辽宁省本溪高级中学届高三数学二模考试试题理.docx

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辽宁省本溪高级中学届高三数学二模考试试题理

辽宁省本溪高级中学2020届高三数学二模考试试题理

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1.已知集合_一___「则■■'；为（）

A.|[O3）B.（13）C.（OJ]D.0

2.1_门「总■"-'-.工甲上U广【

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

11

3•已知a（^）3,blog23,clog47,则a,b,c的大小关系为（）

A.tt

12

4.若sin（）,则cos

（2）的值为（）

633

7

7）

1

1

A.

9

B.

9C.

3D.

3

5.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺,

问折者高几何？

意思是：

有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.

A.4.55B.5.45C.4.2D.5.8

6.奇函数一满足当心血⑪时,

A.2B

~7

D.-2

7•各项都是正数的等比数列｛〔备〕中,

1野+血

吟J丹心,成等差数列，则監+心的值为（）

A.

B

E+i

C.

审*:

生:

的极值点，则

8.在同一直角坐标系中，函数fX

①“若：

为

的逆命题为真命题;

②“平面向量

i;的夹角是钝角”的充分不必要条件是

③若命题

茸一丄，则戈一1；

④命题“-

三二使得：

一一］；「”的否定是:

其中不正确的个数是（）

A.0B

io.已知函数y

f（X1）是定义域为

R的偶函数，且

f（x）在1上单调递减，

则不等

A.

式f（2x1）

f（x2）的解集为

3,i

1,3

3,3

3,3

ii.如图，在△；'中，点

D-

是线段

上两个动点,

D

uuuuiruULTU且ADAExAB

uuruyAC，则

-的最小值为（

A.

C

D

12.已知偶函数

则f（x）

A.{x|x

C.{x|x

f（x），当x

3A的解集为

x

2或x2}

1或x1}

0时满足2

:

）

B.{x|1

D.{x|1

x1}

x1}

、填空题（本大题共

4小题，每题5分，共20分）

13.将函数一…：

---的图象向左平移

吩;；◎加栽•个单位长度后，所得

到的图象关于原点对称，则：

：

的最小值是

14.图中所示的矩形OAB（区域内任取一点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为

15.设点P为函数f（x）^（X3丄）图象上任一点，且在点P处的切线的倾斜角为

2x

CC（X

，贝U的取值范围为.

n“'

曲=孑，-,

16.函数I血（“1），则方程/W=恰有两个不同的实根时，实数*范围是

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（12分）在△ABC中，设内角A,B,C的对边为a,b,c，向量m,

J3

n（cosA,sinA），mn

（1）判定AABC的形状；

（2）若b2，a2c，求AABC的内切圆与外接圆的面积比.

18.（10分）已知函数f（x）xxlnx,证明：

函数f（x）存在零点

19.（12分）已知数列｛"吃打与｛3痘,若一•且对任意正整数n满足餐叩「‘咚；：

彩,数

列｛1：

呀7.的前n项和'氐-

（1）求数列汴帚的通项公式；

1

⑵求数列｛1｝的前n项和Tn.

20.（12分）平面直角坐标系中，直线的参数方程为％，（为参数）.以原点为

y』3t1

极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：

2cas6

P1—cos-&

（1）写出直线的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）已知与直线平行的直线「过点卜赫負，洞，且与曲线C交于两点，试求知.

21.（12分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：

分）记录如下.

理科：

79,81,81,79,94,92,85,89

文科：

94,80,90,81,73,84,90,80

画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；

WH

丈科

7

*

正确云

（2）计算理科、文科两组同学数学成绩的期望和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；

⑶若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率.

ao

22.（12分）已知函数f（x）Inxx2（a1）x.

2

（1）若函数f（x）在区间（2,+s）内单调递增，求a的取值范围；

（2）设x1,x2（0x-ix2）是函数g（x）f（x）x的两个极值点，证明:

a

参考答案

、选择题

1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.D

7.C

8.A

9.D

10.D

11.A

12.B

13.

15.

二、填空题

n

14..14

6

三、解答题

17.【答案】

（1）直角三角形；

（2）32.2.

2,内切圆的半径r

•••面积比为

2r

R2

（2

2）2

2

3

2.2.

18.

