材料力学简明教程景荣春课后答案第五章.docx
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材料力学简明教程景荣春课后答案第五章
材料力学简明教程（景荣春）课后答案第五章
5-1最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?
答不一定。
最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。
5-2矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？
若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？
答若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；
若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。
5-3由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。
设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量Es
Ew，则该梁沿高度方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。
思考题5-3图
答（b）
5-4受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。
从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？
思考题5-4图
答（a）
5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。
比值请从
W
来衡量截面形状的合A
W
较大，则截面的形状就较经济合理。
图示3种截面的高度均为h，A
W
的角度考虑哪种截面形状更经济合理？
A
思考题5-5图
答（c）
5-6受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。
若各图中阴影部分面积相同，中空
部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？
思考题5-6图
答（b）（从强度考虑，（b）,（c）差不多，从工艺考虑，（b）简单些）
*FSSz
5-7弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定？
Izb
答FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力所
在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。
5-8非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？
答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。
*
习题
5-1钢丝的弹性模量E=200GPa。
比例极限σp=200MPa，将钢丝绕在直径为2m的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？
解由卷筒直径得钢丝曲率半径ρ=1m
d
Edy
≤σpσ=Eε=E=E=
ρρ2ρ
2ρσp2×1×200×106
d≤==2×103m=2mm9
E200×10
dmax=2mm
5-2两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。
若已知两横截面面积相等，且
d23
=。
试计算它们的最大正应力之比。
D25
解
σ1max=
MmaxMmaxMmax
，σ===2max3
3W2W1πD1
πD2
3232
Mmax
4
d
2
1D2
43d2πD2
132D2σ1max（a）
=3
σ2maxπD1
32
3
由A1=A2，d2D2=得
5
πD12π22
=D2d244
d242
*****
D1=D2d2=D21D=5D2
2
（）
D1=
4D25
代入式（a）得
σ1maxD12+d2217
==σ2maxD1+D210
5-3某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。
试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。
（a）
（b）
解∑MA=0，FB=7.64kN↑∑Fy=0，FA
作弯矩图（b），危险截面分别为C，B，且MC=1344Nm，MB=900Nm
（）=3.36kN（↑）
*****2×1344
==63.4MPa=
WCπ×603×10-9πD3
32MBMB32×900===62.0MPaσB=4
WBπD31α445
π×603×10-91
60
故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为63.4MPa。
σC=
5-4矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。
求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。
解对截面m-m及n-n，都给以坐标系如图所示。
于是有yA=yD=0.150m；yB=0.100m,yC=0截面m-m及截面n-n的弯矩分别是
