151曲边梯形的面积优秀教案可编辑修改word版.docx
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151曲边梯形的面积优秀教案可编辑修改word版
一、教学目标
1.5.1曲边梯形的面积
1、知识与技能目标：
（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：
（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：
在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析
本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：
一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：
一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：
如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点
教学重点：
探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：
把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程
一、问题情境—生活中的数学原型
【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？
图片一：
图形一：
【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？
图片二：
图形二：
【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？
图片三：
图形三：
【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？
【设计意图】
1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
2.学生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想”，为接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。
3.对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。
4.通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。
二、概念辨析—“连续函数”与“曲边梯形”的概念
【学生活动】翻开课本38页，仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。
【设计意图】
让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。
三、知识回顾—割圆术
【讲授】
割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。
【教师提问】
1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？
2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？
【解答】
割圆术求圆面积的思想方法：
1.将圆等分成n个小扇形。
2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。
3.求小三角形面积之和。
4.随着n的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼
1.分割
2.近似代替
3.求和
4.取极限
【设计意图】
回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法，引发学生思考：
这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法，求曲边梯形的面积。
同时，通过在提炼思想方法的
过程中，培养学生分析、归纳的习惯。
四、特例探究—类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积
【思考】如何求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？
（一）分割
【自主探究】思考：
应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？
【学生活动】
1.分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】方案一：
方案二：
【教师提问】选取方案一进行探究。
1.如何将大曲边梯形等分成n个小曲边梯形？
2.将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是什么？
3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是什么？
【解答】
1.在区间[0，1]上等间隔地插入n-1个点，过这些点做x轴的垂线。
2.
将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是：
3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中“将圆等分成n个小扇形”这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。
在探究的过程中，充分带动学生的自主学习意识，并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。
培养学生学习数学的兴趣以及团队协作的精神。
（二）近似代替
【自主探究】思考：
对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？
（单独研究第i个小曲边梯形）
【学生活动】
1.分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】方案一：
方案二：
方案三：
方案四：
【思考】选取方案二进行探究。
怎样求出小矩形的面积？
【解答】
第i个区间的长度为：
第i个小矩形的高为：
（即区间左端点的函数值）
第i个小矩形的面积为：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤，经历将第i个小曲边梯形“以直代曲”的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生带着疑问进入下面的学习。
在探究的过程中，培养学生善于思考的习惯，以及自我创新的能力。
（三）求和
【共同探究】思考：
怎样求出n个小矩形的面积之和？
【师生互动】
引导学生分析如何求出n个小矩形的面积之和，共同探求解题思路。
具体求解过程由学生参与，师生共同补充。
【提示】
给出公式：
12+22++（n-1）2=（n-1）n（2n-1）
6
【讲授】
此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。
【解答】
小矩形面积之和为：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中“求小三角形面积之和”这一步骤，经历“求和”的过程，加深学生对Σ符号的理解，同时，让学生更好地掌握求和类型题目的解法，提高学生的计算能力以及数学的逻辑思维能力。
【几何画板展示】
观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？
【思考】
为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值？
【设计意图】
通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并为第四步“取极限”做出铺垫。
（四）取极限
【思考】n趋向于无穷大时，曲边梯形的面积S等于多少？
【师生互动】
引导学生回顾极限的运算，共同计算出曲边梯形的面积S的值。
【解答】
取极限得到曲边梯形的面积为：
【设计意图】
通过经历“取极限”的过程，进一步加强学生对极限运算的认识。
五、类比探究—类比“不足近似值”与“过剩近似值”
【思考】选取方案三进行探究。
怎样求出小矩形的面积？
【师生互动】
类比方案二中的求解过程，发现求解小矩形的面积时的异同，引导学生正确计算小矩形的面积。
【解答】
第i个区间的长度为：
第i个小矩形的高为：
（即区间右端点的函数值）
第i个小矩形的面积为：
【设计意图】
通过方案二和方案三的对比，进一步加强学生对“割补思想”“以直代曲”思想的理解和认识，并使学生逐步掌握运算技巧。
【思考】怎样求出n个小矩形的面积之和？
【提示】
给出公式：
12+22++n2=n（n+1）（2n+1）
6
【师生互动】
引导学生通过类比“不足近似值”的求法，体验“过剩近似值”的求解过程。
【解答】
小矩形面积之和为：
【设计意图】
通过类比方案二中的求解过程，学生能很快掌握相应解法，培养学生的解题能力，同时巩固本节所学知识。
这样安排，有利于学生循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法，激发学生创新能力的同时，培养学生善于思考的习惯。
【几何画板展示】
观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？
【思考】
为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值？
【解答】
取极限得到曲边梯形的面积为：
【设计意图】
通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并与之前的案例进行对比。
【Excel展示】
【设计意图】
利用Excel表格进行计算，让学生更直观得观察当n趋近于无穷大时，S的不足近似值与过
1
剩近似值最终都会趋近于。
同时，验证了之前的结论。
3
六、能力提升
⎡i-1i⎤
【思考】取f（x）=x²在区间⎢⎣n
1
是吗？
3
n⎥⎦上任意一点ξi处的函数值f（ξi）作为近似值，求出的S也
【师生互动】
引导学生回答，教师补充完善，并用多媒体进行适当展示。
【设计意图】
让学生体会，无论用哪个近似值进行近似代替，借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。
同时，更直观地感受到从特殊到一般的过程。
七、课堂小结
【思考】在今天的课程中，你学到了什么呢？
【师生互动】
让学生回顾总结本节所学知识，师生共同补充、纠正。
【设计意图】
让学生养成善于总结的好习惯，并对本节的知识研究线索有一个全面的认识，同时反馈学生对本节课重点内容的把握情况。
八、课后作业
1.求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？
2.思考：
“问题情景”中第三幅图的面积怎样求解？
【设计意图】
让学生体会通过对特例的探究，掌握到了一般的数学方法。
同时，巩固知识，发现教学中的不足。
数学与实际相结合，培养学生自觉学习的习惯和探索精神，提高综合运用数学知识的能力。
九、板书设计
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