第18课时 全等三角形.docx
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第18课时全等三角形
第四单元三角形
第18课时全等三角形
类型1全等三角形判定
（铜仁2考，黔东南州2考，黔西南州2考，安顺2015.4）
1.（2015六盘水9题3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A.∠A=∠DB.AB=DC
C.∠ACB=∠DBCD.AC=BD
第1题图第2题图
2.（2014安顺4题3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A.SASB.SSSC.ASAD．AAS
第3题图
3.（2017黔东南州12题4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件___________使得△ABC≌△DEF.
4.（2017铜仁22题10分）如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接AE、CF.请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明.
第4题图
5.（2014铜仁21题10分）如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：
AB=AC.
（1）你添加的条件是_________________；
（2）请写出证明过程.
第5题图
类型2与全等三角形性质有关的证明与计算
（遵义必考，铜仁3考，黔东南州2016.10，毕节2考，安顺2016.22）
第6题图6.（2016黔东南州10题4分）如图，在等腰直角△ACB中，∠C=90°,点O是AB的中点，且AB=6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE等于（）
A.2B.3C.2D.6
【备考策略】
1.全等三角形模型
（1）平移型
（2）翻折（轴对称）型
（3）旋转型
（4）一线三等角型（△ABC≌△CED）
2.证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等.当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，它的步骤是：
先证全等，再得到对应的线段相等.
3.探究两条线段的位置关系时，一般也是利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线判定和直角的定义来判断线段的位置关系.
4.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.
7.（2016铜仁20题10分）如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E，F分别在AC,BC上.
求证：
DE=DF.
第7题图
8.（2014遵义24题10分）如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
（1）求证：
BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长.
第8题图
9.（2016贵阳24题12分）
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10,AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE=AD,再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD）.把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是______________;
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：
BE+CF＞EF;
（3）问题拓展：
如图③,在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.
第9题图
答案
1.D【解析】∵∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴当∠A=∠D时，△ABC≌△DCB（AAS）;当AB=DC时，△ABC≌△DCB（SAS）;当∠ACB=∠DBC时，△ABC≌△DCB（ASA）;当AC=BD时，判断△ABC与△DCB条件不充分，不能够判断两三角形全等.
2.B【解析】作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′A′.所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角.
∵在△OCD与△O′C′D′中，
，∴△OCD≌△O′
C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS.
3.∠B=∠E或∠A=∠D或AB∥DE或AC=DF【解析】∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，已知一组角及角的一边对应相等，则任意一组角对应相等或角的另一条边对应相等均可证明△ABC≌△DEF，∴填“∠B=∠E”，“∠A=∠D”，“AB∥DE”，“AC=DF”任意一组即可.
4.证明：
添加BE=DF（或DE=BF），证明如下：
（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，（4分）
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.（4分）
【一题多解】添加∠E=∠F（或AE∥CF），证明如下：
（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，（4分）
∵∠E=∠F，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.（4分）
方法三：
添加∠EAB=∠FCD（或∠EAD=∠FCB）（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，（4分）
∵∠EAB=∠FCD，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.（4分）
5.
（1）解：
∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等；（4分）
（2）证明：
若添加的条件为∠B=∠C,在△ABD和△ACD中,
（6分）
∴△ABD≌△ACD（AAS）,（8分）
∴AB=AC；（10分）
【一题多解】若添加的条件为∠ADB=∠ADC,
在△ABD和△ACD中，
（6分）
∴△ABD≌△ACD（ASA），（8分）,
∴AB=AC.（10分）
6.B【解析】如解图，连接OC，∵AB=6,∴AC=BC=3,∵∠COD+∠COE=90°,∠EOB+∠EOC=90°,∴∠EOB=∠COD,∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB中点，∴OB=OC,∠B=∠OCD=45°，∴△BOE≌△COD（ASA），得EB=CD，进而得CD+CE=EB+CE=BC=
.
第6题解图
7.证明：
如解图，连接CD，（1分）
∵△ABC是直角三角形,AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是AB的中点，
第7题解图
∴CD=BD,（3分）
∴∠ECD=∠BCD=45°，∠CDB=90°，
∴∠ECD=∠B，（5分）
∴∠CDB=∠BDF+∠CDF=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BDF,（7分）
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA），（9分）
∴DE=DF.（10分）
8.
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠FDO=∠EBO,（2分）
在△DOF和△BOE中,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,（4分）
∴DO=BO；（5分）
（2）解:
∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵∠A=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,（6分）
∵EF⊥AB,
∴∠G=∠A=45°,
∴△DOG是等腰直角三角形,（7分）
∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴DF⊥OG,
∵∠G=45°,
∴△DGF是等腰直角三角形,（8分）
∴DF=GF=OF=1,
∴OD=
=
由
（1）得△DOF≌△BOE,
∴BO=DO=
（9分）
∴AD=BD=2BO=2
.（10分）
9.解：
2【解法提示】如解图①中，∵AB=10,AC=6,AD是BC边上的中线，由旋转性质知BE＝AC＝6，AD＝DE.∴在△ABE中，10-6第9题解图①第9题解图②
（2）证明：
延长FD至M,使FD=MD,连接ME,MB.如解图②所示：
∵ED⊥FM,FD=DM,
∴ME=EF.
∵CD=BD,∠CDF=∠BDM,
∴△CDF≌△BDM（SAS）,
∴CF=BM.
∵BM+BE>ME,
∴BE+CF>EF;（8分）
（3）BE+DF=EF.证明：
延长EB至点N,使BN=DF,
第9题解图③
连接CN，如解图③所示：
∵∠EBC+∠D=180°,∠EBC+∠CBN=180°，
∴∠D=∠CBN，
∴在△CDF和△CBN中，
DF=BN,∠D=∠CBN,DC=BC,
∴△CDF≌△BCN（SAS），
∴CF=CN.
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠DCF+∠BCE=70°,∴∠BCN+∠BCE=70°,即∠NCE=70°.
∴在△ECF和△ECN中，
CF=CN,∠ECF=∠ECN,CE=CE,
∴△ECF≌△ECN（SAS），
∴EF=EN.
∵EB+BN=EN,
∴BE+DF=EF.（12分）
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