Mm=20kNm；Mn=2015×3=25kNm横截面对轴z的惯性矩
Iz=
131
bh=×0.180×0.3003=405×106m41212
20×103×（0.150）6=σmD==7.41×10N/m=7.41MPa6
405×10
y0.100=BσmA=×（7.41）=4.94MPayA0.150=0
MDyA（25×103）×（0.150）==
Iz405×106
各点的正应力分别是
σmA
σmBσmC
σnA=σnD
σnB
=9.26×106N/m3=9.26MPa
y0.100=BσnA=×9.26=6.18MPa，σnC=0
0.150yA
5-5一外径为250mm，壁厚为10mm，长度l=12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图（a）所示。
铸铁的密度
ρ1=7.70×103kg/m3，水的密度
ρ2=1×103kg/m3。
求管内最大拉、压正应力的数值。
（a）（b）
解将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图（b）所示。
其中荷载集度q，为单
位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即
q=
ππ
[D2（D2δ）2ρ1g+（D2δ）2ρ2g]44π223=[0.250（0.2502×0.010）]×7.70×9.8×104
π
+×（0.2502×0.010）2×9.8×103=0.976kN/m4
均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩
11
Mmax=ql2=×0.976×122=17.6kNm
88
水管的弯曲截面系数
Wz=
π30.234D2δ4π
]=×0.253×[1（]=4.35×104m3D[1（
*****.25DMmax17.6×103===40.4MPa4
Wz4.35×10
最大拉压正应力
σmax
5-6由两根28a号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图（a）所示。
已知该梁材料
为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170MPa。
求梁的许可载荷F。
2
3
（a）（b）
解由已知结构载荷对称，得图（b）。
33
F×2=3F，MC=F×4F×2=4F22
Mmax=4F
M4Fσ=max=≤[σ]=170×1066
W2×340.328×10F
≤28.9×103N=28.9kN
MB=
5-7一重量为P的均质钢条，长度为l，截面宽为b，厚为t，放置在刚性平面上如图。
当在钢条一端用力F=
P
提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a及钢条内的最大正应力。
3
12PPqa=0，F=，q=23l
Pa1P22
即a=0，a=l
32l3
12PP2
（2）M（x）=Fxqx=xx
232lPP2
M′（x）=0，x=0，x=
3l3
解
（1）∑MC=0,Fa
PllPl1Pl
M==
***-*****l
l
MPl
3==Pl
σmax=
Wbt236t2
6
2
5-8⊥型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。
若材料的拉伸许用应力[σt]=40MPa，压缩许用应力[σc]=160MPa，截面对形心轴zC的惯性矩
IzC=*****cm4，h1=9.64cm，求该梁的许可载荷F。
（a）
（b）
解MA=0.8F
σAc=
IzC[σc]*****×108×160×106
F≤==132.6kN3
0.8h20.8×153.6×10MAh10.8Fh1
σAt==≤[σt]
IzCIzCIzC[σt]*****×108×40×106
F≤==52.8kN3
0.8h10.8×96.4×10Mh0.6Fh2
σCt=C2=≤[σt]
IzCIzCIzC[σt]*****×108×40×106
F≤==44.3kN3
0.6h20.8×153.6×10
比较以上结果得
[F]=44.3kN
MAh20.8Fh2
=≤[σc]IzCIzC
5-9一铸铁梁如图a所示。
已知材料的拉伸强度极限σb=150MPa，压缩强度极限
σbc
=630MPa。
求梁的安全因数。
（a）（b）
解弯矩图（b）。
求横截面形心主惯性轴Oz的位置，以下底边为参考轴有
b=
160×200×100140×160×120
=53.2mm
160×200160×140
11
×160×20XX年+160×200×（10053.2）2×140×16031212
横截面对轴z的惯性矩
Iz=
140×160×（8013.2）2=2.90×107mm4=2.90×105m4
（1）求可能危险截面C所需的安全因数nC。
截面C在正弯矩MC=12kNm作用下，上部受压，下部受拉，其中
ycmaxytmax
=
20053.2
=2.76
53.2
σbc630
==4.202.76σb150σCtmax=
MCytmax
Iz
≤[σt]=
（σb）t
nC
所以，截面C将由于拉应力先达到强度极限间破坏。
因此强度条件是
Iz（σb）t2.90×105×150×106
==6.82nC≤
MCytmax12×103×0.0532
（2）求可能危险截面B，所需的安全系数nB。
截面B在负弯矩作用下，横截面上部受拉，下部受压，易知此截面因上部边缘最大拉应力先达到材料强度极限而破坏。
因此，强度条件是
σB,t,max=
