材料力学简明教程景荣春课后答案第五章.docx

1、材料力学简明教程景荣春课后答案第五章材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章 5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上? 答 不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。 5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？ 答 若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍； 若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。 5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量Es Ew，则该梁沿高度

2、方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。 思考题5-3图 答 (b) 5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？ 思考题5-4图 答 (a) 5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。比值请从 W 来衡量截面形状的合A W 较大，则截面的形状就较经济合理。图示3种截面的高度均为h，A W 的角度考虑哪种截面形状更经济合理？ A 思考题5-5图 答 (c) 5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。若各图中阴影部分面积相同，中空

3、部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？ 思考题5-6图 答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些） *FSSz 5-7 弯曲切应力公式=的右段各项数值如何确定？ Izb 答 FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力所 在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。 5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？ 答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。 * 习 题 5-1 钢丝的弹性模量E=200GPa。比例极限p

4、=200MPa，将钢丝绕在直径为2 m的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？ 解 由卷筒直径得钢丝曲率半径 =1m d Edy p =E=E =E= 2 2p21200106 d=210 3m=2mm 9 E20010 dmax=2mm 5-2 两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面面积相等，且 d23 =。试计算它们的最大正应力之比。 D25 解 1max= MmaxMmaxMmax ，=2max3 3W2W1D1 D2 3232 Mmax 4 d 2 1 D 2 43 d2 D2 1 32 D2 1max （a）

5、=3 2maxD1 32 3 由 A1=A2，d2D2=得 5 D1222 =D2 d2 44 d 2 4 2 * D1=D2 d2=D2 1 D = 5D2 2 () D1= 4D2 5 代入式（a）得 1maxD12+d2217 = 2maxD1+D210 5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。 (a） (b) 解 MA=0，FB=7.64kN Fy=0，FA 作弯矩图（b），危险截面分别为C，B，且 MC=1344N m，MB=900N m ()=3.36kN() *21344 =63.4MPa = WC60310-9D3 32M

6、BMB32900=62.0MPa B=4 WBD31 4 45 60310-9 1 60 故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为63.4MPa。 C= 5-4 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。 解 对截面m-m及n-n，都给以坐标系如图所示。于是有 yA= yD= 0.150m； yB=0.100m,yC=0 截面m-m及截面n-n的弯矩分别是 Mm=20kN m； Mn=20 153= 25kN m 横截面对轴z的惯性矩 Iz= 131 bh=0.1800.3003=40510 6m4 1212 2010 3(

7、0.150)6= mD= 7.4110N/m= 7.41MPa 6 40510 y0.100=BmA=( 7.41)=4.94MPa yA 0.150=0 MDyA( 25103)( 0.150)= Iz40510 6 各点的正应力分别是 mA mBmC nA= nD nB =9.26106N/m3=9.26MPa y0.100=BnA=9.26= 6.18MPa，nC=0 0.150yA 5-5 一外径为250mm，壁厚为10mm，长度l=12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图(a)所示。铸铁的密度 1=7.70103kg/m3，水的密度 2=1103kg/m3。求管内最大拉、压

8、正应力的数值。 (a) (b) 解 将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图(b)所示。其中荷载集度q，为单 位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即 q= D2 (D 2)21g+(D 2)22g 44223=0.250 (0.250 20.010)7.709.810 4 +(0.250 20.010)29.8103=0.976kN/m 4 均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩 11 Mmax=ql2=0.976122=17.6kN m 88 水管的弯曲截面系数 Wz= 30.234D 24 =0.2531 (=4.3510 4m3 D1 ( *.25DMmax17.6103=40.

