安徽省巢湖市无为县英博学校学年高一上期中数学试题解析版.docx
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安徽省巢湖市无为县英博学校学年高一上期中数学试题解析版
2015-2016学年安徽省巢湖市无为县英博学校高一（上）期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．若A={a，b，c}，则集合A的子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知集合M={﹣1，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N是（ ）
A．{1}B．{1，4}C．{1，2，4}D．∅
3．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（ ）
A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}
4．已知集合A={﹣1，1}，B={∅，{﹣1}，{1}，{﹣1，1}}，则A与B的关系是（ ）
A．A⊆BB．A∈BC．A与B无关系D．A⊊B
5．集合{x|x≥2}表示成区间是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
6．函数f（x）=
+
的定义域为（ ）
A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．RD．[﹣2，1）∪（1，+∞）
7．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（ ）
A．f：
x
B．f：
x
C．f：
x
D．f：
x
8．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）=x+
B．f（x）=﹣2x+
C．f（x）=﹣x+
D．f（x）=﹣x+
9．某班有学生50人，解甲、乙两道数学题．已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人，则至少解对一题者的人数是（ ）
A．8B．42C．30D．22
10．下列各组函数是相等函数的是（ ）
A．y=
与y=1B．y=
与y=x
C．y=x与y=（
）2D．y=|x|与y=
二、填空题（每题5分，共25分）
11．集合{3，x2﹣2x}中，x应满足的条件是 ．
12．设集合A={x|﹣3＜2x+1＜11}，B={x|x＜a}，A∩B≠∅，则a的取值范围是 ．
13．已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[
，4），则该函数的值域是 ．
14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
，则f（7）的值为 ．
15．已知f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=10，则f
（2）= ．
三、解答题（共6个题，总共75分）
16．（10分）（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={x|x2+ax+12b=0}，集合B={x|x2﹣ax+b=0}，满足（∁UA）∩B={2}，A∩（∁UB）={4}，U=R，求实数a，b的值．
17．（12分）（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={a﹣2，12，2a2+5a}，且﹣3∈A，求a的值．
18．（12分）（2015秋•无为县校级期中）以长为2的铁丝围成上部为矩形，下部为半圆形的框架，如果半圆的直径为2x，求此框架围成图形（如图所示）的面积为y与x的函数关系式y=f（x），并写出它的定义域．
19．（13分）（2015秋•无为县校级期中）已知函数f（x）为二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，试求f（x）的表达式．
20．（14分）（2015秋•无为县校级期中）已知函数y=
，
求
（1）f{f[f（5）]}的值；
（2）当f（a）=3时，求a的值．
21．（14分）（2015秋•无为县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．
（1）当a=2时，求集合A∩B，A∪B；
（2）若A∩（∁UB）=∅，求实数a的取值范围．
22．（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+2=0}．问满足A∪B=A的实数a是否存在？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由！
2015-2016学年安徽省巢湖市无为县英博学校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共50分）
1．若A={a，b，c}，则集合A的子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【考点】子集与真子集．
【专题】集合．
【分析】根据n元集合有2n个子集，得到答案．
【解答】解：
集合A有3个元素，
故集合A有23=8个子集，
故选：
D．
【点评】本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n元集合有2n个子集，是解答的关键．
2．已知集合M={﹣1，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N是（ ）
A．{1}B．{1，4}C．{1，2，4}D．∅
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】将M中的元素代入N中的函数解析式确定出N，求出M与N的交集即可．
【解答】解：
将M中的元素x=﹣1，1，2分别代入y=x2，
得：
y=1，1，4，即N={1，4}，
∴M∩N={1}．
故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（ ）
A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先求出S∪T，接着是求补集的问题．
【解答】解：
∵S∪T={1，3，5，6}，
∴CU（S∪T）={2，4，7，8}．
故选B．
【点评】本题属于数集为平台，求集合的并集补集的基础题，也是高考常会考的题型．
4．已知集合A={﹣1，1}，B={∅，{﹣1}，{1}，{﹣1，1}}，则A与B的关系是（ ）
A．A⊆BB．A∈BC．A与B无关系D．A⊊B
【考点】集合的表示法．
【专题】集合．
【分析】由已知可得集合B的每个元素均为一个集合，进而可得A，B的关系．
【解答】解：
∵集合A={﹣1，1}，B={∅，{﹣1}，{1}，{﹣1，1}}，
∴A∈B，
故选：
B．
【点评】本题考查的知识点是集合的表示法，元素与集合的关系，难度不大，属于基础题．
5．集合{x|x≥2}表示成区间是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
【考点】区间与无穷的概念．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据区间的定义，可得答案．
【解答】解：
集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），
