中考数学二次函数压轴题含答案.docx
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中考数学二次函数压轴题含答案
2017年中考数学冲刺复习资料：
二次函数压轴题
面积类
1.如图，已知抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点M是线段BC上的点（不与B,C重合），过M作MN//y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
（3）在
（2）的条件下，连接NB、NC,是否存在口，使厶BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题；数形结合.
分析：
（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物
线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：
Smnc=&mnc+Smnb=MN（OD+DB）=MN?
OB,MN的表达式在
（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于SABNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出厶BNC是否具有最大值.
解答：
解：
（1）设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-3）,贝U：
a（0+1）（0-3）=3,a=-1;
•••抛物线的解析式：
y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.
（2）设直线BC的解析式为：
y=kx+b，则有：
r3k+b=o
（g，解得—
123
已知点M的横坐标为m,MN//y,贝UM（m,-m+3）、N（m,-m+2m+3）;
•••故MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m（Ovmv3）.
（3）如图;
■/Sabnc=Samnc+S^mnb=MN（OD+DB）=MN?
OB,
点，已知B点坐标为（4,0）.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题；转化思想.
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明厶ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标.
（3）△MBC的面积可由Sambc=BC0表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点
M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一
个交点时，该交点就是点M.
解答：
解：
（1）将B（4,0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a—X4-2,即：
a=;
抛物线的解析式为：
y=x2-x-2.
（2）由
（1）的函数解析式可求得：
A（-1,0）、C（0,-2）;
•OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA?
OB，又：
OC丄AB,
•••△OACOCB，得：
/OCA=/OBC;
•••/ACB=ZOCA+/OCB=/OBC+/OCB=90°,
•△ABC为直角三角形，ABABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：
（,0）.
（3）已求得：
B（4,0）、C（0,-2）,可得直线BC的解析式为：
y=x-2;
设直线I//BC,则该直线的解析式可表示为：
y=x+b，当直线I与抛物线只有一个交点时，
可列方程：
x+b=x2-x-2,即：
x2-2x-2-b=0，且△=0;
•4-4X（-2-b）=0,即卩b=-4;
•直线I:
y=x-4.
所以点M即直线I和抛物线的唯一交点，有：
『瑪'-討2
jr，解得：
，即M（2,-3）.
［甘>-3
过M点作MN丄x轴于N,
GBMC=S梯形OCMN+Gmnb-ocb=X2X（2+3）+^2X3-^2X4=4.
平行四边形类
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3,0）、B（0,-3）,点P
是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积.
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待
定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.
专题：
压轴题；存在型.
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：
把A（3,0）B（0，-3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=-乞=时，PM最长为:
—=，再利用三角形的面积公式利用
2X（-1）4X（-1）
GABM=S^BPM+SSPM计算即可；
（3）由PM//OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四
边形为平行四边形，然后讨论：
当P在第四象限：
PM=0B=3,PM最长时只有，所以不可
能；当P在第一象限：
PM=0B=3,（t2-2t-3）-（t-3）=3;当P在第三象限：
PM=0B=3,t2-3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
解答：
解：
（1）把A（3,0）B（0,-3）代入y=x2+mx+n，得
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A（3,0）B（0,-3）代入y=kx+b,得
[-碍
，解得｛冒3
所以直线AB的解析式是y=x-3;
（2）设点P的坐标是（t,t-3），则M（t,t2-2t-3）,
因为p在第四象限,
所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t,
（3）存在，理由如下:
•/PM//0B,
（4）
PM=OB时，点P、M、B、0为顶点的四边形为平行四边形,
去），所以P点的横坐标是警;
点的横坐标是
所以P点的横坐标是
j/1
-.\
2
d\
f
J;
-
4.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0,1）,B（2,0）,O（0,
0）,将此三角板绕原点0逆时针旋转90°得到△ABO.
（1）一抛物线经过点A'、B'、B,求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P,使四边形PBAB的面积是△AB0面积4倍？
若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在
（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？
并写出四边形PBAB的两条性质.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
压轴题.
分析：
（1）利用旋转的性质得出A'（-1,0）,B'（0,2）,再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S四边形PBAB=S^BOA+SaPB0+S^POB,再假设四边形PB'A'B的面积是厶AB0面积的4
倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PBAB为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可.
