第七章线性变换总结篇高等代数复习过程.docx

1、第七章线性变换总结篇高等代数复习过程第七章线性变换总结篇（高等代数）第7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域P上的线性空间V的一个变换 称为线性变换，如果对V中任意的元 素，和数域P中的任意数k，都有： ，k k 。注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设 为数域P上线性空间V的一个变换，那么:为V的线性变换 k3.线性变换的性质Ik l ,V, k,l P设V是数域P上的线性空间，为V的线性变换，1, 2,|, s, V性质1. 0 0, ；性质2.若1, 2, , s线性相关，那么 1 , 2 J Is也线性相关

2、。性质3.设线性变换 为单射，如果1, 2, III，s线性无关，那么1 , 2，|， s也线性无关。注：设V是数域P上的线性空间，1, 2,III，m， 1, 2,|, s是V中的两个向量 组，如果：记:1 C11 1 C12 22 C21 1 C22 2III III HIm Cm1 1 Cm2 2川,于是，若dim V n ,m是V中任意一组向量,记:那么:bi2Ib21b22b2n川,C1s sC2s sC12IGsC2sIIIn是V的一组基,如果:1bl1 12b21 1III III IIICm1Cm22,|, m2，|，mm的一个极大线性无关组,2 Hl2 HlCm1Cm2是V的

3、线性变换,b12 2b22 2IIIbm nPn nIII1，2，|，b1b2Ib21b22nCm1Cm24b2nIIIm是矩阵B的列向量组，如果i那么iii2 I ir就是m的一个极大线性无关组，因此向量组m的秩等于秩B 。4.线性变换举例(1)设V是数域P上的任一线性空间。零变换：0 0, V ；恒等变换： ， V。幕零线性变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使得m 0,就称 为幕零变换。幕等变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，如果 2 ，就称为幕等变换。(4)Pn n，A aj是V中一固定矩阵,AX, X Pn n。(3)线性变换的运算、矩阵1.加法、乘

4、法、数量乘法(1)定义：设V是数域P上的线性空间，是V的两个线性变换，定义它 们的和 、乘积 分别为：对任意的 V任取k P，定义数量乘积k为：对任意的 Vk k的负变换-为：对任意的 V则 、 、k与-都是V的线性变换(2)L V = 为V的线性变换，按线性变换的加法和数乘运算做成数域 P上的维线性空间2.线性变换的矩阵(1)定义：设V是数域P上的n维线性空间， 是V的线性变换，仆2,|, n是V的一组基,如果：1a111 a12 2 | a1n n2a211 a22 2| | a2n nIIIIIIIII1 an2 2 | | ann nnan1a11a21IIIan1那么称矩阵Aa121

5、1a22iiIIIF2为线性变换 在基1, 2,|, n下的矩1a1nIa2nIIIann阵。此时： 1,2, I n1, 2 IKn 1, 2, | H , n A(2)线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设1, 2,III，n是数域P上的n维线性空间V的一组基， ，L V，设它们在1, 2,|, n下的矩阵分别为A,B。1)f：LV Pnn , H A是数域P上的线性空间L V到数域P上的 线性空间Pnn的同构映射，因此L V Pnn。2 ） 可逆 A可逆3） 、与-在基1, 2,|, n下的矩阵分别为A B,AB与A ;2任取k P , k在基i, 2,|

6、, n下的矩阵为kA;3若 为可逆线性变换，则 1在基1, 2, |, n下的矩阵为A1 ；4设f x amxm am1xm1川a1x a0为数域P上的任一多项式，那么f am m ami m1川 印 a。（为V的恒等变换）在amAmam 1Am1| dA aEn。基1, 2,|, n下的矩阵为：三特征值、特征向量与对角矩阵1.矩阵的特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵，将多项式fA En A称为A的特征多项式。注：1 ）若A 3j ，贝U:j nn 7fAEn A n 1 ana22IIIa.” n1 HI 1 An 1 tr A n 1III1nA2）将En A称为矩阵

7、A的特征矩阵，EnA0称为矩阵A的特征方程。（2）定义：n级方阵A的特征多项式fA | En A在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设 C是A的特征值，齐次线性方程组En A X 0的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征值0的特征向（3） 求法:1求fA En A在复数域上的所有根1, 2,|卄，n （重根按重数计算）；2）对k k 1|n解齐次线性方程组 kEn AX 0,得其一个基础解系ki, k2|, k,ik（ Ln秩kEn A ），则矩阵A的属于特征值k 的全部特征向量为Ski ki Sk2 k2川Sk,ik k,lk，其中Sk1，Sk2,|，Sk,lk为不 全为零的任意常数（复数

8、）。（4） 重要结论：1） 设0 C是A的特征值，Xo是A的属于其特征值0的特征向量，g x为一复系数多项式。1g o为g A的特征值，Xo为g A的属于特征值g o的特征向量;2如果A还是可逆矩阵，那么 丄与分别为A1和A的特征值，Xo为0 oA 1的属于特征值 丄的特征向量，Xo为A的属于特征值的特征向0 0量，3若1, 2,|, n是矩阵A的全部特征值，那么g 1 ,g 2 n就是g A的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则 丄,丄,|,丄为A11 2 n的全部特征值，为A的全部特征值；1 2 n2） 若1, 2,|, n是矩阵A的全部特征值，那么tr A 1 2 III n，A 1 2