故选：
B．
【点评】本题考查的知识点是区间与无穷的概念，难度不大，属于基础题．
6．函数f（x）=
+
的定义域为（ ）
A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．RD．[﹣2，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】使解析式有意义列一不等式组，解出即可．
【解答】解：
欲使函数有意义，须有
，解得x≥﹣2，且x≠1，
所以函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞）．
故选D．
【点评】本题考查函数定义域及其求法，一般说来，解析法给出的函数求定义域，只要保证解析式意义就行．
7．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（ ）
A．f：
x
B．f：
x
C．f：
x
D．f：
x
【考点】映射．
【专题】阅读型．
【分析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．
【解答】解：
A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．
B、C、D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，
故B、C、D满足映射的定义，
故选A．
【点评】本题考查映射的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
8．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）=x+
B．f（x）=﹣2x+
C．f（x）=﹣x+
D．f（x）=﹣x+
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，用﹣x代替x，得出f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1，再利用方程组求出f（x）的解析式即可．
【解答】解：
∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，
用﹣x代替x，得：
f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1…②；
①﹣3×②得：
﹣8f（x）=8x﹣2，
∴f（x）=﹣x+
，
故选：
C．
【点评】本题考查了用换元法以及方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．
9．某班有学生50人，解甲、乙两道数学题．已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人，则至少解对一题者的人数是（ ）
A．8B．42C．30D．22
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】集合．
【分析】画出满足条件的韦恩图，分析满足条件人各个区域的人数，相加可得答案．
【解答】解：
如下图所示：
至少解对一题的人数为：
34﹣20+20+28﹣20=42人，
故选：
B．
【点评】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，难度不大，属于基础题．
10．下列各组函数是相等函数的是（ ）
A．y=
与y=1B．y=
与y=x
C．y=x与y=（
）2D．y=|x|与y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的定义域以及对应法则是否相同，判断即可．
【解答】解：
y=
与y=1函数的定义域不相同，不是相同函数．
y=
与y=x，函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数．
y=x与y=
，函数的定义域不相同，不是相同函数．
y=|x|与y=
函数的定义域不相同，不是相同函数．
故选：
B．
【点评】本题考查函数的判断与应用，是基础题．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．集合{3，x2﹣2x}中，x应满足的条件是 x≠3且x≠﹣1 ．
【考点】集合的确定性、互异性、无序性．
【专题】集合．
【分析】根据集合元素互异性可得x2﹣2x≠3，解得答案．
【解答】解：
集合{3，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，
解得：
x≠3且x≠﹣1，
故答案为：
x≠3且x≠﹣1．
【点评】本题考查的知识点是集合元素的互异性，难度不大，属于基础题．
12．设集合A={x|﹣3＜2x+1＜11}，B={x|x＜a}，A∩B≠∅，则a的取值范围是 a＞﹣2 ．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据B以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．
【解答】解：
由A中不等式解得：
﹣2＜x＜5，即A={x|﹣2＜x＜5}，
∵B={x|x＜a}，A∩B≠∅，
∴a＞﹣2，
故答案为：
a＞﹣2
【点评】此题考查了交集的及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
13．已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[
，4），则该函数的值域是 （﹣5，4] ．
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】配方得f（x）=﹣（x﹣1）2+4≤4，可以看出
，f（4）=﹣5，从而便可得到﹣5＜f（x）≤4，这便得出了该函数的值域．
【解答】解：
f（x）=﹣（x﹣1）2+4；
∴f
（1）=4是f（x）的最大值，f（4）
，f（4）=﹣5；
∴﹣5＜f（x）≤4；
∴该函数的值域为（﹣5，4]．
故答案为：
（﹣5，4]．
【点评】考查函数值域的概念，配方求二次函数值域的方法，要熟悉二次函数的图象．
14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
，则f（7）的值为 6 ．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知中f（x）=
，将x=7代入可得答案．
【解答】解：
∴f（x）=
，
∴f（7）=f（f（11））=f（8）=f（f（12））=f（9）=6，
故答案为：
6．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档．
15．已知f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=10，则f
（2）= ﹣26 ．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，转化为f（x）+8=ax5+bx3+cx，则F（x）=f（x）+8为奇函数，利用奇函数的性质求f
（2）即可．
【解答】解：
由f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，得f（x）+8=ax5+bx3+cx，
设F（x）=f（x）+8，
则F（x）为奇函数，
∴F（﹣2）=﹣F
（2），