解答:
解：
（1）△ABO是由△ABO绕原点0逆时针旋转90°得到的,
又A（0,1），B（2，0），O（0，0）,
•••A（-1,0）,B'（0,2）.
方法一：
设抛物线的解析式为：
y=ax2+bx+c（a^0,
•••抛物线经过点A'、B'、B,
设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-2）
将B'（0,2）代入得出：
2=a（0+1）（0-2）,
解得：
a=-1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2；
（2）TP为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x,y）,则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PB,PO,PB,
•S四边形PBAB=S^BOA+PBO+S^POB,
=X1><2+X2^<+X2>y,
2
=x+（-x2+x+2）+1,
=-x2+2x+3.
•/AO=1,BO=2,•••△ABO面积为：
X1X2=1,
假设四边形PBAB的面积是厶ABO面积的4倍，则
4=-/+2x+3,
即x2-2x+1=0,
解得：
X1=X2=1,
此时y=-12+1+2=2，即P（1,2）.
•••存在点P（1,2）,使四边形PB'A'B的面积是厶ABO面积的4倍.
（3）四边形PB'A'B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等.（10分）
或用符号表示：
1/B'AB=/PBA或/AB'P=/BPB②PA'BB;③B'P//A'B;④BA'PB.
--（10分）
（1）求抛物线顶点A的坐标;
（2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断厶ABD的形状；
（3）在直线I上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题；分类讨论.
分析:
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线I的
解析式中即可求出点A的坐标.
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标•则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状.
（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD二PB、②AB「PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列
方程求出P点的坐标.
解答：
一2
解：
（1）•••顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x-5上，
2
•••当x=1时，y=1-5=-4,
二A（1,-4）.
（2）△ABD是直角三角形.
将A（1，-4）代入y=x2-2x+c,可得，1-2+c=-4,•c=-3,
•y=x2-2x-3,「.B（0,-3）
当y=0时，x2-2x-3=0,X1=-1,x2=3
•C（-1,0）,D（3,0）,
BD2=OB2+OD2=18,AB2=（4-3）2+12=2,AD2=（3-1）2+42=20,
BD2+AB2=AD2,
•/ABD=90°即厶ABD是直角三角形.
（3）存在.
由题意知：
直线y=x-5交y轴于点E（0,-5），交x轴于点F（5,0）
•0E=0F=5,
又•••0B=0D=3
•△OEF与厶OBD都是等腰直角三角形
•BD//I,即FA//BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P（*,刃-5）,贝UG（1,X1-5）
则PG=|1-Xj|,AG=|5-X1-4|=|1-*|
FA=BD=3:
■:
由勾股定理得：
（1—Xi）2+（1-xi）2=18,xi2—2xi-8=0,xi=-2或4
•••P（-2,-7）或P（4,-i）,
存在点P（-2,-7）或P（4,-i）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.
周长类
6.如图，RtAABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，0为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3,0）、（0,4）,抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上.
（i）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到厶DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出
P点的坐标；
（4）在
（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作//BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？
若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
压轴题.
分析：
（1）根据抛物线y=Zj+b站©经过点B（0,4）,以及顶点在直线x=上，得出b,c
3
即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质
得出x=5或2时，y的值即可.
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；
（4）利用MN//BD，得出△OMNOBD，进而得出£二丄，得到ON」—，进而表示出
OB0D於
△PMN的面积，禾U用二次函数最值求出即可.
解答:
解：
（1）•••抛物线
-；■:
.-f-经过点B（0,4）.・.c=4,
•所求函数关系式为
（2）在RtAABO中，OA=3,OB=4,•AB吋°扎?
+0哄=5,
••四边形ABCD是菱形，•BC=CD=DA=AB=5,
•C、D两点的坐标分别是（5,4）、（2,0）,当x=5时，y=£x护—葺X5+4=4,
当X=2时，y=£X护一葺X2+4=0,
•••点C和点D都在所求抛物线上；
（3）
设CD与对称轴交于点P,贝UP为所求的点,
5k+b=4
2k4b=0
，二P
当x=时，y=_-——-_
323~3
（4）TMN//BD,
设对称轴交x于点F,
”电t（Ovtv4）,
a=-vO「.抛物线开口向下，S存在最大值.
等腰三角形类
7.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120。
至OB的位置.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、0、B的抛物线的解析式；
（3）
在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题；分类讨论.
