（2）方向：
沿接触面的切线方向，并且跟物体的相对运动或相对运动趋势的方向相反．
3．电场力
（1）大小：
F＝qE.若为匀强电场，电场力则为恒力；若为非匀强电场，电场力则与电荷所处的位置有关；点电荷的库仑力F＝k
.
（2）方向：
正电荷所受电场力方向与场强方向一致，负电荷所受电场力方向与场强方向相反．
4．安培力
（1）大小：
F＝BIl，此式只适用于B⊥I的情况，且l是导线的有效长度，当B∥I时F＝0.
（2）方向：
用左手定则判断，安培力垂直于B、I决定的平面．
5．洛伦兹力
（1）大小：
f＝qvB，此式只适用于B⊥v的情况．当B∥v时f＝0.
（2）方向：
用左手定则判断，洛伦兹力垂直于B、v决定的平面，洛伦兹力不做功．
6．共点力的平衡
（1）平衡状态：
物体静止或做匀速直线运动．
（2）平衡条件：
F合＝0或Fx＝0，Fy＝0.
（3）常用推论：
①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余（n－1）个力的合力大小相等、方向相反．②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形．
1．处理平衡问题的基本思路：
确定平衡状态（加速度为零）→巧选研究对象（整体法或隔离法）→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．
2．常用的方法
（1）在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定方向时常用假设法．
（2）求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法、相似三角形法、图解法等．
3．带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力．
4．如果带电粒子在重力场、电场和磁场三者组成的复合场中做直线运动，则一定是匀速直线运动，因为f洛⊥v.
考向1 共点力作用下的静态平衡问题
图1
例1
如图1所示，质量为m的木块A放在水平面上的质量为M的斜面B上，现用大小相等、方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动．则（ ）
A．A与B之间一定存在摩擦力
B．B与地面之间一定存在摩擦力
C．B对A的支持力一定等于mg
D．地面对B的支持力大小一定等于（m＋M）g
审题突破
A、C选项考察物体A、B之间的受力应选谁为研究对象？
B、D选项考察地面对B的作用力必须选B为研究对象吗？
怎样选研究对象更简单？
解析 对A，若重力、推力、支持力的合力为零时，A、B间没有摩擦力，A错误；B对A的支持力无法求出，所以C错误；把A、B视为一个整体，水平方向两推力恰好平衡，故B与地面间没有摩擦力，所以B错误；地面对B的支持力等于（m＋M）g，故D正确．
答案 D
以题说法
1.在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进行分析．
2．采用整体法进行受力分析时，要注意系统内各个物体的状态应该相同．
3．当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体的受力，此法叫“转移研究对象法”．
图2
轻质弹簧A的两端分别连在质量均为m的小球上，两球均可视为质点．另有两根与A完全相同的轻质弹簧B、C，且B、C的一端分别与两个小球相连，B的另一端固定在天花板上，C的另一端用手牵住，如图2所示．适当调节手的高度与用力的方向，保持B弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），当弹簧C的拉力最小时，B、C两弹簧的形变量之比为（ ）
A．1∶1B．3∶5C．4∶3D．5∶4
答案 C
解析 以两球和弹簧A组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由合成法知当C弹簧与B弹簧垂直时，弹簧C施加的拉力最小，由几何关系知TB∶TC＝4∶3.
