一元二次方程重点题型.docx

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一元二次方程重点题型

一元二次方程重点题型（全）（总12页）

一元二次方程重点题型

一．选择题（共7小题）

定义

1．（2016?

凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（　　）个

①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

A．1B．2C．3D．4

一般形式

2．（2016春?

荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x

﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）

A．﹣1B．1C．3D．3或﹣1

3．（2016春?

宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．6；2；9B．2；﹣6；﹣9C．2；﹣6；9D．﹣2；6；9

一元二次方程的解

4．（2016?

山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）

A．0B．1C．﹣1D．2

5．（2016?

诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

6．（2016?

济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　）

A．﹣2B．

C．﹣4D．2

7．（2015?

诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（　　）

A．﹣1，3B．1，﹣3C．

，

D．

，

二．填空题（共12小题）

8．（2016春?

长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为　　　　　　．

9．（2016?

罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米，则可列方程为　　　　．

（9题）

（10题）

10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为　　　．

11．（2016?

丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是　　　　　　．

11．（2016?

松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是　　　　　　．

12．（2016?

萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元

15．（2015?

东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：

每件商品降价　　　　　　元时，商场日盈利可达到2100元．

13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有　　　　　　名．

16．（2015?

东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　　　　　　．

17．（2015春?

乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为　　　　　　cm．

18．（2015秋?

洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：

若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有　　　　　　人．

19．（2015秋?

临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为　　　　　　m与　　　　　　m．

　三．解答题（共11小题）

20．（2015春?

沂源县期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x=2x+1（配方）

（2）2x2﹣2

x﹣5=0（公式）①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）

②（x﹣4）2=9（直接开）③2x2﹣4x﹣1=0（公式）④x2+8x﹣9=0（配方）

22．（2015春?

阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x=7

（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）

23．（2016?

唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．

24．（2016?

洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

25．（2016?

信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．

（1）求证：

不论k取何实数，该方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

26．（2016?

西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．

（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．

27．（2016?

平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：

无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

28．（2016?

宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0

（1）求证：

不论m为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

29．（2015秋?

余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．

30．（2016?

洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的

，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：

≈）．

2016年06月03日59的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2016?

凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（　　）个

①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：

①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；

②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；

③

+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；

④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；

⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；

⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．

一元二次方程共有2个．

故选：

B．

2．（2016春?

荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x

﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）

A．﹣1B．1C．3D．3或﹣1

【解答】解：

由题意得：

m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0，

解得m=±1．

故选：

B．

3．（2016春?

宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．6；2；9B．2；﹣6；﹣9C．2；﹣6；9D．﹣2；6；9

【解答】解：

∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，

∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．

故选B．

4．（2016?

山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）

A．0B．1C．﹣1D．2

【解答】解：

依题意，得c=﹣a﹣b，

原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，

即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，

∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，

∴x=1为原方程的一个根，

故选B．

5．（2016?

诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

【解答】解：

根据题意得：

a2﹣1=0且a﹣1≠0，

解得：

a=﹣1．

故选B．

6．（2016?

济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　）

A．﹣2B．

C．﹣4D．2

【解答】解：

将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：

a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，

∵4a﹣2b+c=0，

∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．

故选A．

7．（2015?

诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（　　）

A．﹣1，3B．1，﹣3C．

，

D．

，

【解答】解：

x﹣1=±

∴x=1±

．

故选C．

二．填空题（共12小题）

8．（2016春?

长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为　（x﹣3）2=2　．

【解答】解：

移项，得

x2﹣6x=﹣7，

在方程两边加上一次项系数一半的平方得，

x2﹣6x+9=﹣7+9，

（x﹣3）2=2．

故答案为：

（x﹣3）2=2．

9．（2016?

罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米，则可列方程为　（100﹣x）（80﹣x）=7644　．

【解答】解：

设道路的宽应为x米，由题意有

（100﹣x）（80﹣x）=7644，

故答案为：

（100﹣x）（80﹣x）=7644．

10．（2016?

丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是　16（1﹣x）2=14　．

【解答】解：

设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，

整理得：

16（1﹣x）2=14．

故答案为：

16（1﹣x）2=14．

11．（2016?

松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是　289（1﹣x）2=256　．

【解答】解：

根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，

即方程为289（1﹣x）2=256．

故答案为：

289（1﹣x）2=256．

12．（2016?

萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元

【解答】解：

设每件降价为x元，

则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

得x2﹣5x+4=0，

解得x=4或x=1，

要使顾客实惠，则x=4，

定价为60﹣4=56元．

答：

应将销售单价定位56元．

13．（2016?

南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有　10　名．

【解答】解：

设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：

x（x﹣1）=45，

即：

x2﹣x﹣90=0，

解得：

x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）

故参加这次聚会的同学共有10人．

故答案是：

10．

14．（2015?

平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为　（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）　．

【解答】解：

把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，

∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0），

故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．

15．（2015?

东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：

每件商品降价　20　元时，商场日盈利可达到2100元．

【解答】解：

∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，

由题意得：

（50﹣x）（30+2x）=2100，

化简得：

x2﹣35x+300=0，

解得：

x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

故答案为：

20．

16．（2015?

东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　9　．

【解答】解：

设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：

x2+x+1=91，

解得：

x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；

∴x=9；

故答案为：

9

17．（2015春?

乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为　11　cm．

【解答】解：

设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得

3（2x﹣6）（x﹣6）=240

解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去）

答：

这块铁片的宽为11cm．

18．（2015秋?

洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：

若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有　1000　人．

【解答】解：

设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，

第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，

那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，

整理得，x2+2x﹣99=0，

解得x=9或﹣11，

x=﹣11不符合题意，舍去．

那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．

第三轮传染后，患流感人数共有：

100+9×100=1000．

故答案为1000．

19．（2015秋?

临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为　10　m与　13　m．

【解答】解：

设仓库的垂直于墙的一边长为x，

依题意得（32﹣2x+1）x=130，

2x2﹣33x+130=0，

（x﹣10）（2x﹣13）=0，

∴x1=10或x2=，

当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；

当x2=时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．

答：

仓库的长和宽分别为13m，10m．

故答案为：

10，13．

三．解答题（共11小题）

20．（2015春?

沂源县期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）

（2）2x2﹣2

x﹣5=0（公式法）

【解答】解：

（1）方程整理得：

x2﹣4x=1，

配方得：

x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，

开方得：

x﹣2=±

，

解得：

x1=2+

，x2=2﹣

；

（2）这里a=2，b=﹣2

，c=﹣5，

∵△=8+40=48，

∴x=

=

．

21．（2015?

金堂县一模）用规定的方法解下列方程

①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）

②（x﹣4）2=9（直接开平方法）

③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）

④x2+8x﹣9=0（配方法）

【解答】解：

①∵x2﹣2x﹣8=0，

∴（x+2）（x﹣4）=0，

∴x+2=0或x﹣4=0，

∴x1=﹣2，x2=4；

②∵（x﹣4）2=9，

∴x﹣4=±3，

∴x1=1，x2=7；

③∵2x2﹣4x﹣1=0，

∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，

∴x=

=

=1±

，

∴x1=1﹣

，x2=1+

；

④∵x2+8x﹣9=0，

∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，

∴（x+4）2=25，

∴x+4=±5，

∴x1=1，x2=﹣9．

22．（2015春?

阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x=7

（2）2x2﹣6x﹣1=0

（3）3x（x+2）=5（x+2）

【解答】解：

（1）方程变形得：

x2﹣6x﹣7=0，

分解因式得：

（x﹣7）（x+1）=0，

解得：

x1=7，x2=﹣1；

（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，

∵△=36+8=44，

∴x=

=

；

（3）方程变形得：

（3x﹣5）（x+2）=0，

解得：

x1=

，x2=﹣2．

23．（2016?

唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．

【解答】解：

（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，

解得m＜6且m≠2；

（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，

∴（3x+4）（x+2）=0，

∴x1=﹣

，x2=﹣2．

24．（2016?

洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

【解答】解：

（1）∵方程没有实数根，

∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，

∴m＜﹣

，

∴当m＜﹣

时，原方程没有实数根；

（2）由

（1）可知，当m≥﹣

时，方程有实数根，

当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，

设此时方程的两根分别为x1，x2，

解得x1=2+

，x2=2﹣

．

25．（2016?

信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．

（1）求证：

不论k取何实数，该方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

【解答】

（1）证明：

△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，

故不论k取何实数，该方程总有实数根；

（2）解：

当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，

则（k﹣3）2=0，

解得k=3，

方程为x2﹣6x+9=0，

解得x1=x2=3，

故△ABC的周长为：

2+3+3=8；

当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，

方程为x2﹣5x+6=0，

解得，x1=2，x2=3，

故△ABC的周长为：

2+2+3=7．

26．（2016?

西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．

（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．

【解答】解：

（1）由题意知，m﹣1≠0，所以m≠1．

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0，

解得：

m＞

，

综上所述，m的取值范围是m＞

且m≠1；

（2）把x=1代入原方程，得：

m﹣1+2﹣3=0．

解得：

m=2．

把m=2代入原方程，得：

x2+2x﹣3=0，

解得：

x1=1，x2=﹣3．

∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3．

27．（2016?

平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：

无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；

当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4?

k?

2=（2k﹣1）2，

∵（2k﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴当k≠0时，方程有实数根，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）存在，

设方程两根为x1、x2，

则x1+x2=﹣

，x1x2=

，

∵

+

=2，即

=2，

∴

=2，即﹣

=2，

解得：

k=﹣

，

故存在实数k使方程两根的倒数和为2．

28．（2016?

宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0

（1）求证：

不论m为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【解答】

（1）证明：

当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；

当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m?

2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，

所以不论m为何值，方程总有实数根；

（2）设方程的另一个根为t，

根据题意得2+t=

，2t=

，

则2+t=1+2t，解得t=1，

所以m=1，

即m的值位1，方程的另一个根为1．

29．（2015秋?

余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．

【解答】解：

∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，

∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，

∴x+3=0，y﹣2=0，

∴x=﹣3，y=2，

∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=

．

30．（2016?

洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的

，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：

≈）．

【解答】解一：

设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，

则（40﹣8x）（30﹣6x）=

×40×30．

整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2

，

∴x1≈，x2≈（舍去），

答：

上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为．

解二：

设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，

则4x×3x=

×40×30，

解得x1=4

，x2=﹣4

（舍去），

∴上、下边衬宽为20﹣8

≈，左、右边衬宽均为15﹣6

≈，

答：

上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为．