第七章线性变换总结篇高等代数复习过程.docx
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第七章线性变换总结篇高等代数复习过程
第七章线性变换总结
篇（高等代数）
第7章线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一•线性变换的概念与判别
1.线性变换的定义
数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对V中任意的元素，和数域P中的任意数k，都有：
，
kk。
注：
V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设为数域P上线性空间V的一个变换，那么:
为V的线性变换k
3.线性变换的性质
Ikl,
V,k,lP
设V是数域P上的线性空间，
为V的线性变换，
1,2,|||,s,V
性质1.00,；
性质2.若1,2,,s线性相关，
那么1,2JI
s也线性相关。
性质3.设线性变换为单射，如果1,2,III，s线性无关，那么
1,2，|||，s也线性无关。
注：
设V是数域P上的线性空间，1,2,III，m，1,2,|||,s是V中的两个向量组，
如果：
记:
1C111C122
2C211C222
IIIIIIHI
mCm11Cm22
川,
于是，若dimVn,
m是V中任意一组向量,
记:
那么:
bi2
I
b21
b22
b2n
川,
C1ss
C2ss
C12
I
Gs
C2s
III
n是V的一组基,
如果:
1bl11
2b211
IIIIIIIII
Cm1
Cm2
2,|||,m
2，|||，m
m的一个极大线性无关组,
2Hl
2Hl
Cm1
Cm2
是V的线性变换,
b122
b222
III
bmn
Pnn
III
1，2，|||，
b]1
b]2
I
b>21
b>22
n
Cm1
Cm2
4
b2n
III
m是矩阵B的列向量组，如果
i「
那么
ii
i2I"ir就是
m的一个极大线性无关组，因此向量组
m的秩等于秩B。
4.线性变换举例
（1）设V是数域P上的任一线性空间。
零变换：
00,V；
恒等变换：
，V。
幕零线性变换：
设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整
数m，使得m0,就称为幕零变换。
幕等变换：
设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2，就称
为幕等
变换。
（4）
Pnn，Aaj是V中一固定矩阵,
AX,XPnn。
（3）
•线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
（1）定义：
设V是数域P上的线性空间，，是V的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：
对任意的V
任取kP，定义数量乘积k为：
对任意的V
kk
的负变换-为：
对任意的V
则、、k与-都是V的线性变换
（2）LV={为V的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P
上的维线性空间
2.线性变换的矩阵
（1）定义：
设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，仆2,|||,n
是V的一组基,
如果：
1
a11
1a122|
|a1nn
2
a21
1a222
||a2nn
III
III
III
1an22|
||annn
n
an1
a11
a21
III
an1
那么称矩阵A
a12
1
1
a22
i
i
III
F2为线性变换在基1,2,|||,n下的矩
1
a1n
I
a2n
III
ann
阵。
此时：
1,
2,I"n
1,2IK
n1,2,|H,nA
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩
阵：
设1,2,III，n是数域P上的n维线性空间V的一组基，，LV，设
它们在1,2,|||,n下的矩阵分别为A,B。
1）f：
LVPnn,HA是数域P上的线性空间LV到数域P上的线性空间Pnn的同构映射，因此LVPnn。
2）可逆A可逆
3）①、与-在基1,2,|||,n下的矩阵分别为AB,AB与A;
2任取kP,k在基i,2,|||,n下的矩阵为kA;
3若为可逆线性变换，则1在基1,2,|||,n下的矩阵为A1；
4设fxamxmam1xm1川a1xa0为数域P上的任一多项式，那
么fammamim1川印a。
（为V的恒等变换）在
amAm
am1
Am1
|||dAa°En。
基1,2,|||,n下的矩阵为：
三•特征值、特征向量与对角矩阵
1.矩阵的特征值与特征向量
（1）矩阵的特征多项式：
设A为n级复方阵，将多项式fAEnA称为
A的特征多项式。
注：
1）若A3j，贝U:
jnn7
fA
EnAn1an
a22
III
a.”n1HI1"A
n1trAn1
III
1
nA
2）将EnA称为矩阵A的特征矩阵，
En
A
0称为矩阵A的特征方
程。
（2）定义：
n级方阵A的特征多项式fA|EnA在复数域上的所有根都
叫做其特征值（根），设°C是A的特征值，齐次线性方程组
EnAX0的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征值0的特征向
（3）求法:
1求fAEnA在复数域上的所有根1,2,|卄，n（重根按重数计
算）；
2）对kk1^|n解齐次线性方程组kEnAX0,得其一个基础解
系ki,k2^|,k,ik（Ln秩kEnA），则矩阵A的属于特征值k的全部特征向量为SkikiSk2k2川Sk,ikk,lk，其中Sk1，Sk2,|||，Sk,lk为不全为零的任意常数（复数）。
（4）重要结论：
1）设0C是A的特征值，Xo是A的属于其特征值0的特征向量，
gx为一复系数多项式。
1go为gA的特征值，Xo为gA的属于特征值go的特征向
量;
2如果A还是可逆矩阵，那么丄与£分别为A1和A的特征值，Xo为
0o
A1的属于特征值丄的特征向量，Xo为A的属于特征值—的特征向
00
量，
3若1,2,|||,n是矩阵A的全部特征值，那么g1,g2n就
是gA的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则丄,丄,|||,丄为A1
12n
的全部特征值，为A的全部特征值；
12n
2）若1,2,|||,n是矩阵A的全部特征值，那么trA12IIIn，
A12IIIn。
2.线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：
设是数域P上的线性空间V的线性变换，°P，若存在
0V，使得°，就称°为的一个特征值，为的一个
属于特征值0的特征向量。
（2）线性变换的特征多项式
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基