所以
MByB,t,max
Iz
≤[σt]=
（σb）t
nB
（σb）tIz150×106×2.90×105
=nB≤=3.703
8×10×0.147MByB,t,max
比较nB和nC，得此梁的安全系数为n≤3.70。
5-10图（a）所示梁的截面由两个槽钢组成，跨度为l=3m，承受集中力偶M=7.5kNm，均布载荷q=5kN/m。
若已知许用应力[σ]=120MPa，试选择槽钢的型号。
（a）
（b）
解∑MA=0,FB=10kN↑；∑Fy=0，FA=5kN↑FS=FAqx=0，x=1mMmax=M
（1）=M+FA×1
作弯矩图如图（b）所示。
Mmaxσmax=
（）（）
1
q×12=7.5+52.5=10kNm2
=10kNm
Mmax
≤[σ]2W
Mmax10×103633
==41.67×10mW≥=41.67cm6
2σ2×120×10
若选10号槽钢，W10=39.7cm3
Mmax10×103
σmax===125.9MPa
2W102×39.7×106
σ[σ]125.9120max=×100%=4.9%5%
120σ误差在工程允许范围内，故可选10号槽钢。
5-11图示结构中FB为圆杆，直径d=30mm，梁AE为T字形截面，尺寸如图，C为形心，截面惯性矩Iz=7.46×10
6
m4。
材料的许用拉应力[σt]=40MPa，许用压应力
[σc]=60MPa。
试校核该结构的强度。
（a）
（b）
解∑MB=0,FA=3kN↑；∑Fy=0，FB=11kN↑MD=FA×1=3kNm，MB=4×1=4kNm
作弯矩图（b）。
截面D
（）（）
MD3×103×88×1033
σt=×88×10==35.4MPa[σt]6
Iz7.46×10
截面B
MB3×103×52×1033
σt=×52×10==27.9MPa[σt]
Iz7.46×106MB4×103×88×1033
σc=×88×10==47.2MPa[σc]6
Iz7.46×10
结构强度满足。
5-12一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F=5kN，a=1.5m，
[σ]=10MPa。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比
小直径d。
h
，以及梁所需木料的最b
解由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数
121b
bh=b（d2b2）=（d2b2）666
dWzd2b2
=0，有=0将Wz对b求导，并令db62
d时，弯曲截面系数取得极大值。
因此当，b=3
Wz=
截面的高
h=截面的高宽比
当b=
1d2b2=d2d2=d
33
h
=b6d/3
=d/3
d时，求得3
31b2132
d（d2d2）=dWz,max=（db）=
*****
由题知梁AB的CD段处于纯弯曲状态，其
Mmax=Fa由弯曲正应力的强度条件，有σmax=
Mmax27Fa
=≤[σ]3
Wz,maxd
d≥9Fa
σ=
9×5×103×1.5
σ=0.227m=227mm
由此可见，所需木材的最小直径为227mm。
5-13当载荷F直接作用在跨长为l=6m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过
许可值30%。
为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁CD，求辅助梁的最小跨长a。
解未配辅助梁时，梁AB的危险截面在跨中点，其最大弯矩M1=
梁上的最大正应力
Fl4
σ1=
M1Fl/4
=WzWz
当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁AB在C，D处分别承受集中荷载AB的CD段是处于纯弯曲状态，最大弯矩
M2=对应的最大正应力
F
，梁2
F1F
（lu）=（la）224
σ2=
据题意有σ2=[σ]，及
M2F（la）/4=WzWz
σ1σ2
×100%=30%σ2
将σ1,σ2的值代入，得
Fl/4F（la）/4
WzWz
=0.3
FlaWz
整理得
a=
0.3
l=0.231l=0.231×6=1.39m1.3
因此，辅助梁应有的最小跨长为：
1.39m。
5-14图（a）所示No.30a工字梁承受均布载荷作用，跨度l=6m。
已知许用应力[σ]=140MPa。
为提高梁的承载能力，试确定外伸臂a的合理长度及相应的许可载荷。
D
12qa（a）ql2
8
（b）
解用叠加法作弯矩图（b）。
根据题意应有
MC=MA=MB
将弯矩值代入上式得
*****qlqa=qa822
求得
a=
2
l=×6=2.12m44
梁的最大弯曲正应力表达式是
其中
σmax
MAqa2==Wz2Wz
Wz=402×106m3,σmax=140MPa
于是，得许可载荷集度
2Wzσmax2×402×106×140×106
q===*****N/m=25kN/m22
a2.12
5-15图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用，其横截面尺寸为
b,h,长度为l。
（1）试证明在离自由端为x处的横截面上切向内力元素τdA的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力τ′沿梁长
度的变化规律如何？
该面上总的水平剪力有多大？
由什么力来平衡？
解
（1）假定切应力τ沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力τ的合力沿对称轴y。