9、I I I n。2.线性变换的特征值与特征向量（1） 定义：设 是数域P上的线性空间V的线性变换， P，若存在0 V，使得 ，就称为的一个特征值， 为的一个属于特征值0的特征向量。（2） 线性变换的特征多项式设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基1,2,|, n，设 在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式En A为的特征多项式，记为f | En A，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3） 求法：设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换。1） 取定V的一组基1, 2,|, n，求出 在该基下的矩阵A ；2） 求f I En A在P中的所有根1, 2,|

10、, m（ 0 m n，重根按重 数计算，且m 0表示 无特征值）。3） 若m 0，对1,川s解齐次线性方程组 kEn A X 0，得其一个基础解系k1, k2,|,从（Ik n秩kEn A ），则线性变换 的属于特征值k的全部特征向量为1, n sk1 k1 sk2 k2 川 sk,lk k,lk ，其中 sk1, Sk2 | , sk,lk 为 P 中不全为零的任意常数。3.矩阵相似（1） 定义：设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的n级可逆 矩阵T ,使得T 1AT B，就称矩阵A相似于矩阵B，记为A B。（2） 性质：1)矩阵相似是等价关系，即：设 A,B,C都是n级方阵，

11、那么：AA ； 右AB，那么B A ；右A B且B C，贝UA、C。2)若AB，那么fA I En A fB I En B，因此矩阵A与矩阵B有相同的特征值，相同的迹(tr A tr B )，相同的行列式(|A |B )。3) 两个实对称阵相似 它们有相同的特征值。(3)有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。(4)若T 1AT B，那么 Bk T1AkT, k Z。4.线性变换与矩阵可对角化(1)矩阵可对角化1)设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T 1AT为对角阵, 则称A可对角化。2)n级方阵A可对角化 A有n个线性无关特征向量。3)如果n级方阵A有n个不同的特征值

12、，则A可对角化4)En A111111kk设1, 2,|, k是n级方阵A的所有不同的特征值,称hi 1,2,川,k为i的代数重数;称s n秩iEn A i 1,2,|,k为i的几何重数; S li i 1,2|,k ;n级方阵A可对角化 对i 1,2，川,k都有i的代数重数=i的几何重注：1.设齐次线性方程组 iEn AX 0的解空间为Wi，则S dim W2.称V Cn A i为n级方阵A的属于特征值i的特征子空间，那么s dim V i（2）线性变换可对角化1） 设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得 在该基下的矩阵为对角阵，就称 可对角化。2） 数域P上的n

13、维线性空间V的线性变换 可对角化 有n个线性无关特征向量。3） 设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果 有n个不同的特征值，则可对角化。4）设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换， 在V的一组基下的矩阵为A，设1, 2|, k是n级方阵A的所有不同的特征值。1若1，2，川,k P，那么:可对角化 对i 1,2,|”,k都有i的代数重数=i的几何重数。2若1, 2,III，k不全在数域P中，则 不可对角化。注：i的几何重数=dim Vi ，其中Vj V i为 的属于特征值i的特征子空间。四线性变换的值域与核1.定义：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，将1 0 V 0， V I V分

14、别称为线性变换 的核与值域（1 0与 V也分别记为ker与Im ）。2.将dim V 与线性变换的秩与零度： V与1 0都是V的子空间,dim 1 0分别称为的秩和零度。3.有限维线性空间的线性变换的值域与核组基,dim 1 0 nr2 Mb3.求法:设V是数域P上的n维线性空间， 是V的线性变换4)dim Vdim1) 1 0的求法：1取定V的一组基1, 2, |, n，求出 在该基下的矩阵A ；2解齐次线性方程组AX 0,得其一个基础解系1, 2,川，nr （ r秩A）；令k 1，2,卅,n k k1,2,ll|,n r，得1 0的一组基1，2, |H , nr ，1 0 L 1, nr

15、k11 k22 Hlkn r n rk1 ,k2 ,kn r P2） V的求法：取定V的一组基1, lll, n ，求出在该基下的矩阵A ;设矩阵A的列向量组为1, 2,l求出1,n的一个极大线性无关组i1, i2,|,ir就得到1 ,2 Hln的一个极大线性无关组 l ,i2iri1 , i2川i就是V的 r一组基。V L 1 ,i2川irk i1 li2i2Hl kir1 1 J i2 | ,hr P不变子空间4.线性变换的循环子空间：设 是数域P上的n 0维线性空间V的线性变换，任取0 V,必存在正整数m，使得， ，川，m1 线性无关，而,|, m 线性相关，令W L ,，川，m1 ，则W是的不变子空间，称W为的循环子空间。5.设V是数域P上的n维线性空间， 是V的线性变换，W是 的不变子空间，0 .1 j其中：A 1二 ，且1, 2,|, s中有些可以相等。i卜1 .i k. k.2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1） 设 是复数域C上的n 0维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存 在V的一组基，使得 在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。2） 每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。3.设 是复数域上的n 0维线性空间V的线性变换，那么 幕零 的特征 值都为零。的秩等于秩 A =r，所以dim V r，即的秩为 秩A =r