分析:
（1）首先根据0A的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和0B的长（即0A长）确定B点的坐标.
（2）已知0、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式.
（3）根据
（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而0、
B坐标已知，可先表示出△0PB三边的边长表达式，然后分①0P=0B、②0P=BP、③0B=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点.
解答：
解：
（1）如图，过B点作BC丄x轴，垂足为C,则/BC0=9O°•••/A0B=120°,•••/B0C=60°,
又•0A=0B=4,•0C=0B=X4=2,BC=0B?
si门60。
=4^二=2.:
•••点B的坐标为（-2,-23）;
（2）•••抛物线过原点0和点A、B，•可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A（4,0）,B（-2.-2*）代入，得
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2,y）,
1若OB=OP，
则22+|yf=42，解得y=±2二
•••/POD=60°,
•••/POB=ZPOD+/AOB=60°+120°=180°,
即P、O、B三点在同一直线上，
•y=2沖不符合题意，舍去，
•••点P的坐标为（2,-2.「；）
2若OB=PB,则42+|y+2：
；|2=42,
解得y=-2「：
:
，
故点P的坐标为（2,-2：
；）,
3若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2_习2,
解得y=-2.「；，
故点P的坐标为（2,-2:
';）,
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2,-2.-；）,
&在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2），点C（-1,0）,如图所示：
抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
压轴题.
分析：
（1）根据题意，过点B作BD丄x轴，垂足为D;根据角的互余的关系，易得B到x、y轴
的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答
案.
解答：
解：
（1）过点B作BD丄x轴，垂足为D,
•••/BCD+/ACO=90°,/ACO+ZCAO=90°
•••/BCD=ZCAO,（1分）
又tZBDC=ZCOA=9O°CB=AC,
•••△BCD◎△CAO,（2分）
•BD=OC=1,CD=OA=2,（3分）
•••点B的坐标为（-3,1）;（4分）
（2）抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3,1）,
则得到1=9a-3a-2,（5分）
解得a=,
所以抛物线的解析式为y=x2+x-2；（7分）
（3）假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形厶ACP1,（8分）
过点P1作P1M丄x轴，
tCPi=BC,/MCPi=/BCD，/PiMC=/BDC=90°
•••△MPiC^ADBC.（10分）
•••CM=CD=2,PiM=BD=1，可求得点Pi（1,-1）;（11分）
2若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2丄CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形厶ACP2,（12分）过点P2作P2N丄y轴，同理可证△AP2N◎△CAO,（13分）
•-NP2=OA=2,AN=OC=1，可求得点P2（2,1）,（14分）
经检验，点P1（1,-1）与点P2（2,1）都在抛物线y=/+x-2上.（16分）
9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0）,如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
代数几何综合题；压轴题.
分析：
（1）首先过点B作BD丄x轴，垂足为D，易证得厶BDCCOA，即可得BD=OC=1,
CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点Pi使得PiC=BC,得到等腰直角三角形ACPi,过点Pi作PiM丄x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2丄CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N丄y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3丄CA,且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H丄y轴，去分析则可求得答案.
解答：
解：
（1）过点B作BD丄x轴，垂足为D,
•••/BCD+/ACO=90°,/AC0+ZOAC=90°
•••/BCD=/CAO,
又•••/BDC=/COA=90°CB=AC,
•••△BDCCOA,
•BD=OC=1,CD=OA=2,
•••点B的坐标为（3,1）;
（2）•••抛物线y=ax2-ax-2过点B（3,1）,
•1=9a-3a-2,
解得：
a=,
•抛物线的解析式为y=x2-x-2;
（3）假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形，
1若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M丄x轴，如图
（1）,
•CP1=BC,ZMCP1=ZBCD，/P1MC=ZBDC=90°
•△MPjCBADBC,
•CM=CD=2,P1M=BD=1,
二p1（-1，-1）,经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上；
2若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2丄CA,且使得AP2=AC,
得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N丄y轴，如图
（2）,
同理可证厶AP2NBACAO,
•NP2=OA=2,AN=OC=1,
•P2（-2,1）,经检验P2（-2,1）也在抛物线y=/-x-2上;
3若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3丄CA,且使得AP3=AC,
得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H丄y轴，如图（3）,
同理可证厶AP3HCAO,
二HP3=OA=2,AH=OC=1,
-P3（2,3）,经检验P3（2,
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