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151曲边梯形的面积优秀教案可编辑修改word版

一、教学目标

1.5.1曲边梯形的面积

1、知识与技能目标:

(1)通过问题情景,经历求曲边梯形面积的过程,初步了解、感受定积分概念的实际背景。

(2)理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。

2、过程与方法目标:

(1)通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。

(2)通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标:

在探究中进一步感受极限的思想,体会直与曲虽然是对立矛盾的,但它们可以相互转化,体现对立统一的辩证关系,在问题解决中体验成功的愉悦,感受数学的魅力。

二、学情分析

本节课的教学对象是民语班的学生。

学生在本节课之前已经具备的认知基础有:

一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积;学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。

二是学生虽然未学习过极限的有关知识,但通过导数的学习,对极限有了初步的认识。

学生在本节课学习中将会面临的难点:

一是部分学生汉语程度相对较为薄弱,一些数学名词难以准确理解,因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注,帮助学生准确掌握和学习;此外,学生的汉语表达能力较差,需要即时引导学生进行准确表述和学习。

二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”,即学生如何将割圆术中“以直代曲,无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上.具体说来就是:

如何选择适当的直边图形(矩形、三角形或梯形)代替曲边梯形,并使细分的过程程序化且便于操作和计算。

三、重点难点

教学重点:

探究求曲边梯形面积的方法。

教学难点:

把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤,理解“无限逼近”的思想方法。

四、教学过程

一、问题情境—生活中的数学原型

【教师提问】观察下面的图片,从图片中截取一个平面图形,观察图形,如何求图形的面积?

图片一:

图形一:

【教师提问】观察下面的图片,从图片中截取一个平面图形,观察图形,如何求图形的面积?

图片二:

图形二:

【教师提问】观察下面的图片,从图片中截取一个平面图形,观察图形,如何求图形的面积?

图片三:

图形三:

【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么?

【设计意图】

1.从生活实际出发,让学生充分感受数学与生活息息相关,生活中处处都能找到数学的原型。

2.学生通过分割和补足的方法求解直边图形,回顾“割补思想”,为接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。

3.对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别,为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。

4.通过设立问题引发学生思考,从而引出本节课题。

二、概念辨析—“连续函数”与“曲边梯形”的概念

【学生活动】翻开课本38页,仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。

【设计意图】

让学生回归课本进行自主学习,并发现概念中的关键内容。

三、知识回顾—割圆术

【讲授】

割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创,所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积,并以此求取圆周率的方法。

【教师提问】

1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法?

2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼,能否应用到求曲边梯形的面积中?

【解答】

割圆术求圆面积的思想方法:

1.将圆等分成n个小扇形。

2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。

3.求小三角形面积之和。

4.随着n的增大,小三角形面积之和不断逼近圆面积。

将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼

1.分割

2.近似代替

3.求和

4.取极限

【设计意图】

回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法,引发学生思考:

这种“以直代曲”的思想启发我们,是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法,求曲边梯形的面积。

同时,通过在提炼思想方法的

过程中,培养学生分析、归纳的习惯。

四、特例探究—类比割圆术的思想方法,求特殊的曲边梯形的面积

【思考】如何求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S?

(一)分割

【自主探究】思考:

应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”?

【学生活动】

1.分小组讨论,并在纸上做出方案。

2.通过对比各组方案,选出最佳方案。

【教师展示】方案一:

方案二:

【教师提问】选取方案一进行探究。

1.如何将大曲边梯形等分成n个小曲边梯形?

2.将区间[0,1]等分成n个小区间,这n个小区间分别是什么?

3.单独研究第i个小区间,则第i个小区间是什么?

【解答】

1.在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,过这些点做x轴的垂线。

2.

将区间[0,1]等分成n个小区间,这n个小区间分别是:

3.单独研究第i个小区间,则第i个小区间是:

【设计意图】

学生通过类比割圆术中“将圆等分成n个小扇形”这一步骤,经历分割曲边梯形的过程,同时通过对比,选出最佳方案进行进一步探究。

在探究的过程中,充分带动学生的自主学习意识,并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。

培养学生学习数学的兴趣以及团队协作的精神。

(二)近似代替

【自主探究】思考:

对每个小曲边梯形如何“以直代曲”?

(单独研究第i个小曲边梯形)

【学生活动】

1.分小组讨论,并在纸上做出方案。

2.通过对比各组方案,选出最佳方案。

【教师展示】方案一:

方案二:

 

方案三:

方案四:

 

【思考】选取方案二进行探究。

怎样求出小矩形的面积?