矩形截面切应力沿高度分布为
*FSSzFb3FS22
τ==S（h24y2）=（h4y）3
bIzbIz82bh
整个横截面的切应力构成的合力为
∫τdA=2b∫
A
h
20
τdy
h20
根据静力平衡有
3FS
（h24y2）dy=FS3A2bh
我们知道x横截面上的剪力等于qx。
所以τdA的合力等于该截面上剪力。
My
。
整个截面的σdA对中性轴的矩是正应力沿横截面高度分布为σ=Iz
MM2
ydA=Iz=M∫AσydA=∫A
IzIz
qx=
∫τdA=2b∫
根据静力平衡
12
qx=∫AσydA=M2
于是证得法向内力元素σdA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。
（2）对此悬臂梁任意x截面的剪力
FS（x）=qx。
矩形截面的中性层处的横向剪应力
3FS3qx
=。
2bh2bh
根据切应力互等定律，得截开面上切应力τ沿梁长度的变化规律为
3qx
τ′=τ=2bh
τ=
其总的水平剪力
3qx3ql2
bdx=∫dx=FS′=∫τ′dA′=∫τ′
A′002h4h
水平剪力FS′由根部横截面下半部的正应力σ组成的x方向的合力来平衡。
l
l
5-16一桥式起重机梁跨l=10.5m，横截面为36a工字钢。
已知梁的许用应力[σ]=140MPa，电葫芦自重12kN，当起吊重量为50kN时，梁的强度不够。
为满足正应力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。
求加固钢板的最小长度
l0
。
（a）
（b）
解
（1）不计梁重时，梁的受力如图（b）
P=（12+50）kNFA=
P
（lx），MC=FAx=Plxx2ll
63
查型钢表WC=875×10m
（）
MCPlxx2
σC===[σ]
WClWC
10.5xx2=10.5×140×106×875×10662×103）=20.75x210.5x+20.75=0x1=2.59m，x2=7.91ml0=x2x1=5.22m
（2）校核加固部分强度
（）
lxx2=l[σ]WCP
lPl
=62×103×10.5=162.75kNmMmax=M=
24
bh32+AaIz=Iz1+2×12
=1.58×104+2×（100×163×1012+100×16×1882×1012）=2.71×104m4
Mmax162.75×103×（180+16）×103
σmax=ymax==118MPa[σ]，安全。
4
Iz2.71×10
5-17简支梁由4块相同的木板胶合而成，尺寸如图。
已知F=3kN，木材的许用正
应力[σ]=7MPa，胶合面的许用切应力
[
τ]=3MPa。
试校核该梁的强度。
（a）
（b）
解∑MA=0,FB=Mmax
0.3
F=1.8kN，FSmax=1.8kN0.5
=MC=FB×0.2=0.36kNm
Mmax0.36×103×6
σmax===6.75MPa[σ]29
W50×80×103FSmax3×1.8×103
==0.675MPa[τ]τmax=6
2A2×50×80×10
故强度满足。
5-18由4块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图a。
若已知某截面上沿铅
垂方向的剪力
FS=3.56kN，求粘接接缝A
，B两处的切应力。
（a）（b）（c）
解Iz=
*SzA
1
（25+127）（25+229）3（12725）（22925）3=1.354×108mm4***-*****=（12.5）×25×=1.460×105mm3
22
[]
δIz
*53
SzB=76×25×114.5=2.176×10mm
**FSSzASzB
=0.154×*=0.229MPaτB=δIzSzA
τA=
*FQSzA
3.56×103×1.46×109==0.154MPa
25×1.354×107
横截面上切应力流走向如图c。
5-19支承楼板的木梁可视为如图（b）所示简支梁，跨度为l=6m，两木梁间的距离
a=1m，楼板承受均布载荷p=3.5kN/m2。
若木梁截面为矩形，宽高比为
b2
=，许用h3
正应力[
σ]=10MPa
，许用切应力[τ]=3MPa，试设计木梁的横截面尺寸。
（a）（b）
解木梁受力图（b），其中q=pa
ql1
=pal22
l1l1
Mmax=FAq（2=pal2
*****
pal2
Mmax9pal2==≤[σ]σmax=3
W8hhh26
9pal29×3.5×103×1×62
==0.242m=242mmh≥8[σ]8×10×106
FA=取h=242mmb=
2
h=161mm3
5-20工字钢截面外伸梁AC承受载荷如图所示，Me=40kNm，q=20kN/m。
材料的许用弯曲正应力[σ]=170MPa，许用切应力[τ]=100MPa。
试选择工字钢的型号。
40
A
解支座约束力
∑MA=0
A
FB=
20×2×140
=0
3
M
∑Fy=0，FA=40kN
绘剪力图，弯矩图如右图所示。
FSmax=40kN，Mmax=40kNm
σmax=
Wz≥
Mmax
≤[σ]Wz
Mmax
σ40×10343
==2.35×10m6
170×10
20a号工字钢的弯曲截面系数
Wz=2.37×104m32.35×104m3，满足正应力强度条件。
进而校核它是否满足切应力强度条件，其
*
Iz/Sz=0.172m,d=1.14×102m。
FSmax40×*****===20.4×10N/m=20.4MPa100MPa*2
Iz/Szd0.172×1.14×10
τmax
满足切应力强度条件。
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