1,2,|||,n，设在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式
EnA为的特征多项式，记为f|EnA，即线性变换的特征
多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
（3）求法：
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1）取定V的一组基1,2,|||,n，求出在该基下的矩阵A；
2）求fIEnA在P中的所有根1,2,|||,m（0mn，重根按重数计算，且m0表示无特征值）。
3）若m0，对「1,川s解齐次线性方程组kEnAX0，得其一
个基础解系k1,k2,|||,从（Ikn秩kEnA），则线性变换的
属于特征值k的全部特征向量为
1,nsk1k1sk2k2川sk,lkk,lk，其中sk1,Sk2^|,sk,lk为P中
不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
（1）定义：
设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T,使得T1ATB，就称矩阵A相似于矩阵B，记为AB。
（2）性质：
1）矩阵相似是等价关系，即：
设A,B,C都是n级方阵，那么：
①A「A；②右A「B，那么BA；③右AB且BC，贝U
A、、C。
2）若A〜B，那么fAIEnAfBIEnB，因此矩阵A与矩
阵B有相同的特征值，相同的迹（trAtrB），相同的行列式
（|A|B）。
3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。
（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
（4）若T1ATB，那么BkT1AkT,kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
（1）矩阵可对角化
1）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T1AT为对角阵,则称A可对角化。
2）n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。
3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化
4）
EnA
11
111
1k
k
设1,2,|||,k是n级方阵A的所有不同的特征值,
称hi1,2,川,k为i的代数重数;
称sn秩iEnAi1,2,|||,k为i的几何重数;Slii1,2^|,k;
n级方阵A可对角化对i1,2，川,k都有i的代数重数=i的几何重
注：
1.设齐次线性方程组iEnAX0的解空间为Wi，则SdimW
2.称VCnAi为n级方阵A的属于特征值i的特征子空
间，那么sdimVi
（2）线性变换可对角化
1）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组
基，使得在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。
2）数域P上的n维线性空间V的线性变换可对角化有n个线性无
关特征向量。
3）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果有n个不同的特
征值，则可对角化。
4）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，在V的一组基下的矩
阵为A，
设1,2」||,k是n级方阵A的所有不同的特征值。
1若1，2，川,kP，那么:
可对角化对i1,2,|”,k都有i的代数重数=i的几何重数。
2若1,2,III，k不全在数域P中，则不可对角化。
注：
i的几何重数=dimVi，其中VjVi为的属于特
征值i的特征子空间。
四•线性变换的值域与核
1.定义：
设是数域P上的线性空间V的线性变换，将
10V0，VIV分别称为线性变换的核与值
域（10与V也分别记为ker与Im）。
2.
将dimV与
线性变换的秩与零度：
V与10都是V的子空间,
dim10分别称为的秩和零度。
3.
有限维线性空间的线性变换的值域与核
组基,
dim10nr
2Mb
3.求法:
设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换
4）
dimV
dim
1）10的求法：
1取定V的一组基1,2,|||,n，求出在该基下的矩阵A；
2解齐次线性方程组AX0,得其一个基础解系1,2,川，nr（r秩
A）；
③令k1，2,卅,
nkk
1,2,
ll|,nr
，得
10的一组基
1，2,|H,nr，
10L1,n
rk1
1k2
2Hl
knrnr
k1,k2,
knrP
2）V的求法：
①取定V的一组基
1,lll
n，
求出
在该基下的矩阵A;
②设矩阵A的列向量组为
1,2,l
求出1,
n的一个极大线
性无关组i1,i2,|||
ir就得到
1,
2'Hl'
n的一个极大线性
无关组l,
i2
ir
i1,i2
川'
i就是V的r
一组基。
VL1,
i2川'
ir
ki1li2
i2
Hlk
ir
11Ji2'|,
hrP
•不变子空间
4.线性变换的循环子空间：
设是数域P上的n0维线性空间V的线性变
换，任取0V,必存在正整数m，使得，，川，m1线性无关，
而,,|||,m线性相关，令WL,，川，m1，则W是
的不变子空间，称W为的循环子空间。
5.设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，W是的不变子空
间，0AA
基1,2，卅m,mlj||,n，那么在该基下的矩阵为A，其中A为W在W的基1,2,|||,m下的矩阵。
六.若尔当（Jordan）标准形
1.若尔当块与若尔当形矩阵:
1）若尔当块：
形式为
1
J,t■
0
的矩阵称为若尔当块，其中
为复数。
0
2）若尔当形矩阵：
由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵，其
一般形状如：
A
A
1i
>.1j
其中：
A1二，且1,2,|||,s中有些可以相等。
i
卜
1.
ik.k.
2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵
1）设是复数域C上的n0维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存在V的一组基，使得在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。
2）每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。
3.设是复数域上的n0维线性空间V的线性变换，那么幕零的特征值都为零。
的秩等于秩A=r，所以dimVr，即
的秩为秩A=r
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