18.解：

由题意可得,

函数定义域为f

0,+）

1

f

（x）

1

lnx

1

lnx

2

令f'（x）

0,

即

lnx

2

0,x

1

2e

f（

x）在f

1

'2，+）单调递增

e

令f'（x）

0,

即

lnx

2

0,x

1

2e

f（

x）在f

0,[）单调递减

e

f（x）min

f12）:

e

_1

2e

70

又Qf（e）=2e0

1

存在xof—7,e）,使得（fxo）=0

e

f（x）存在零点

19.解:

（1）由题意知数列｛an｝是公差为2的等差数列，

又因为ai=3,所以an=3+2（n-1）=2n+1.

数列｛bn｝的前n项和Sn=n+an=n+2n+1=（n+1）,

当n=1时,b1=Si=4;

22

当n>2时,bn=Sn-Sn-1=（n+2n+1）-[（n-1）+2（n-1）+1]=2n+1.

上式对b1=4不成立.

f+.n=

所以数列｛bn｝的通项公式为bn=

pnrr

（2）n=1时,T1="»2=2O,

1111

n>2时，垢虬十疵加++3）=1（2扛+1-2乳+3）,

'2'

1

11

1

n-16n-1

所以Tn=2（>+丄（-+-+

…+如+加+3）=

20

“叶+15^0（2n+3）

n=1仍然适合上式.

6n-1

综上，「=』—：

•：

.

20.【答案】

（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为

【解析】试題分析:

（1）先利用加城消元法将直线I的参数方程化为宜角坐标方程+再利用K=PCO50.v=引nB得直线啲极坐标方程.最后根据置=PCOS6V=创根将曲线匚的极坐标方程化为直角坐标

方程・

（2）先根据点斜式写岀直线r方程.与拋物线方程联立•利用韦达定理以及弦长公式求IABI.

试题解析：

（1）将乂■pcosO，”■winfl代入直线方程得7^pcos0-psinO-+I-o|,

2c

s9/*

由P~可得p（1-cos^f）}■2pccsU，

1-cos*0

曲线的直角坐标方程为I，*--；.|.

31'1-4f-16-0，设点AJ:

对应的参数分别为i；.L；・

21.【答案】

（1）见解析

（2）理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好.（3）W

【鮮析】分析；（D根据髄慧，画出理科，文科两组同学成缰的茎叶團即可」

⑵计尊理科、文科同学成绩的平均数与万気比卡濡出结论：

⑸得出成績不低于加分的同学有理科2个』文科3个，用列举法求出基本事件数』求出对应的概率.

详解：

⑴理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下:

（2）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好•理由如下：

理科同学成绩的平均数=X（79+79+81+81+85+89+92+94）=85,

11

2|彳

方差是=X[（79-85）2+（79-85）2+（81-85）2+（81-85）2+（85-85）2+（89-85）

222

+（92-85）+（94-85）]=31.25;文科同学成绩的平均数勺羊X（73+80+80+81+84+90+90+94）=84.

方差是=X[（73-84）2+（80-84）2+（80-84）2+（81-84）2+（84-84）2+（90-84）

2+（90-84）2+（94-84）2]=41.75;由于肾一严吋，•,所以理科组同学在此次模拟测

试中发挥比较好.

（3）设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A,B,文科组同学中成绩不低于90分的3

人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：

ABa,ABb,ABc,Aab，Aac，

Abc，Bab,Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有abc一种，没有全是理科组同学

的情况，

丄孚

记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M贝UP（M）=1—吃=-.

点睛：

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件

数：

1.基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件列出时，要做到不重复、不遗漏，

可借助“树状图”列举；2.注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

22.

1

f（x）ax（a1）1分

x

若满足题意，只要f（x）

ax（a

1）>0在（2,）恒成立即可,

即a（x1）>

x1t亠

恒成立，又X

（2,

（n）证明:

g（x）

f（x）xIn

2ax，则g（x）的定义域为（0,

1g（x）

x

ax

ax2ax1

g（x）有两个极值点X1,X20

X1

X2,

则方程ax2

ax

0的判别式

a24a

0,且为x21,x1x2

得a4,又0x1

X2,

2

X1

x1x2

X1

所以g（X1）g（X2）

lnx-i

a

X1

2

2

ax1

|nx討

ax2Inx1

In（ax-i）

a

ax1,

设h（t）Intln（at）

at,其中t

X1

（0,-），

va

由h（t）-

t

a0得t29分

a

212a221

又0,所以h（t）在区间（0,-）内单调递增，在区间（-,'）内单调递减,

a.aaaa、、a

即h（t）的最大值为h（-）2ln2Ina-2-lna,

a22

a

从而gx-igx2Ina恒成立12分

2

1

•△ABC外圆的半径R-a

2