9、4MPa 4 Wz4.3510 最大拉压正应力 max 5-6 由两根28a号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图(a)所示。已知该梁材料 为Q235钢，其许用弯曲正应力=170 MPa。求梁的许可载荷F。 2 3 (a) (b) 解 由已知结构载荷对称，得图(b)。 33 F2=3F，MC=F4 F2=4F 22 Mmax=4F M4F=max=170106 6 W2340.32810F 28.9103N=28.9kN MB= 5-7 一重量为P的均质钢条，长度为l，截面宽为b，厚为t，放置在刚性平面上如图。当在钢条一端用力F= P 提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a及钢条内的最大正应力

10、。 3 12PPqa=0，F=，q= 23l Pa1P22 即 a=0，a=l 32l3 12PP2 （2）M(x)=Fx qx=x x 232lPP2 M(x)=0， x=0，x= 3l3 解（1）MC=0,Fa Pl l Pl1P l M = = *-*l l M Pl 3 =Pl max= Wbt236t2 6 2 5-8 型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力t=40MPa，压缩许用应力c=160MPa，截面对形心轴zC的惯性矩 IzC=*cm4，h1 =9.64 cm，求该梁的许可载荷F。 (a) (b) 解 MA=0.8F Ac= IzCc*10 8160106

11、 F=132.6kN 3 0.8h20.8153.610MAh10.8Fh1 At=t IzCIzCIzCt*10 840106 F=52.8kN 3 0.8h10.896.410Mh0.6Fh2 Ct=C2=t IzCIzCIzCt*10 840106 F=44.3kN 3 0.6h20.8153.610 比较以上结果得 F=44.3kN MAh20.8Fh2 =c IzCIzC 5-9 一铸铁梁如图a所示。已知材料的拉伸强度极限b=150 MPa，压缩强度极限 bc =630 MPa。求梁的安全因数。 (a) (b) 解 弯矩图(b)。 求横截面形心主惯性轴Oz的位置，以下底边为参考轴有

12、b= 160200100 140160120 =53.2mm 160200 160140 11 16020XX年+160200(100 53.2)2 1401603 1212 横截面对轴z的惯性矩 Iz= 140160(80 13.2)2=2.90107mm4=2.9010 5m4 （1）求可能危险截面C所需的安全因数nC。 截面C在正弯矩MC=12kN m作用下，上部受压，下部受拉，其中 ycmaxytmax = 200 53.2 =2.76 53.2 bc630 =4.202.76 b150Ctmax= MCytmax Iz t= (b)t nC 所以，截面C将由于拉应力先达到强度极限间破

13、坏。因此强度条件是 Iz(b)t2.9010 5150106 =6.82 nC MC ytmax121030.0532 （2）求可能危险截面B，所需的安全系数nB。 截面B在负弯矩作用下，横截面上部受拉，下部受压，易知此截面因上部边缘最大拉应力先达到材料强度极限而破坏。因此，强度条件是 B,t,max= 所以 MByB,t,max Iz t= (b)t nB (b)tIz1501062.9010 5 =nB=3.70 3 8100.147MByB,t,max 比较nB和nC，得此梁的安全系数为n3.70。 5-10 图(a)所示梁的截面由两个槽钢组成，跨度为l=3m，承受集中力偶M=7.5kN

14、 m，均布载荷q=5kN/m。若已知许用应力=120MPa，试选择槽钢的型号。 (a) (b) 解 MA=0,FB=10kN ； Fy=0，FA=5kN FS=FA qx=0，x=1m Mmax=M(1)=M+FA1 作弯矩图如图（b）所示。Mmax max= ()() 1 q12=7.5+5 2.5=10kN m 2 =10kN m Mmax 2W Mmax10103 633 =41.6710m W=41.67cm 6 2212010 若选10号槽钢，W10=39.7cm3 Mmax10103 max=125.9MPa 2W10239.710 6 125.9 120 max=100%=4.9

15、%5% 120误差在工程允许范围内，故可选10号槽钢。 5-11 图示结构中FB为圆杆，直径d=30mm，梁AE为T字形截面，尺寸如图，C为形心，截面惯性矩Iz=7.4610 6 m4。材料的许用拉应力t=40MPa，许用压应力 c=60MPa。试校核该结构的强度。 (a) (b) 解 MB=0,FA=3kN ； Fy=0，FB=11kN MD=FA1=3kN m，MB= 41= 4kN m 作弯矩图（b）。 截面D ()() MD31038810 3 3 t=8810=35.4MPat 6 Iz7.4610 截面B MB31035210 3 3 t=5210=27.9MPat Iz7.461

