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离散数学文档1
本章学习目标：
集合是一般数学及离散数学中的基本概念，几乎与现代数学的各个分支
都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。
本章主要介绍集合的基本知识，
通过本章学习，读者应该掌握以下内容：
（1）集合的概念及表示方法
（2）子集、空集、全集、补集、幂集等（3）集合的基本运算：
交、并、补和对称差
第1章集合
定义1.1如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，
则称A是B的子集，也可以说A包含于B，或者B包含A，这种关系写作A⊆B或B⊇A
如果A不是B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B时，
称B不包含A，记作
B⊉A或A⊈B
1.2集合之间的关系
定义1.2如果两个集合A和B的元素完全相同，则称这两个
集合相等，记作A＝B。
例如：
A＝｛1，2，3，4｝
B＝｛3，1，4，2｝
C＝｛x|x是英文字母且x是元音｝
D＝｛a，e，i，o，u｝
显然有
A＝B，C＝D
1.2集合之间的关系
定义1.2如果两个集合A和B的元素完全相同，则称这两个
集合相等，记作A＝B。
例如：
A＝｛1，2，3，4｝
B＝｛3，1，4，2｝
C＝｛x|x是英文字母且x是元音｝
D＝｛a，e，i，o，u｝
显然有
A＝B，C＝D
1.2集合之间的关系
定理1.1集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。
定义1.3如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就
是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
A⊂B或B⊃A
例如：
集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集
定义1.4若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论
问题的完全集，简称全集。
1.2集合之间的关系
定义1.5设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集
合称为A的幂集，记作ρ（A），即ρ（A）＝｛X|X⊆A｝。
在A的所有子集中，A和这两个子集又叫平凡子集。
例如：
A＝｛1，2，3｝，则
ρ（A）＝｛，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，
｛2，3｝，｛1，2，3｝｝
定理1.2设A是有限集，|A|=n，则A的幂集ρ（A）的基为2n。
证明：
由排列组合知：
|ρ（A）|=
+
+
又由二项式定理知：
+
+
=
所以可得：
|ρ（A）|=2n
1.3集合的运算
1.3.1集合的并运算
定义1.6任意两个集合A、B的并，记作A∪B，它也是一个集
合，由所有属于A或者属于B的元素合并在一起而构成的，即
A∪B＝｛x|x属于A或x属于B｝
例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛a，b，c，d，e｝，则
A∪B＝｛a，b，c，d，e｝
又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
A∪B＝｛1，2，3，4，5，7，9｝
集1.3.1合的并运算
用文氏图表示集合之间的并运算：
集1.3.1合的并运算
用文氏图表示集合之间的并运算：
用平面上的矩形表示全集U。
用矩形内的圆表示U中的任一集合。
图中表示了集合A和集合B的并集。
阴影部分就是A∪B。
1.3集合的运算
1.3.1集合的并运算
由集合并运算的定义可知，并运算具有以下性质：
（1）幂等律：
A∪A＝A
（2）同一律：
A∪＝A
（3）零律：
A∪U＝U
（4）结合律：
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
（5）交换律：
A∪B＝B∪A
1.3集合的运算
1.3.2集合的交运算集合
定义1.7任意两个集合A、B的交记作A∩B，它也是一个集合，
由所有既属于A又属于B的元素构成，即
A∩B＝｛x|x属于A且x属于B｝
例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
A∩B＝｛b，c｝
又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
A∩B＝｛1，3，5｝
1.3集合的运算
1.3.2集合的交运算
定理1.3设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立：
A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
定理1.4设A，B为两个集合，则下列关系式成立：
A∪（A∩B）＝A
A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
1.3集合的运算
1.3.3集合的补
定义1.8设A、B是两个集合，A-B也是一个集合。
它是由属于