即f（﹣2）+8=﹣f
（2）﹣8，
∴f
（2）=﹣f（﹣2）﹣16=﹣10﹣16=﹣26，
故答案为：
﹣26．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用和求解，利用函数特点构造奇函数是解决本题的关键，本题也可以直接建立方程组进行求解．
三、解答题（共6个题，总共75分）
16．（10分）（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={x|x2+ax+12b=0}，集合B={x|x2﹣ax+b=0}，满足（∁UA）∩B={2}，A∩（∁UB）={4}，U=R，求实数a，b的值．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】利用（CUA）∩B={2}，A∩（CUB）={4}，判断2，4与集合A、B的关系，得到方程组求出a，b即可．
【解答】解：
因为（CUA）∩B={2}，A∩（CUB）={4}，
所以2∈B，4∈A，
∴
，解得
．
【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，元素与集合的故选，考查计算能力．
17．（12分）（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={a﹣2，12，2a2+5a}，且﹣3∈A，求a的值．
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合．
【分析】由∵﹣3∈A得：
a﹣2=﹣3，或2a2+5a=﹣3，解出a值，利用集合元素的互异性检验，可得答案．
【解答】解：
∵﹣3∈A，
∴a﹣2=﹣3，或2a2+5a=﹣3，
得：
a=﹣1，或a=﹣
，
检验知：
a=﹣1不满足集合元素的互异性，
∴a=﹣
．
【点评】本题考查的知识点是元素与集合的关系，集合元素的互异性，难度不大，属于基础题．
18．（12分）（2015秋•无为县校级期中）以长为2的铁丝围成上部为矩形，下部为半圆形的框架，如果半圆的直径为2x，求此框架围成图形（如图所示）的面积为y与x的函数关系式y=f（x），并写出它的定义域．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出矩形的宽，然后表示面积为y与x的函数关系式y=f（x），求出函数的定义域即可．
【解答】解：
由题意知
矩形的宽为：
，
∴y=
=
∵
，
∴
．
即定义域为：
．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，实际问题的应用，考查计算能力．
19．（13分）（2015秋•无为县校级期中）已知函数f（x）为二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，试求f（x）的表达式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用待定系数法进行求解即可．
【解答】解：
设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），
∵f（0）=0，
∴c=0，
即f（x）=ax2+bx，
∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1，
即ax2+2ax+a+bx+b=ax2+bx+x+1，
则2ax+a+b=x+1，
即2a=1且a+b=1，
即a=
，且b=
，
则f（x）=
x2+
x．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据一元二次函数的性质，利用待定系数法是解决本题的关键．
20．（14分）（2015秋•无为县校级期中）已知函数y=
，
求
（1）f{f[f（5）]}的值；
（2）当f（a）=3时，求a的值．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】
（1）由已知中函数f（x）=
，将x=5代入可得f{f[f（5）]}的值；
（2）由已知中函数f（x）=
，分类讨论f（a）=3的值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：
（1）∵函数f（x）=
，
∴f{f[f（5）]}=f[f（﹣3）]=f
（1）=﹣1；
（2）当a≤0时，解f（a）=a+4=3得：
a=﹣1；
当0＜a≤4时，解f（a）=a2﹣2a=3得：
a=3，或a=﹣1（舍去）；
当a＞4时时，解f（a）=﹣a+2=3得：
a=﹣1（舍去）；
综上所述：
a的值为﹣1或3
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．
21．（14分）（2015秋•无为县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．
（1）当a=2时，求集合A∩B，A∪B；
（2）若A∩（∁UB）=∅，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】
（1）当a=2时，求出集合A，利用集合的基本运算求A∩B，A∪B．
（2）求出∁UB，然后根据集合关系A∩（∁UB）=∅，确定a的取值范围．
【解答】解：
由2x+a＞0得x＞﹣
，即A={x|x＞﹣
．
由x2﹣2x﹣3＞0得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，
即B={x|x＜﹣1或x＞3}．
（1）当a=2时，A={x|x＞﹣1}．
∴A∩B={x|x＞3}．
A∪B={x|x≠﹣1}．
（2）∵B={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴∁UB={x|﹣1≤x≤3}．
又∵A∩（∁UB）=∅，
∴﹣
≥3，
解得a≤﹣6．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系确定参数问题，比较基础．
22．（2015秋•无为县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+2=0}．问满足A∪B=A的实数a是否存在？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由！
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】若A∪B=A，则B⊆A，结合A={1，2}，故B=∅，或B={1}，或B={2}，或B={1，2}，分类讨论，可得满足条件的答案．
【解答】解：
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
又∵A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，
故B=∅，或B={1}，或B={2}，或B={1，2}，
当B=∅时，△=a2﹣8＜0，解得：
a∈（
，2
）；
当B={1}时，x1x2=1≠2，不成立
当B={2}时，x1x2=4≠2，不成立
当B={1，2}，x1x2=2，x1+x2=3=a，
综上所述：
a∈（
，2
）∪{3}；
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，分类讨论思想，解答时要注意B可能为空集．
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