文科圆锥曲线专题练习及问题详解.docx
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文科圆锥曲线专题练习及问题详解
实用标准文案
文科圆锥曲线
1.设F1F2是椭圆
22
xy
E:
1（ab0）
22
ab
的左、右焦点，P为直线
3a
x上一点，
2
F2PF是底角为30的等腰三
1
角形，则E的离心率为（）
（A）
1
2
（B）
2
3
（C）（D）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△
FPF是底角为
21
0
30的等腰三角形，
∴
0
PF2A60，|PF2||F1F2|2c，∴|AF2|=c，
∴
3
2ca，∴e=
2
3
4
，
2
2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y16x
的准线交于A,B两点，AB43；则C的
实轴长为（）
（A）2（B）22（C）（D）
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为：
x4，设等轴双曲线方程为：
x2y2a2，将x4代入等轴双曲线方程解
得y=
2
16a，∵|AB|=43，∴
2
216a=43，解得a=2，
∴C的实轴长为4，故选C.
3.已知双曲线C1：
22
xy
221（a0,b0）
ab
的离心率为2.若抛物线
2
C2:
x2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距
离为2，则抛物线
C的方程为
2
（A）
283
xy（B）
3
2163
xy（C）
3
2
x8y（D）
2
x16y
考点：
圆锥曲线的性质
解析：
由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知b3a，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）
到直线y3x的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为
（A）
22
xy
1612
1
（B）
22
xy
128
1
（C）
22
xy
84
1
（D）
22
xy
124
1
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求
解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为2c4c2，由一条准线方程为x4可得该椭圆的焦点在x轴上县
2
a
c
2
4a4c8
，所
以
222844
bac。
故选答案C
5.已知F1、F2为双曲线
22
C:
xy2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2
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实用标准文案
（A）
1
4
（B）
3
5
（C）
3
4
（D）
4
5
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先运用定义得到两个焦
半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：
由题意可知，a2b,c2，设
|PF|2x,|PF|x，则|PF1||PF2|x2a22，故
12
|PF|42,|PF|22，
12
FF，利用余弦定理可得
124
cos
FPF
12
222222
PFPFFF（42）（22）43
1212
2PFPF222424
12
。
6.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。
若M，O，N将椭圆长轴四等分，
则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3B.2C.3D.2
【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.
【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a22a，即a2a，
又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e
c
a
，
e
c
a
ea
，2
ea
.
7.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点
M（2,y）。
若点M到该抛物线焦点的距离为3，
0
则|OM|（）
A、22B、23C、4D、25
p
[解析]设抛物线方程为y2=2px（p>0）,则焦点坐标为（,0
2=2px（p>0）,则焦点坐标为（,0
2
M
在抛物线上，
），准线方程为x=
p
2
M到焦点的距离等于到准
线的距离，即
（2-
p
2
2
）
2
0
y
（2
p
2
2
）
3
解得：
p1,
y2
0
2
点M（2,22），根据两点距离公式
有：
|OM|
2
2
（
2
2）
2
2
3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义:
|MF|=d,（M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离）.
8.对于常数m、n，“mn0”是“方程
221
mxny的曲线是椭圆”的（）
A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件
【答案】B.
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实用标准文案
m0,
2ny2
【解析】方程mx1的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为
n0,所以，由mn0得不到程
mn,
2ny2
mx1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn0，【点评】本题主要
考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数m,n的取值情况.
属于中档题.
9.椭圆
22
xy
221（0）
ab
ab
的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。
若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，
则此椭圆的离心率为A.
1
4
B.
5
5
C.
1
2
D.5-2
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：
AFac，
1
F1F22c，
FBac.又已知
1
AF，
1
FF，
12
FB成等比数列，故
1
2
（ac）（ac）（2c），即
2242
acc，则
252
ac.故
e
c
a
5
5
.即椭圆的离心率为
5
5
.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关a,c的方程，然后化为有关a,c的齐次式方程，进而转化为
只含有离心率e的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴
长及其标准方程的求解等.
10.已知双曲线C：
2
x
2
a
-
2
y
2
b
=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为
A．
2
x
20
-
2
y
5
=1B.
2
x
5
-
2
y
20
=1C.
2
x
80
-
2
y
20
=1D.
2
x
20
-
2
y
80
=1[
【解析】设双曲线C：
2
x
2
a
-
2
y
2
b
=1的半焦距为c，则2c10,c5.
又C的渐近线为
b
yx
a
b
，点P（2,1）在C的渐近线上，12
a
，即a2b.
又
222
cab，a25,b5，C的方程为
2
x
20
-
2
y
5
=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年
来常考题型.
11.已知双曲线
2
x
2
a
-
2
y
5
=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A
314
14
B
32
4
C
3
2
D
4
3
分析：
本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率
c
e即可。
a
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实用标准文案
2
解答：
根据焦点坐标（3,0）知c3，由双曲线的简单几何性质知a59，所以a2，因此
二、填空题
3
e.故选C.