集合A但不属于集合B的所有元素组成的。
A-B称为集合B关于A的
补集（或相对补）。
即
Ａ-B＝｛x|x属于Ａ且x不属于B｝
A-B也称为集合A和B的差集。
例如，Ａ＝｛a，b，c｝，B＝｛a，b｝，则
Ａ-B＝｛c｝
又如，Ａ＝｛a，b，c，d｝，B＝｛a，b，e，f｝，则
Ａ-B＝｛c，d｝
1.3集合的运算
1.3.3集合的补
定义1.9设U是全集，A是U的一个子集，称U-A为A关于全集
的补集，也叫做A的绝对补集，简称为补集。
记作~A。
即
U-Ａ＝｛x|x属于Ｕ且x不属于Ａ｝
例如，U＝｛x|x是华北航天工业学院的学生｝，
A＝｛x|x是华北航天工业学院的女学生｝，
则
~A＝｛x|x是华北航天工业学院的男学生｝
1.3集合的运算
1.3.3集合的补
集合的补运算有以下性质
（1）双重否定律：
~（~A）＝A
（2）摩根律：
~＝U
（3）摩根律：
~U＝
（4）矛盾律：
A∩（~A）＝
（5）排中律：
A∪（~A）＝U
为了简单，约定A∩（~B）表示为A∩~B，A∪（~B）表示为
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
属于B。
即
A♁B＝（A∪B）-（A∩B）
例如，A＝｛a，b，c，d｝，
B＝｛a，c，e，f，g｝
那么
A♁B＝｛b，e，d，f，g｝
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差
由对称差的定义易得下列性质：
（1）A♁A＝
（2）A♁＝A
（3）A♁Ｕ＝~Ａ
（4）A♁B＝B♁A
（5）（A♁B）♁C＝A♁（B♁C）
（6）A♁B＝（A-B）∪（B-A）
本章介绍了集合的基本概念、性质、表示方法和集合的基运
算。
主要内容包括：
子集、空集、幂集、集合的并、交、差、有
限集合包容排斥原理等。
第1.2节关系
本章学习目标：
在上一章讨论了集合及集合的运算，在这一章中我们将要研究集合内元素间的关系，这就是“关系”。
关系是一个很重要的数学基本概念，它在计算机科学中的许多方面如数据结构、数据库、情报检索、算法分析等都有很多应用。
本章主要讨论二元关系理论。
通过本章学习，读者应该掌握以下内容：
（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
记为，其中x，y分别称为序偶的第一、二分量（或称第一、二元1.2素）。
例1.8A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，R={<1，7>，<2，5>，
<3，6>，<4，7>}，作出R的关系图。
关系图如下：
例1.9设A={1，2，3，4}，R={<1，2>，<2，2>，<3，3>，<4
，1>}。
画出A上的关系图。
关系图如下：
定义1.2两序偶，是相等的，当且仅当a=c，
b=d；记作=。
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.2笛卡儿积的概念
例1.1
（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。
（2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。
（3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。
解
（1）A×B={a，b}×{c，d}={，，，}。
（2）B×A={c，d}×{a，b}={，，，}。
（3）（A×B）={a，b}×{1，2}={，，,}。
（A×B）×C={<，c>，<，c>，<，c>，
<，c>}={，，，}。
B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。
A×（B×C）={>，>，>，>}。
定理1.1设A，B，C为任意3个集合，则有
（1）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）
（2）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）
（3）（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）
（4）（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）
定理1.2设A，B，C为任意3个集合，且C，则有
AB（A×CB×C）（C×AC×B）
例1.10
（1）A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3}，
R={<2，7>，<3，5>，<4，3>}，S={<3，3>，<7，2>}，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
分必要条件是：
AC且BD。
如果AC且BD，设任意x∈A和y∈B，有
∈A×Bx∈A且y∈B
x∈C且y∈D
x∈C且y∈D
∈C×D
所以，A×BC×D。
1.2二元关系及其表示
1.2.1二元关系的概念
定义1.4设A，B是两个集合，R是笛卡儿积A×B的任一子集，
则称R为从A到B的一个二元关系，简称关系。
特别当A=B时，
则称R为A上的二元关系（或A上的关系）。
定义1.5设R是二元关系，由R的所有x组成的集合称