16、0 6MB41038810 3 3 c=8810=47.2MPac 6 Iz7.4610 结构强度满足。 5-12 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m， =10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比 小直径d。 h ，以及梁所需木料的最b 解 由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数 121b bh=b(d2 b2)=(d2 b2) 666 dWzd2b2 =0，有 =0 将Wz对b求导，并令db62 d时，弯曲截面系数取得极大值。 因此当，b=3 Wz= 截面的高 h=截面的高宽比 当b= 1d2 b2=d2 d2=d 33 h =b6d/3 = d/3 d

17、时，求得 3 31b2132 d(d2 d2)=d Wz,max=(d b)= * 由题知梁AB的CD段处于纯弯曲状态，其 Mmax=Fa 由弯曲正应力的强度条件，有 max= Mmax27Fa = 3 Wz,maxd d9Fa = 951031.5 =0.227m=227mm 由此可见，所需木材的最小直径为227mm。 5-13 当载荷F直接作用在跨长为l=6 m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过 许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁CD，求辅助梁的最小跨长a。 解 未配辅助梁时，梁AB的危险截面在跨中点，其最大弯矩 M1= 梁上的最大正应力 Fl 4 1= M1Fl

18、/4 = WzWz 当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁AB在C，D处分别承受集中荷载AB的CD段是处于纯弯曲状态，最大弯矩 M2=对应的最大正应力 F ，梁2 F1F (l u)=(l a) 224 2= 据题意有2=，及 M2F(l a)/4= WzWz 1 2 100%=30% 2 将1,2的值代入，得 Fl/4F(l a)/4 WzWz =0.3 Fl aWz 整理得 a= 0.3 l=0.231l=0.2316=1.39m 1.3 因此，辅助梁应有的最小跨长为：1.39m。 5-14 图(a)所示No.30a工字梁承受均布载荷作用，跨度l=6m。已知许用应力=140MPa。为提高梁

19、的承载能力，试确定外伸臂a的合理长度及相应的许可载荷。 D 12qa (a) ql2 8 (b) 解 用叠加法作弯矩图(b)。 根据题意应有 MC=MA=MB 将弯矩值代入上式得 *ql qa=qa 822 求得 a= 2 l=6=2.12m 44 梁的最大弯曲正应力表达式是 其中 max MAqa2= Wz2Wz Wz=40210 6m3,max=140MPa 于是，得许可载荷集度 2Wzmax240210 6140106 q=*N/m=25kN/m 22 a2.12 5-15 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用，其横截面尺寸为 b,h,长度为l。 （1）试证明在离自由端

20、为x处的横截面上切向内力元素dA的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素dA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。 （2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力沿梁长 度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？ 解 （1）假定切应力沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力的合力沿对称轴y。 矩形截面切应力沿高度分布为 *FSSzFb3FS22 =S (h2 4y2)=(h 4y) 3 bIzbIz82bh 整个横截面的切应力构成的合力为 dA=2b A h 20 dy h20 根据静力平衡有 3FS (h2 4y2)dy=FS 3A2bh 我们知道x横截面上

21、的剪力等于qx。所以dA的合力等于该截面上剪力。 My 。整个截面的dA对中性轴的矩是 正应力沿横截面高度分布为=Iz MM2 ydA= Iz=M AydA=A IzIz qx= dA=2b 根据静力平衡 12 qx=AydA=M 2 于是证得法向内力元素dA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。 （2）对此悬臂梁任意x截面的剪力 FS(x)=qx。 矩形截面的中性层处的横向剪应力 3FS3qx =。 2bh2bh 根据切应力互等定律，得截开面上切应力沿梁长度的变化规律为 3qx =2bh = 其总的水平剪力 3qx3ql2 bdx=dx= FS=dA= A002h4h 水平剪力FS由根部横截面下半部