2
12.椭圆
22
xy
21（
a
a5
为定值，且a5）的的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的
最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】
2
3
，
2c2
[解析]根据椭圆定义知：
4a=12,得a=3,又a5
c2,e
c
a
2
3
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
13.）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
22
xy
21
mm4
的离心率为5，则m的值为▲．【答案】2。
【解析】由
22
xy
21得
mm4
22
a=m，b=m4，c=mm4。
∴
24
cmm
e===5
am
，即
244=0
mm，解得m=2。
14右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），
设l与抛物线的交点为A、B，根据题意，知A（-2，-2），B（2，-2）．
设抛物线的解析式为
2
yax，则有
2
2a2，∴
1
a．
2
∴抛物线的解析式为
1
y水位下降1米，则y-3，此时有x6或x6．
x
2
2
∴此时水面宽为26米．
15.设P为直线
b
yx
3a
与双曲线
22
xy
221（0,0）
ab
ab
左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线
的离心率e
2222
xyxy
16.已知双曲线:
1（0,0）
C1ab与双曲线C:
1有相同的渐近线，且C1的右焦点为
222
ab416
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实用标准文案
F（5,0）,则ab
2y
2
x
【解析】双曲线的1
416
22
xybb
渐近线为y2x，而1的渐近线为yx，所以有2
22
abaa
，b2a，
22
xy
又双曲线1
22
ab
的右焦点为（5,0），所以c5，又
2a2b2
c，即
24252
5aaa，所以
2ab
a1,1,2。
三、解答题
17.已知椭圆错误！
未找到引用源。
（a>b>0）,点P（错误！
未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。
【解析】（Ⅰ）点
52
P（a,a）在椭圆上
52
11
22
aabb
22
536
5211
2
ee2222
aba8a84
（Ⅱ）设Q（acos,bsin）（02）；则A（a,0）
22222AQAOa（1cos）bsina
2
3cos16cos50cos
1
3
直线OQ的斜率
k
OQ
b
a
sin
cos
5
18..在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
22
xy
221
（ab0）的左焦点为
ab
F1（1,0），且点P（0,1）在C1上.
（1）求椭圆
C的方程；
1
（2）设直线l同时与椭圆
C和抛物线C2：
1
24
yx相切，求直线l的方程.
【答案】
【解析】
（1）因为椭圆
C的左焦点为
1
F1（1,0），所以c1，
点P（0,1）代入椭圆
22
xy1
221
，得2
abb
1，即b1，
所以
2222
abc，
所以椭圆C1的方程为
2
x
2
21
y.
（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，
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实用标准文案
2
x
2
y
21
，消去y并整理得
222
（12k）x4kmx2m20，
ykxm
因为直线l与椭圆
C相切，所以
1
2222
16km4（12k）（2m2）0，
整理得
22
2km10①
24
yx
，消去y并整理得
ykxm
22（24）20
kxkmxm。
因为直线l与抛物线
C相切，所以
2
222
（2km4）4km0，
整理得km1②
k
2
2
或
k
2
2
综合①②，解得。
m2m2
所以直线l的方程为
2
yx2或
2
2
yx2。
2
14.【2102高考北京文19】（本小题共14分）
已知椭圆C：
2
x
2
a
+
2
y
2
b
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为
2
2
，直线y=k（x-1）与椭圆C交与不同的
两点M,N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为10
3
时，求k的值
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对
曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
a2
解：
（1）由题意得
c2
a2
222
abc
解得b2.所以椭圆C的方程为
22
xy
42
1
.
yk（x1）
（2）由22
xy得
1
42
2222
（12k）x4kx2k40.
设点M,N的坐标分别为
（x,y），（x2,y2），则y1k（x11），y2k（x21），
11
2
4k
xx
122
12k
，
2
2k4
xx
122
12k
.
所以|MN|=
22
（xx）（yy）=
2121
22
（1k）[（xx）4xx]=
1212
22
2（1k）（46k）
2
12k
.
由因为点A（2,0）到直线yk（x1）的距离
d
|k|
12k
2
，
所以△AMN的面积为
2
1|k|46k
S|MN|d
2
212k
.由
2
|k|46k10
2
12k3
，解得k1.
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实用标准文案
15.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为
（Ⅰ）求椭圆E的方程
1
2
2+y2-4x+2=0的圆心.[
的椭圆E的一个焦点为圆C：
x
【答案】
【解析】（Ⅰ）由
22420
xyx，得
22
（x2）y2.故圆Ｃ的圆心为点
（2,0）,从而可设椭圆Ｅ的方程为
22
xy
221（ab0）,
ab
其焦距为2c，由题设知
c1
222
c2,e,a2c4,bac12.
a2
故椭圆Ｅ的方程为：
22
xy
1612
17.
21.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
已知椭圆
2
x
2
C:
y1CCC
4
（1）求椭圆
C的方程；
2
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆
C和C2上，OB2OA，求直线AB的方程。
1
【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆
C的方程为
2
22
yx
21a2
a4
，
其离心率为
3
2
，故
243
a
a2
，则a4．
故椭圆
2x
2
y．
C的方程为1
2
164
（Ⅱ）解法一：
A，B两点的坐标分别为
x，y，x，y，
AABB
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