概率论与数理统计课后答案北邮版第三章.docx
《概率论与数理统计课后答案北邮版第三章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课后答案北邮版第三章.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计课后答案北邮版第三章
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X0123
Y
1
0
1
1
1
1
3
2
1
1
1
0
C32228
C3222
3/8
3
1
0
0
1
1
1
1
8
2
2
2
8
2.盒子里装有
3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取
4
只球，以X表示取到黑球的只
数，以Y表示取到红球的只数
.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X
0
1
2
3
Y
0
0
0
C32C22
3
C33C12
2
C74
35
C74
35
1
0
C13C12C22
6
C32C12C1212
C33C12
2
C4
35
C4
35
C4
35
7
7
7
2
P（0黑,2红,2白）=
C13C22C12
6
C32C22
3
0
C22C22/C74
1
C74
35
C74
35
35
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
π
π
F（x，y）=
sinxsiny,
0
x
2
0
y2
0,
其他.
求二维随机变量（
X，Y）在长方形域
0
ππ
y
π
内的概率.
x
6
3
4
【解】如图P{0X
ππ
Y
π
4
}公式（3.2）
6
3
ππ
F（
ππ
F（0,
π
F（0,
π
F（
）
）
3
）
）
4
3
4
6
6
1
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sinsin
6
sin0sin
sin0sin
4
3
4
3
6
2（31）.
4
题3图
说明：
也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
Ae（3x4y）,x0,y0,
f（x，y）=
0,其他.
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】
（1）由
f（x,y）dxdy
Ae-（3x4y）dxdy
A
1
0
0
12
得A=12
（2）由定义，有
y
x
F（x,y）
f（u,v）dudv
y
y
（3u4v）dudv（1e
3x）（1e4y）
y0,x0,
0
12e
0
0,
其他
0,
（3）P{0X1,0Y2}
P{0X
1,0Y
2}
1
2
（3x4y）dxdy
（1
e3）（1
e8）
0.9499.
0
12e
0
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
k（6
xy）,
0
x2,2y4,
0,
其他.
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X<1.5}；
（4）求P{X+Y≤4}.
【解】
（1）由性质有
2
f（x,y）dxdy
2
4
xy）dydx8k1,
0
k（6
2
故
1
R
8
（2）P{X
1,Y
3}
1
3
f（x,y）dydx
1
31
x
3
k（6
y）dydx
0
28
8
（3）
P{X
1.5}
f（x,y）dxdy如图af（x,y）dxdy
x1.5
D1
1.5
41
y）dy
27
dx
（6x
.
0
2
8
32
（4）
P{X
Y
4}
f（x,y）dxdy如图b
f（x,y）dxdy
XY4
24x
dx
02
D2
1（6xy）dy
2.
8
3
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
5e5y,
y0,
fY（y）=
其他.
0,
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.
题6图
【解】
（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以
X的密度函数为
1,0
x0.2,
fX（x）0.2
0,其他.
而
3
fY（y）
5e5y,
y
0,
0,
其他.
所以
f（x,y
）XY,独立f
X
x（f）
y（
）
Y
1
5e
5y
25e
5y
0
x
且
y
0,
0.2
0.2
0,
其他.
0,
（2）P（Y
X）
f（x,y）dxdy如图
25e5ydxdy
yx
D
0.2
x
0.2
（5e5x
5）dx
0
dx
25e-5ydy
0
0
=e-1
0.3679.
7.设二维随机变量（
X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
（1
e4x）（1
e2y）,
x
0,y
0,
0,
其他.
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】f（x,y）
2F（x,y）
8e（4x
2y）,
x
0,y
0,
xy
0,
其他.
8.设二维随机变量（
X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
4.8y（2
x）,
0
x
1,0
y
x,
0,
其他.
求边缘概率密度.
【解】
（
）
（,
）d
fX
x
fxy
y
x
4.8y（2x）dy2.4x2（2x）,0x1,
=0
0,
0,
其他.
fY（y）
f（x,
y）dx
1
x）dx
2.4y（34y
y2）,0y1,
=
4.8y（2
y
0,
0,
其他.