为R的定义域，记作D（R），即D（R）={x׀y（yB且y>R）}。
由R的所有y组成的集合称为R的值域，记作
C（R），即C（R）={y׀x（x∈A且∈R）}。
1.2二元关系及其表示
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。
用集合A的元素标
注矩阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于a∈A和b∈B，
若∈R，则在行a和列b交叉处标1，否则标0。
这样得到的
矩阵称为R的关系矩阵。
2．关系图表示法
有限集的二元关系可以用有向图来表示，设集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为从A到B的一个二元关系，首先在平面上作出n个结点分别记作a1，a2，…，an，然后另外作出m个结点分别记作b1，b2，…，bm，如果a∈A、b∈B且R，则自结点a到结点b作出一条有向弧，其箭头指向b。
如果R，则结点a和结点b之间没有线段联结。
用这种方法得到的图称为R的关系图。
1.3关系的运算
1.3.1关系的交、并、差、补运算
设R，S都是集合A到B的关系，则：
R∪S={（x,y）|xRy或xSy};R∩S={（x,y）|xRy且xSy}；
R-S={（x,y）|xRy且x与y没有关系S}；
~R={（x,y）|x与y没有关系R}，由于A×B是相对于R的全集，因此
~R=A×B-R。
例1.10设X={1，2，3，4，5}，若R={x与y的差能被2整
除}，S={x与y的差为正且能被3整除}，求R∪S，R∩S
，R-S，S-R，~R。
解R={<1，1>，<1，3>，<1，5>，<2，2>，<2，4>，<3，1>，
<3，3>，<3，5>，<4，2>，<4，4>，<5，1>，<5，3>，<5，5>}
S={<4，1>，<5，2>}
R∪S={<1，1>，<1，3>，<1，5>，<2，2>，<2，4>，<3，1>，<3
，3>，<3，5>，<4，1>，<4，2>，<4，4>，<5，1>，<5，2>，<5
，3>，<5，5>}
R∩S=
R-S={<1，1>，<1，3>，<1，5>，<2，2>，<2，4>，<3，1>，<3，
3>，<3，5>，<4，2>，<4，4>，<5，1>，<5，3>，<5，5>}
S-R={<4，1>，<5，2>}
~R={1，2，3，4，5}×{1，2，3，4，5}-{<1，1>，<1，3>，
<1，5>，<2，2>，<2，4>，<3，1>，<3，3>，<3，5>，<4，2>
，<4，4>，<5，1>，<5，3>，<5，5>}
={<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，3>，<2，5>，<3，2>，<3，
4>，<4，1>，<4，3>，<4，5>，<5，2>，<5，4>}
定义1.7设R是从集合A到集合B上的二元关系，S是从集合B到
集合C上的二元关系，则R◦S称为R和S的复合关系，表示为
R◦S={x∈A且z∈C且y（y∈B且∈R且∈S}
定理1.4设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系，其中A={a1
，a2，…，am}，B={b1，b2，…，bn}，C={c1，c2，…，ct}。
而
MR，MS和MR◦S分别为关系R，S和R◦S的关系矩阵，则有
MR◦S=MR·MS。
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
1自反．性的判定方法
R的关系矩阵为：
．自反性的判定方法
R的关系图为：
定理1.5设R是从集合A到集合B上的二元关系，S是从集合B到
集合C上的二元关系，T是从集合C到集合D上的二元关系，则有：
（1）R◦（S∪T）=R◦S∪R◦T
（2）R◦（S∩T）R◦S∩R◦T
（3）（R∪S）◦T=R◦T∪S◦T
（4）（R∩S）◦TR◦T∩S◦T
定理1.6设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系，T是从C到D
的关系，则有R◦（S◦T）=（R◦S）◦T。
定义1.8设R是从A上的关系，n为整数，关系R的n次幂定义如下：
（1）R0={︱x∈A}=IA；
（2）Rn+1=Rn◦R。
从关系R的n次幂定义，可得出下面的结论：
（1）Rn+m=Rn◦Rm；
（2）（Rn）m=Rnm。
定义1.9设R是从集合A到集合B的二元关系，如果将R中每序偶
的第一元素和第二元素的顺序互换，所得到的集合称为R的逆关
系，记为R─1，即
R─1={∈R}
1自反．性的判定方法
R的关系矩阵为：
定理1.7设R，S和T都是从A到B的二元关系，则下列各式成立：
（1）（（R）─1）─1=R
（2）（R∪S）─1=R─1∪S─1
（3）（R∩S）─1=R─1∩S─1
（4）（A×B）─1=B×A
（5）（~R）─1=~（R─1）（这里~R=A×B-R）
（6）（R-S）─1=R─1-S─1
1.3关系的运算
1.3.3关系的逆运算
定理1.8设R是从A到B的二元关系，S是从B到C的二元关系，则
下面的式子成立：
（R◦S）─1=S─1◦R─1
证明∈（R◦S）─1∈R◦S
y（y∈B且∈R且∈S）
y（y∈B且∈S─1且∈R─1）
∈S─1◦R─1。
所以，（R◦S）─1=S─1◦R─1。
1.4关系的性质
1.4.1自反性和反自反性