考向2 共点力作用下的动态平衡问题
图3
例2
（2014·山东·14）如图3所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千，某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后（ ）
A．F1不变，F2变大B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大D．F1变小，F2变小
审题突破
两轻绳各剪去一小段，两绳之间的夹角如何变化？
木板所受合力根据什么判断大小是否变化？
解析 木板静止时，木板受重力G以及两根轻绳的拉力F2，根据平衡条件，木板受到的合力F1＝0，保持不变．两根轻绳的拉力F2的合力大小等于重力G，保持不变，当两轻绳剪去一段后，两根轻绳的拉力F2与竖直方向的夹角变大，因其合力不变，故F2变大．选项A正确，选项B、C、D错误．
答案 A
以题说法
动态平衡问题分析的三个常用方法．
1．解析法：
一般把力进行正交分解，两个方向上列平衡方程，写出所要分析的力与变化角度的关系，然后判断各力的变化趋势．
2．图解法：
能用图解法分析动态变化的问题有三个显著特征：
一、物体一般受三个力作用；二、其中有一个大小、方向都不变的力；三、还有一个方向不变的力．
3．相似三角形法：
物体一般受三个力作用而平衡，系统内一定总存在一个与矢量三角形相似的结构三角形，这种情况下采用相似三角形法解决问题简单快捷．
如图4甲，手提电脑散热底座一般设置有四个卡位用来调节角度．某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位4缓慢地调至卡位1（如图乙），电脑始终静止在底座上，则（ ）
图4
A．电脑受到的支持力变大
B．电脑受到的摩擦力变小
C．散热底座对电脑的作用力变大
D．散热底座对电脑的作用力不变
答案 D
解析 对笔记本电脑受力分析如图所示，有：
N＝mgcosθ、f＝mgsinθ.由原卡位1调至卡位4，θ减小，静摩擦力f减小、支持力N增加；散热底座对电脑的作用力的合力是支持力和静摩擦力的合力，与重力平衡，始终是不变的，故D正确．
考向3 带电体在电场内的平衡问题
例3
（2014·浙江·19改编）如图5所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行．小球A的质量为m、电量为q.小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷．小球A静止在斜面上，则（ ）
图5
A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当
＝
时，细线上的拉力为0
C．当
＝
时，细线上的拉力为0
D．当
＝
时，斜面对小球A的支持力为0
审题突破
小球A受哪几个力的作用？
若细线上的拉力为0呢？
通过对小球受力分析，斜面对小球A的支持力能为0吗？
解析 根据库仑定律，A、B球间的库仑力F库＝k
，选项A正确；小球A受竖直向下的重力mg，水平向左的库仑力F库＝
，由平衡条件知，当斜面对小球的支持力FN的大小等于重力
与库仑力的合力大小时，细线上的拉力等于零，如图所示，则
＝tanθ，所以
＝
，选项B、C错误；斜面对小球的支持力FN始终不会等于零，选项D错误．
答案 A
以题说法
1.电场和重力场内的平衡问题，仍然是力学问题．力学中用到的图解法和正交分解法仍然可以用在电场和重力场中．
2．当涉及多个研究对象时，一般采用整体法和隔离法结合的方法求解．当物体受到的力多于三个时，往往采用正交分解法列出分方向的平衡方程．
图6
如图6所示，粗糙程度均匀的绝缘空心斜面ABC放置在水平面上，∠CAB＝30°，斜面内部O点（与斜面无任何连接）固定一个正点电荷，一带负电可视为质点的小物体可以分别静止在M、P、N点，P为MN的中点，OM＝ON，OM∥AB，则下列判断正确的是（ ）
A．小物体在M、P、N点静止时一定都是受4个力
B．小物体静止在P点时受到的摩擦力最大
C．小物体静止在P点时受到的支持力最大
D．小物体静止在M、N点时受到的支持力不可能相等
答案 C
解析 对小物体分别在三处静止时进行受力分析，如图：
结合平衡条件小物体在P、N两点时一定受四个力的作用，而在M处不一定，故A错误；小物体静止在P点时，摩擦力f＝mgsin30°，设小物体静止在M、N点时，库仑力为F′，则小物体静止在N点时f′＝mgsin30°＋F′cos30°，小物体静止在M点时f″＝mgsin30°－F′cos30°，可见小物体静止在N点时所受摩擦力最大，故B错误；小物体静止在P点时，设库仑力为F，受到的支持力N＝mgcos30°＋F，小物体静止在M、N点时：