4
题8图题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
ey,0xy,
f（x，y）=
0,其他.
求边缘概率密度.
【解】
（
）
（,）d
fX
x
f
xy
y
=
x
eydy
ex,
x0,
0,
其他.
0,
fY（y）
f（x,y）dx
y
eydx
yex,
y0,
=
0
0,
其他.
0,
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
cx2y,x2
y1,
f（x，y）=
其他.
0,
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
【解】
（1）
f（x,y）dxdy如图
f（x,y）dxdy
D
1
1
2ydy
4c1.
=dx
x
2cx
-1
21
21
得
.
c
4
（2）
fX（x）
f（x,y）dy
5
2
21x2ydy
21
x2（1
x4）,
1x1,
1
x
4
8
0,
0,
其他.
fY（y）
f（x,y）dx
y
21x2ydx
7y25
0y
1,
0,
y
4
2
0,
其他.
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
1,yx,0x1,
f（x，y）=
0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】
（
）
（,
）d
fX
x
fxy
y
x
1dy
2x,0x1,
x
0,
其他.
1
1
y,
1
y
0,
1dx
y
fY（y）
f（x,y）dx
1
1
y,
0
y
1,
1dx
y
0,
其他.
所以
f（x,y）
1
|y|x1,
fY|X（y|x）
2x
fX（x）
0,
其他.
6
1
yx1,
1
y
f（x,y）
1
yx1,
fX|Y（x|y）
1
fY（y）
y
0,
其他.
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大
的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X与Y的联合分布律如下表
Y
3
4
5
P{Xxi}
X
1
1
1
2
2
3
3
6
10
C53
10
C53
10
C53
10
2
0
1
1
2
2
3
10
C53
10
C53
10
3
0
0
1
1
1
10
C52
10
P{Y
yi
}
1
3
6
10
10
10
（2）
因P{X
1}
P{Y
6
1
6
1
1,Y
3},
3}
10
100
P{X
10
10
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（
X，Y）的联合分布律为
X
2
5
8
Y
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X和Y的边缘分布如下表
Y
X
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
P{X
xi}
0.2
0.42
0.38
7
（2）因P{X2}P{Y0.4}
0.2
0.80.16
0.15
P（X
2,Y
0.4）,
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，
X在（0，1）上服从均匀分布，
Y的概率密度为
fY（y）=
1ey/2,
y0,
2
其他.
0,
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为
a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y
1,
0
x1,
fY（y）
1e2
y1,
【解】
（1）因fX（x）
其他;
2
0,
0,
其他.
故f（x,y）X,Y独立fX（x）fY（y）
1ey/2
0
x
1,y
0,
2
0,
其他.
题14图
（2）方程a22XaY0有实根的条件是
（2X）2
4Y
0
故
X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
P{X2
Y}
f（x,y）dxdy
x2
y
1
x2
1
e
y/2
dy
dx
2
0
0
1
2
[
（1）
（0）]
0.1445.
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计）
，并设X和Y相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
f（x）=
1000,
x
1000,
x2
0,
其他.
8
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
FZ
（
）
{
}
{X
}
z
PZ
z
P
z
Y
（1）当z≤0时，FZ（z）
0
（2）当0z
FZ（z）
106
2dxdy
103dy
yz
106
2dx
x
2
y
10
3
x
2
y
x
z
y
z
=103
103
106
z
y2
zy3
dy
z
2
题15图
（2）当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）
FZ（z）
106
dxdy
3dy
zy
106
2dx
xx
2
y
2
10
10
3
x
2
y
y
z
=
103
106
dy
1
1
103
y
2
3
2z
zy
1
1,
z
1,
2z
即
fZ（z）
z,
0
z
1,
2
0,
其他.
1
z
1,
2z2
故
fZ（z）
1,
0
z1,
2
0,
其他.
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180h的概率.
9
【解】设这四只寿命为
Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，20
2），
从而
P{min（X1,X2,X3,X4）180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180}
P{X3
180}P{X4180}
[1
P{X
180}]
[1P
X{
180}P][1X
{
18P0}X][1
{
180}]
1
2
3
4
4
[1
P{X1
180}]4
1
180
160
20
升级会员 