小升初约数倍数问题.docx

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小升初约数倍数问题

1、约数和倍数

约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　1、公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　最大公约数的性质：

（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

　　（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

　　（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

　　例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12；

　　18的约数有：

1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公约数有：

1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：

6，记作（12，18）=6；

　　求最大公约数基本方法：

（1）分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

（2）短除法：

先找公有的约数，然后相乘。

　　（3）辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

（4）更相减损术

第一步：

任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行

第二步。

第二步：

以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.

辗转相除法具体做法是：

用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。

如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

把这些数相乘就是最小公倍数。

例1：

用辗转相除法求153和119的最大公约数

153=119×1+34

119=34×3+17

34=17×2

所以17是153和1119的最大公约数

例2：

求8251和6105的最大公约数.

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

所以37是8251和6105的最大公约数

辗转相除法的算理是根据：

在a=bq+r中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。

或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。

 如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1

例3：

用更相减损术求98与63的最大公约数

解：

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减

98－63＝3598=63×1＋35

63－35＝2863=35×1＋28

35－28＝735=28×1＋7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98和63的最大公约数等于7。

辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.

（2）从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到。

2、公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：

12、24、36、48……；

　　18的倍数有：

18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍数有：

36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

　　最小公倍数的性质：

（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

（2）两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

　求最小公倍数基本方法：

     1、短除法求最小公倍数；

    2、分解质因数的方法

例1：

用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。

一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？

例2：

边长１米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都大于高，问长方体长与宽的和是几米？

例3：

有四个小朋友，他们的年龄恰好是一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？

例4：

四个连续的自然而数的积是3024，求此四个数。

例5：

两个数的和是616，其中一个数的最后一位数字是０，如果把０去掉，就与另一数相同，这两个数的差是多少？

例6：

加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

例7：

一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共享了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

例8：

一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：

这样的正方形的边长是多少厘米？

例9：

两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

例10：

甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？

乙数是多少？

例11：

一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？

每相邻两棵之间的距离是多少米？

例12：

已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

例13：

兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？

例14：

将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？

一共可锯多少块？

例15：

一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？

例15：

有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？

例16：

两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

例17：

一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？

例18：

用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？

例19：

在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

例20：

在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

例21：

对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：

（n）表示不是n的约数的最小自然数，如（7）=2，（l2）=5等等，则（（19）×（98））=＿_____．（式中的×表示乘法）

例22：

a、b为自然数，且a=1999b，则a、b的最大公约数与最小公倍数的和等于______.

例23：

有一些四位数，它与9的差能被9整除，它与8的差能被8整除，它与7的差能被7整除，它与6的差能被6整除，这样的数有______个．

例24：

设m和n为大于0的整数，且3m＋2n＝225。

（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=____.

（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=____.

例25：

一种长方形的砖，长45厘米，宽27厘米，用这种砖铺成一块正方形砖地，至少要用多少块？

例26：

已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数.

例27：

已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。

例28：

有三个自然数a、b、c，a与b的最大公约数是2；b和c的最大公约数是4；a和c的最大公约数是6；a、b、c三个数的最小公倍数是60，求这三个数的最小的和是多少？

例29：

两个数的积是6912，最大公约数是24，求：

（1）它们的最小公倍数；

（2）满足已知条件的自然数是哪几组？

例30：

有一行数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？

例31：

两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的成积是（）

A．273B．819C．1911D．3549

例32：

自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为＿__，最小值为＿__．【当它们的积为定值时，则这些数的和在它们离的最近（也就是差的绝对值最小）时达最小，在它们离的最远（也就是差的绝对值最大）时达最大】

例33：

用（a，b）表示a、b两数的最大公约数，[a，b]表示a、b两数的最小公倍数，例如，（4，6）=2，（4，4）=4，[4，6]=12，[4，4]=4．设a、b、c、d是不相等的自然数，（a，b）=P，（c，d）=Q，〔P，Q〕=x；〔a，b〕=M，[c,d]=N，（m，n）=Y．则（）．

　A.x是y的倍数，但x不是y的约数

　B．x是y的倍数或约数都有可能，但x≠y

　C．x是y的倍数、约数或x＝y三者必居其一

　D．以上结论都不对

例34：

360这个数的约数有多少个？

360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。

所以，360的约数个数是：

（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）

例35：

a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a与b．

练习题：

1.把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？

2.把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？

3.已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A、B互质，求B。

4.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？

每个班至少分到了三种水果各多少千克？

5.有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

6.1998的不同约数有（）个。

7.把一块长357m，宽105m，高84m的长方体木块锯成若干个大小相同的正方体木块，要求正方体体积最大，且没有剩余的碎木块（损耗不计），所锯成的正方体木块的边长是______.

8.在公路两侧每个4米栽一棵树，结果第一棵树与最后一棵树相距60米。

现在将树移栽成每隔6米一棵，其中有几棵不需要移栽？

9.公路上排电线杆共25根，每相邻两根间的距离都是45米，现在要改为60米，有几根不需要移动？

10.某工厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可以完成3个，第二道工序每个工人每小时可以完成12个，第三道工序每个工人每小时可以完成5个，要使流水线正常生产，各道工序至少安排几个工人最合理？

11.有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根，现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要尽可能长，最长多少分米？

一共可以截成多少段？

12.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

13.某个数与36的最大公约数是12，与36的最小公倍数是180，求这个数．

14.有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？

15.有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。

他们中年龄最大是多少岁？

16.张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张，如果已知x、y、z的最小公倍数为60；x、y的最大公约数为4；y、z的最大公约数为3．那么，张华发出的新年贺卡是多少张？

奥数知识点：

数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：

如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：

整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：

末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

4、六年级奥数知识点：

余数及其应用

基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

5、六年级奥数知识点：

余数问题

一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：

a≡a（modm）；

　　②对称性：

若a≡b（modm），则b≡a（modm）；

　　③传递性：

若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）；

　　④和差性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）；

　　⑤相乘性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）；

　　⑥乘方性：

若a≡b（modm），则an≡bn（modm）；

　　⑦同倍性:

若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）；

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）；

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）；

　　五、费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（modp）。