【解答】

第i个区间的长度为:

第i个小矩形的高为:

(即区间左端点的函数值)

第i个小矩形的面积为:

【设计意图】

学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤,经历将第i个小曲边梯形“以直代曲”的过程,同时通过对比,选出最佳方案进行进一步探究,并引导学生带着疑问进入下面的学习。

在探究的过程中,培养学生善于思考的习惯,以及自我创新的能力。

(三)求和

【共同探究】思考:

怎样求出n个小矩形的面积之和?

【师生互动】

引导学生分析如何求出n个小矩形的面积之和,共同探求解题思路。

具体求解过程由学生参与,师生共同补充。

【提示】

给出公式:

12+22++(n-1)2=(n-1)n(2n-1)

6

【讲授】

此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。

【解答】

小矩形面积之和为:

【设计意图】

学生通过类比割圆术中“求小三角形面积之和”这一步骤,经历“求和”的过程,加深学生对Σ符号的理解,同时,让学生更好地掌握求和类型题目的解法,提高学生的计算能力以及数学的逻辑思维能力。

【几何画板展示】

观察当n取不同值时,小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系?

【思考】

为了更加准确地求出大曲边梯形的面积,n应该取何值?

【设计意图】

通过几何画板的演示,更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想,并为第四步“取极限”做出铺垫。

(四)取极限

【思考】n趋向于无穷大时,曲边梯形的面积S等于多少?

【师生互动】

引导学生回顾极限的运算,共同计算出曲边梯形的面积S的值。

【解答】

取极限得到曲边梯形的面积为:

【设计意图】

通过经历“取极限”的过程,进一步加强学生对极限运算的认识。

五、类比探究—类比“不足近似值”与“过剩近似值”

【思考】选取方案三进行探究。

怎样求出小矩形的面积?

【师生互动】

类比方案二中的求解过程,发现求解小矩形的面积时的异同,引导学生正确计算小矩形的面积。

【解答】

第i个区间的长度为:

第i个小矩形的高为:

(即区间右端点的函数值)

第i个小矩形的面积为:

【设计意图】

通过方案二和方案三的对比,进一步加强学生对“割补思想”“以直代曲”思想的理解和认识,并使学生逐步掌握运算技巧。

【思考】怎样求出n个小矩形的面积之和?

【提示】

给出公式:

12+22++n2=n(n+1)(2n+1)

6

【师生互动】

引导学生通过类比“不足近似值”的求法,体验“过剩近似值”的求解过程。

【解答】

小矩形面积之和为:

【设计意图】

通过类比方案二中的求解过程,学生能很快掌握相应解法,培养学生的解题能力,同时巩固本节所学知识。

这样安排,有利于学生循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法,激发学生创新能力的同时,培养学生善于思考的习惯。

【几何画板展示】

观察当n取不同值时,小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系?

【思考】

为了更加准确地求出大曲边梯形的面积,n应该取何值?

【解答】

取极限得到曲边梯形的面积为:

【设计意图】

通过几何画板的演示,更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想,并与之前的案例进行对比。

【Excel展示】

【设计意图】

利用Excel表格进行计算,让学生更直观得观察当n趋近于无穷大时,S的不足近似值与过

1

剩近似值最终都会趋近于。

同时,验证了之前的结论。

3

六、能力提升

⎡i-1i⎤

【思考】取f(x)=x²在区间⎢⎣n

1

是吗?

3

n⎥⎦上任意一点ξi处的函数值f(ξi)作为近似值,求出的S也

 

【师生互动】

引导学生回答,教师补充完善,并用多媒体进行适当展示。

【设计意图】

让学生体会,无论用哪个近似值进行近似代替,借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。

同时,更直观地感受到从特殊到一般的过程。

七、课堂小结

【思考】在今天的课程中,你学到了什么呢?

【师生互动】

让学生回顾总结本节所学知识,师生共同补充、纠正。

【设计意图】

让学生养成善于总结的好习惯,并对本节的知识研究线索有一个全面的认识,同时反馈学生对本节课重点内容的把握情况。

八、课后作业

1.求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S?

2.思考:

“问题情景”中第三幅图的面积怎样求解?

【设计意图】

让学生体会通过对特例的探究,掌握到了一般的数学方法。

同时,巩固知识,发现教学中的不足。

数学与实际相结合,培养学生自觉学习的习惯和探索精神,提高综合运用数学知识的能力。

九、板书设计

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