＝1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围.
解
（1）f′（x）＝（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，
令f′（x）＜0，得x＞1，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.
（2）因为函数y＝f（x）的图象在点（2，f
（2））处的切线的倾斜角为45°，
则f′
（2）＝1，即a＝－2，
所以g（x）＝x2＋nx＋m，
所以g′（x）＝x＋n＋＝，
因为g（x）在x＝1处有极值，故g′
（1）＝0，从而可得n＝－1－2m，
则g′（x）＝＝，
又因为g（x）仅在x＝1处有极值，
所以x2－2mx－2m≥0在（0，＋∞）上恒成立，
当m＞0时，－2m＜0，易知∃x0∈（0，＋∞），使得x－2mx0－2m＜0，
所以m＞0不成立，故m≤0，
当m≤0且x∈（0，＋∞）时，x2－2mx－2m≥0恒成立，所以m≤0.
综上，m的取值范围是（－∞，0].
5.（2017·湖北沙市联考）已知函数f（x）＝e－x（lnx－2k）（k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与y轴垂直.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝，对任意x＞0，证明：
（x＋1）·g（x）（1）解 因为f′（x）＝（x＞0），
由已知得f′
（1）＝＝0，所以k＝－.
所以f′（x）＝，设k（x）＝－lnx－1，则k′（x）＝－－＜0在（0，＋∞）上恒成立，
即k（x）在（0，＋∞）上单调递减，由k
（1）＝0知，当0＜x＜1时，k（x）＞0，从而f′（x）＞0，
当x＞1时，k（x）＜0，从而f′（x）<0.
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
（2）证明 因为x＞0，要证原式成立即证＜成立.
当x≥1时，由
（1）知g（x）≤0＜1＋e－2成立；
当0＜x＜1时，ex＞1，且由
（1）知，g（x）＞0，所以g（x）＝＜1－xlnx－x，
设F（x）＝1－xlnx－x，x∈（0，1），
则F′（x）＝－（lnx＋2），
当x∈（0，e－2）时，F′（x）＞0，
当x∈（e－2，1）时，F′（x）＜0，
所以当x＝e－2时，F（x）取得最大值F（e－2）＝1＋e－2，
所以g（x）＜F（x）≤1＋e－2，
即当0＜x＜1时，g（x）＜1＋e－2.①
综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1＋e－2恒成立.
令G（x）＝ex－x－1（x＞0），则G′（x）＝ex－1＞0恒成立，所以G（x）在（0，＋∞）上单调递增，
G（x）＞G（0）＝0恒成立，即ex＞x＋1＞0，即0＜＜.②
当x≥1时，有≤0＜；
当0＜x＜1时，由①②式，＜.
综上所述，当x＞0时，＜成立，故原不等式成立.
6.（2017·西安模拟）已知函数f（x）＝lnx＋，其中常数k＞0.
（1）讨论f（x）在（0，2）上的单调性；
（2）当k∈[4，＋∞）时，若曲线y＝f（x）上总存在相异的两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，试求x1＋x2的取值范围.
解
（1）由已知得，f（x）的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝－＝－＝－（k＞0）.
①当0＜k＜2时，＞k＞0，且＞2，
所以x∈（0，k）时，f′（x）＜0；x∈（k，2）时，f′（x）＞0.
所以函数f（x）在（0，k）上是减函数，在（k，2）上是增函数；
②当k＝2时，＝k＝2，f′（x）＜0在区间（0，2）内恒成立，
所以f（x）在（0，2）上是减函数；
③当k＞2时，0＜＜2，k＞，
所以当x∈时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0，
所以函数在上是减函数，在上是增函数.
（2）由题意，可得f′（x1）＝f′（x2），x1x2＞0且x1≠x2，
即－－1＝－－1，化简得，4（x1＋x2）＝x1x2.
由x1x2＜2，
得4（x1＋x2）＜2，
即（x1＋x2）＞对k∈[4，＋∞）恒成立，
令g（k）＝k＋，则g′（k）＝1－＝＞0对k∈[4，＋∞）恒成立.
所以g（k）在[4，＋∞）上是增函数，则g（k）≥g（4）＝5，
所以≤，
所以（x1＋x2）＞，
故x1＋x2的取值范围为.
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