N′＝mgcos30°＋F′sin30°，由库仑定律知F＞F′，故N＞N′，即小物体静止在P点时受到的支持力最大，静止在M、N点时受到的支持力相等，故C正确，D错误．
1．应用平衡条件解决电学平衡问题
例4
（18分）如图7（BE左边为侧视图，右边为俯视图）所示，电阻不计的光滑导轨ABC、DEF平行放置，间距为L，BC、EF水平，AB、DE与水平面成θ角．PQ、P′Q′是相同的两金属杆，它们与导轨垂直，质量均为m、电阻均为R.平行板电容器的两金属板M、N的板面沿竖直放置，相距为d，并通过导线与导轨ABC、DEF连接．整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．要使杆P′Q′静止不动，求：
图7
（1）杆PQ应沿什么方向运动？
速度多大？
（2）从O点入射的带电粒子恰好沿图中虚线通过平行板电容器，则入射粒子的速度v0多大？
解析
（1）设杆PQ运动速度为v，杆PQ切割磁感线产生的感应电动势：
E＝BLv（2分）
回路电流：
I＝
（2分）
P′Q′杆静止，对杆P′Q′受力分析，有：
mgtanθ＝BIL（2分）
联立解得：
v＝
（2分）
根据左手定则与右手定则可知，PQ应向右运动．（2分）
（2）两平行板间的电压：
U＝IR（2分）
粒子在电场中运动，电场力：
F＝qE＝
（2分）
粒子沿直线通过平行板电容器，这时粒子所受的电场力和洛伦兹力相互平衡：
＝qBv0（2分）
联立解得：
v0＝
（2分）
答案
（1）向右运动
（2）
点睛之笔 此题为力电综合问题，考查了力学知识的平衡问题和电磁感应知识．解答本题的思路是先通过P′Q′静止不动、受力平衡分析PQ的运动方向．PQ运动对P′Q′和电容器供电，带电粒子在电场、磁场中做匀速直线运动受力平衡．
（限时：
15分钟，满分：
15分）
（2014·江苏·13）如图8所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：
图8
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
（2）导体棒匀速运动的速度大小v；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q.
答案
（1）tanθ
（2）
（3）2mgdsinθ－
解析
（1）在绝缘涂层上
导体棒受力平衡mgsinθ＝μmgcosθ
解得导体棒与涂层间的动摩擦因数μ＝tanθ.
（2）在光滑导轨上
感应电动势：
E＝BLv
感应电流：
I＝
安培力：
F安＝BIL
受力平衡的条件是：
F安＝mgsinθ
解得导体棒匀速运动的速度v＝
.
（3）摩擦生热：
QT＝μmgdcosθ
根据能量守恒定律知：
3mgdsinθ＝Q＋QT＋
mv2
解得电阻产生的焦耳热Q＝2mgdsinθ－
.
（限时：
30分钟）
题组1 共点力作用下的静态平衡
图1
1．（2014·广东·14）如图1所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是（ ）
A．M处受到的支持力竖直向上
B．N处受到的支持力竖直向上
C．M处受到的静摩擦力沿MN方向
D．N处受到的静摩擦力沿水平方向
答案 A
解析 M处支持力方向与支持面（地面）垂直，即竖直向上，选项A正确；N处支持力方向与支持面（原木接触面）垂直，即垂直MN向上，故选项B错误；摩擦力与接触面平行，故选项C、D错误．
图2
2．如图2所示，三个相同的轻质弹簧连接在O点，弹簧1的另一端固定在天花板上，且与竖直方向的夹角为30°，弹簧2水平且右端固定在竖直墙壁上，弹簧3的另一端悬挂质量为m的物体且处于静止状态，此时弹簧1、2、3的形变量分别为x1、x2、x3，则（ ）
A．x1∶x2∶x3＝
∶1∶2
B．x1∶x2∶x3＝2∶1∶
C．x1∶x2∶x3＝1∶2∶
D．x1∶x2∶x3＝
∶2∶1
答案 B
解析 对物体受力分析可知：
kx3＝mg，对弹簧的结点受力分析可知：
kx1cos30°＝kx3，kx1sin30°＝kx2，联立解得x1∶x2∶x3＝2∶1∶
.
图3
3．体育器材室里，篮球摆放在如图3所示的球架上．已知球架的宽度为d，每个篮球的质量为m、直径为D，不计球与球架之间的摩擦，则每个篮球对一侧球架的压力大小为（ ）
A.
mgB.
C.
D.