定义1.10设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有
R，则称二元关系R是自反的。
R在A上是自反的x（x∈A∈R）
定义1.11设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有
R，则称二元关系R是反自反的。
R在A上是反自反的x（x∈AR）
1.4关系的性质
1.4.2对称性和反对称性
定义1.12设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A，
当∈R，就有∈R，则称二元关系R是对称的。
R在A上是对称的xy（x∈A且y∈A且∈Rx>∈R）
定义1.13设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A，
当∈R和∈R时，必有x=y，则称二元关系R是反对
称的。
1.4关系的性质
1.4.3传递性
例1.13设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中
R={，，}
S={，，}
T={}
说明R，S，T是否为A上的传递关系。
解根据传递性的定义知，R和T是A上的传递关系，S不是A上的
传递关系，因为∈R，∈R，但R。
1.4关系的性质
1.4.4关系性质的判定
．自反性的判定方法
R的关系矩阵为：
1.4关系的性质
1.4.4关系性质的判定
2．反自反性的判定方法
定理1.10设R是A上的二元关系，则R在A上是反自反的当且仅
当IA∩R=。
例4.15设集合A={a，b，c，d}，A上的二元关系R={，
，，，，，}，讨论R
的性质，写出R的关系矩阵，画出R的关系图。
解由于，，，R，即IA∩R=，
所以R是反自反的。
反自反省的关系图为:
1.4关系的性质
1.4.4关系性质的判定
3．对称性的判定方法
定理1.11设R是A上的二元关系，则R在A上是对称的当且仅当
R=R–1。
例1.16设集合A={a，b，c，d}，A上的二元关系R={，
，，，，，，，
}，讨论R的性质，写出R的关系矩阵，画出R的关系图。
解因为R，所以R不是自反的。
由于∈R，即IA∩R，所以R不是反自反的。
R–1={，，，，，，d>，，}，R=R–1，由上面的定理可知，关系R是对
称的。
．对称性的判定方法
R的关系矩阵为：
．反对称性的判定方法
定理1.12设R是A上的二元关系，则R在A上是反对称的当且仅
当R∩R–1IA。
：
例4.17设集合A={a，b，c，d}，A上的二元关系R={，，，，，}，讨论R的性质，写出R的关系矩阵，画出R的关系图。
解因为R，所以R不是自反的。
由于∈R，即IA∩R，所以R不是反自反的。
因为R–1={，，，，，}，RR–1，所以关系R不是对称的。
R∩R–1={}IA），由上面的定理可知，R是反对称的。
R的关系矩阵为：
4．反对称性的判定方法
R的关系矩阵为
4．反对称性的判定方法
R的关系图如图4.8所示
1.5关系的闭包
1.15定义设R是集合A上的二元关系，如果有另一个关系R’满足：
（1）R’是自反的（对称的、传递的）；
（2）R’R；
（3）对于任何自反的（对称的、传递的）关系R’’，如果有R’’R，就有R’’R’。
则称关系R’为R的自反（对称、传递）闭包。
定理1.15设R是集合A上的二元关系，则r（R）=R∪IA，
定理1.16设R是集合A上的二元关系，则s（R）=R∪R–1
定理1.17设R是集合A上的二元关系，则
t（R）==R∪R2∪R3∪…
定理1.18设A={a1，a2，…，an}，R是集合A上的二元关系，
则存在一个正整数k≤n，使得
t（R）=R∪R2∪R3∪…∪Rk
定理1.19设R是非空集合A上的关系，则
（1）R是自反的，当且仅当r（R）=R；
（2）R是对称的，当且仅当s（R）=R；
（3）R是传递的，当且仅当t（R）=R。
定理1.20设R，S是非空集合A上的关系，且RS，则
（1）r（R）r（S）；
（2）s（R）s（S）；
（3）t（R）t（S）。
定理1.21设R是非空集合A上的关系，则
（1）rs（R）=sr（R）；
（2）rt（R）=tr（R）；
（3）ts（R）st（R）。
1.6等价关系与集合的划分
1.6.1等价关系
定义1.16设R是非空集合A上的二元关系，如果有R是自反的、
对称的和传递的，则称R是集合A上的等价关系
例4.23设集合A={a，b，c，d，}，R={，，a>，，，，，}。
验证R是A
上的等价关系。
证明写出R的关系矩阵
1.6等价关系与集合的划分
1.6.1等价关系
从关系矩阵主对角线元素都是1，可知R是自反的。
关系矩阵是
对称的，故R是对称的。
从R的序偶表达式中，可以看出R是传
递的，逐个检查序偶，如，∈R，有∈R。
，∈R，有∈R，，∈R，有
∈R，…。
故R是A上的等价关系。
1.6等价关系与集合的划分
1.6.2等价类
定义1.17设R是非空集合A上的等价关系，对于任何a∈A，
集合
[a]R={xx∈A且∈R}
称为元素a形成的R等价类。
。
定理1.22设R是非空集合A上的等价关系，对于a，bR，有∈R当且仅当[a]R=[b]R。
定义1.18设R是集合A上的等价关系，等价类集合{[a]Ra∈A}
称作A关于R的商集，记作A/R。
定理1.22设R是非空集合A上的等价关系，对于a，bR，有∈R当且仅当[a]R=[b
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