22、的正应力组成的x方向的合力来平衡。 l l 5-16 一桥式起重机梁跨l=10.5m，横截面为36a工字钢。已知梁的许用应力=140MPa，电葫芦自重12 kN，当起吊重量为50 kN时，梁的强度不够。为满足正应力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。求加固钢板的最小长度 l0 。 (a) (b) 解（1）不计梁重时，梁的受力如图（b） P=(12+50)kN FA= P (l x) ，MC=FAx=Plx x2 ll 63 查型钢表 WC=87510m () MCPlx x2 C= WClWC 10.5x x2=10.514010687510 662103)=20.75 x2 10.

23、5x+20.75=0 x1=2.59m，x2=7.91m l0=x2 x1=5.22m （2）校核加固部分强度 () lx x2=lWCP l Pl =6210310.5=162.75kN m Mmax=M = 2 4 bh32 + Aa Iz=Iz1+2 12 =1.5810 4+2(10016310 12+10016188210 12)=2.7110 4m4 Mmax162.75103(180+16)10 3 max=ymax=118MPa，安全。 4 Iz2.7110 5-17 简支梁由4块相同的木板胶合而成，尺寸如图。已知F=3kN，木材的许用正 应力=7MPa，胶合面的许用切应力 =

24、3MPa。试校核该梁的强度。 (a) (b) 解MA=0,FB= Mmax 0.3 F=1.8kN，FSmax=1.8kN 0.5 =MC=FB0.2=0.36kN m Mmax0.361036 max=6.75MPa 2 9 W5080103FSmax31.8103 =0.675MPa max= 6 2A2508010 故强度满足。 5-18 由4块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图a。若已知某截面上沿铅 垂方向的剪力 FS=3.56kN，求粘接接缝A ，B两处的切应力。 (a) (b) (c) 解 Iz= *SzA 1 (25+127)(25+229)3 (127 25)(229

25、25)3=1.354108mm4 *-*=( 12.5)25=1.460105mm3 22 Iz *53 SzB=7625114.5=2.17610mm *FSSzASzB =0.154*=0.229MPa B=IzSzA A= *FQSzA 3.561031.4610 9=0.154MPa 251.35410 7 横截面上切应力流走向如图c。 5-19 支承楼板的木梁可视为如图(b)所示简支梁，跨度为l=6m，两木梁间的距离 a=1m，楼板承受均布载荷p=3.5kN/m2。若木梁截面为矩形，宽高比为 b2 =，许用h3 正应力 =10MPa ，许用切应力=3MPa，试设计木梁的横截面尺寸。

26、（a） （b） 解 木梁受力图(b)，其中q=pa ql1 =pal 22 l1l1 Mmax=FA q(2=pal2 * pal2 Mmax9pal2= max=3 W8hh h26 9pal293.5103162 =0.242m= 242 mm h8810106 FA= 取h = 242 mm b= 2 h=161mm 3 5-20 工字钢截面外伸梁AC承受载荷如图所示，Me=40kN m，q=20kN/m。材料的许用弯曲正应力=170MPa，许用切应力=100MPa。试选择工字钢的型号。 40 A 解 支座约束力 MA=0 A FB= 2021 40 =0 3 M Fy=0，FA=40kN 绘剪力图，弯矩图如右图所示。 FSmax=40kN，Mmax=40kN m max= Wz Mmax Wz Mmax 40103 43 =2.3510m6 17010 20a号工字钢的弯曲截面系数 Wz=2.3710 4m32.3510 4m3，满足正应力强度条件。 进而校核它是否满足切应力强度条件，其 * Iz/Sz=0.172m,d=1.1410 2m。 FSmax40*=20.410N/m=20.4MPa100MPa * 2 Iz/Sz d0.1721.1410 max 满足切应力强度条件。