答案 C
解析 篮球受力平衡，设一侧球架的弹力与竖直方向的夹角为θ，如图，由平衡条件，F1＝F2＝
，
而cosθ＝
＝
，
则F1＝F2＝
，选项C正确．
4．在如图所示的A、B、C、D四幅图中，滑轮本身的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量都是m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，图A、C、D中杆P与竖直方向夹角均为θ，图B中杆P在竖直方向上，假设A、B、C、D四幅图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断中正确的是（ ）
A．FA＝FB＝FC＝FDB．FD＞FA＝FB＞FC
C．FA＝FC＝FD＞FBD．FC＞FA＝FB＞FD
答案 B
解析 设滑轮两边细绳的夹角为φ，对重物，可得绳子拉力等于重物重力mg，滑轮受到木杆弹力F等于细绳拉力的合力，即F＝2mgcos
，由夹角关系可得FD＞FA＝FB＞FC，选项B正确．
5．如图4所示，质量为M的木板C放在水平地面上，固定在C上的竖直轻杆的顶端分别用细绳a和b连接小球A和小球B，小球A、B的质量分别为mA和mB，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B、C刚好相对静止一起向右匀速运动，且此时绳a、b与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则下列判断不正确的是（ ）
图4
A．力F的大小为mBg
B．地面对C的支持力等于（M＋mA＋mB）g
C．地面对C的摩擦力大小为
mBg
D．mA＝mB
答案 B
解析 对小球B受力分析，
水平方向：
Fcos30°＝Tbcos30°，得：
Tb＝F，
竖直方向：
Fsin30°＋Tbsin30°＝mBg，
解得：
F＝mBg，
故A正确；
对小球A受力分析，
竖直方向：
mAg＋Tbsin30°＝Tasin60°
水平方向：
Tasin30°＝Tbsin60°
联立得：
mA＝mB，故D正确；
以A、B、C整体为研究对象受力分析，
竖直方向：
N＋Fsin30°＝（M＋mA＋mB）g
可见N小于（M＋mA＋mB）g，故B错误；
水平方向：
f＝Fcos30°＝mBgcos30°＝
mBg，
故C正确．
题组2 共点力作用下的动态平衡
图5
6．如图5所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图．一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处．起吊重物前，重物处于静止状态．起吊重物过程是这样的：
先让吊钩从位置C竖直向上缓慢的移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸载到某一个位置．则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变
B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小
C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大
D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变
答案 A
解析 因物体重力不变，故重力与两绳子的拉力为平衡力，并且滑轮两端绳子的张力相等；设绳子间的夹角为2θ；在由C到B上移的过程中有：
2Tcosθ＝mg；由几何关系可知，设A到动滑轮的绳长为l，A到滑轮的水平距离为d，则有：
lcosθ＝d；因由C到B的过程中A到BC的垂直距离不变，故θ为定值，故轻绳上的拉力不变，故A正确，C错误；由B到D的过程中，绳的总长不变，夹角2θ一定增大，则由A中分析可知，T一定增大；故B、D错误．
7．（2014·广东省广雅、佛山联考）如图6所示，物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮，A静止在倾角为45°的粗糙斜面上，B悬挂着．已知质量mA＝3mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°减小到30°，且A、B仍处于静止状态，那么下列说法中正确的是（ ）
图6
A．弹簧的弹力大小将改变
B．物体A对斜面的压力将减少
C．物体A受到的静摩擦力将减小
D．弹簧的弹力及A受到的静摩擦力都不变
答案 C
解析 弹簧弹力等于B物体的重力，即弹簧弹力不变，故A项错误；对A物体进行受力分析，列平衡方程可知，C项正确，D项错误；根据N＝mAgcosθ，当倾角减小时，A物体对斜面压力变大，故B项错误．
8．如图7所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行．在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则（ ）
图7
A．b对c的摩擦力一定减小
B．b对c的摩擦力方向不可能平行斜面向上
C．地面对c的摩擦力方向一定向右
D．地面对c的摩擦力一定减小
答案 D
解析 设a、b的重力分别为Ga、Gb.若Ga＝Gbsinθ，b受到c的摩擦力为零；若Ga≠Gbsinθ，b受到c的摩擦力不为零．若Ga＜Gbsinθ，b受到c的摩擦力沿斜面向上，故A、B错误．对b、c整体，水平面对c的摩擦力f＝Tcosθ＝Gacosθ，方向水平向左．在a中的沙子缓慢流出的过程中，则摩擦力在减小，故C错误，D正确．
图8
9．如图8所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为
圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态．现在从O1处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动．设乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，甲对乙的弹力为F3.在此过程中（ ）
A．F1逐渐增大，F2逐渐增大，F3逐渐增大
B．F1逐渐减小，F2保持不变，F3逐渐减小
C．F1保持不变，F2逐渐增大，F3先增大后减小
D．F1逐渐减小，F2保持不变，F3先减小后增大
答案 D
解析 先对物体乙受力分析，如图甲所示，由牛顿第三定律可知乙对挡板的压力F1不断减小，甲对乙的弹力F3先减小后增大；再对甲与乙整体受力分析，受重力、斜面的支持力、挡板的支持力和已知力F，如图乙所示．
根据平衡条件，设斜面倾角为θ，甲的质量为M，乙的质量为m，正交分解有
x方向：
F＋（M＋m）gsinθ－F1′＝0
y方向：
F2′－（M＋m）gcosθ＝0
解得：
F2′＝（M＋m）gcosθ，保持不变．
结合牛顿第三定律，物体甲对斜面的压力F2不变，故D正确，A、B、C错误．
图9
10．如图9所示，三根细线共系于O点，其中OA在竖直方向上，OB水平并跨过定滑轮悬挂一个重物，OC的C点固定在地面上，整个装置处于静止状态．若OC加长并使C点左移，同时保持O点位置不变，装置仍然处于静止状态，则细线OA上拉力FA和OC上的拉力FC与原先相比是（ ）
A．FA、FC都减小
B．FA、FC都增大
C．FA增大，FC减小
D．FA减小，FC增大
答案 A
解析 O点受FA、FB、FC三个力平衡，如图．当按题示情况变化时，OB绳的拉力FB不变，OA绳拉力FA的方向不变，OC绳拉力FC的方向与拉力FB方向的夹角减小，保持平衡时FA、FC的变化如虚线所示，显然都是减小了．
题组3 带电体在电场内的平衡问题
图10
11．（2014·广东·20改编）如图10所示，光滑绝缘的水平桌面上，固定着一个带电量为＋Q的小球P.带电量分别为－q和＋2q的小球M和N，由绝缘细杆相连，静止在桌面上．P与M相距L、M和N视为点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．M与N的距离大于L
B．P、M和N可能不在同一直线上
C．在P产生的电场中，M、N处的电势相同
D．M、N及细杆组成的系统所受合力为零
答案 D
解析 假设P、M和N不在同一直线上，对M受力分析可知M不可能处于静止状态，所以选项B错误；M、N和杆组成的系统，处于静止状态，则系统所受合外力为零，故k
＝k
，解得x＝（
－1）L，所以选项A错误，D正确；在正点电荷产生的电场中，离场源电荷越近，电势越高，φM>φN，所以选项C错误．
12．一根套有细环的粗糙杆水平放置，带正电的小球A通过绝缘细线系在细环上，另一带正电的小球B固定在绝缘支架上，A球处于平衡状态，如图11所示．现将B球稍向右移动，当A小球再次平衡（该过程A、B两球一直在相同的水平面上）时，细环仍静止在原位置，下列说法正确的是（ ）
图11
A．细线对带电小球A的拉力变小
B．细线对细环的拉力保持不变
C．细环所受的摩擦力变大
D．粗糙杆对细环的支持力变大
答案 C
解析 如图甲所示，以细环、细线及小球A组成的整体为研究对象受力分析，整体的重力、杆的支持力、静摩擦力、水平向右的库仑斥力，由平衡可知N＝mAg＋m环g，F＝f，知粗糙杆对细环的支持力不变，再由小球A的受力分析如图乙知，当B球稍向右移动时，由库仑定律知，F增大，f增大，小球A的重力不变，它们的合力与细线的拉力等大反向，故由力的合成知当F增大时细线的拉力也增大，综合以上分析知，C选项正确．
甲 乙
13．如图12所示，空间正四棱锥型的底面边长和侧棱长均为a，水平底面的四个顶点处均固定着电量为＋q的小球，顶点P处有一个质量为m的带电
升级会员 