不定积分知识题与答案解析.docx
《不定积分知识题与答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分知识题与答案解析.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
不定积分知识题与答案解析
1、求下列不定积分
1）
dx
~2
X
3）（x2）2dx
5）
23x
3x
第四章不定积分
52：
dx
7）（2ex3）dx
x
（A）
2）
4）
dx
x2x
2
x——dx
x
cos2x
6）2厂dx
cosxsinx
2、求下列不定积分（第一换元法）
1）（32x）3dx
dx
323x
4）
dx
xInxln（Inx）
dx
cosxsinx
6）
dx
xx
ee
2
7）xcos（x）dx
3x3
8）1^dx
sinx
9）3—dx
cosx
10）fx2dxV94x
11）
dx
2x21
12）cos3xdx
13）sin2xcos3xdx
3
14）tanxsecxdx
3
x,
15）2dx
9x2
2arccosx
17）1dx
x2
18）
arctan、x
.x（1x）
dx
3、求下列不定积分（第二换元法）
1）一1一dx
xJx2
2）sin一xdx
3）
「dx
x
2
4）r_^=dx,（a0）
:
22
ax
dx
（x21）3
dx
1、2x
7）
xJx2
8）
dx
1,1x2
4、求卜列不定积分（分部积分法）
1）
xSnxdx
2）
arcsinxdx
3）
x2Inxdx
4）
esindx
2
5）
x2arctanxdx
6）
x2cosxdx
22X
7）Inxdx
8）Xcosdx
2
5、求下列不定积分（有理函数积分）
3
X
1）dx
x3
2x3,
2）二dx
x23x10
dx
x（x21）
（B）
1、一曲线通过点（e2,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲
线的方程。
2、已知一个函数F（x）的导函数为亍丄歹，且当x1时函数值为-，试求此函数。
*1X2
3、证明：
若f（x）dxF（x）c,贝U
1
f（axb）dxF（axb）c,（a0）。
a
sinx
4、设f（x）的一个原函数为，求xf（x）dx。
1）
COS2xdx
2
2）
■,1sin2xdx
3）
1
arcta
x
4）
x.1xdx
1x
dx
2222~
（xa）（xb）
6）
xdx
x，2ax
Inxdxx、1Inx
arctanxxe
（1
—dx
x2尸
1、求以下积分
1）
xxe
dx
arctanex,
3）办dx
e
（C）
2）
dx
sin（2x）2sinx
4x31
dx
5）
5x
zdx
6）
SinxcOSxdxsinxcosx
8x
1
第四章不定积分
习题答案
（A）
1
1、
（1）—c
x
132
（3）—x2x4xc
3
5
（2）x
（5）2x3c
In2In3
（2）
（4）
（6）
（7）2ex3lnxc
（8）
2、
（1）-（32x）4c
（2）
（3）2COS'tc
（4）InInInx
xarctanxc
（cotx
2
4（x7）
74x
-（2
tanx）c
2
3x）3c
（5）Intanxc
（6）arctanex
12
（7）sin（x）c
1
（9）—c
2cosx
3
（8）-ln1x
4
12x（10）arcsin
2
-V94x2
4
（11）
2.2ln|.2x1
（12）sin
.3
sinx
（13）
11
cosxcos5x
210
（15）
1292
2x严x）
（17）
1°2arccosx
c
2ln10
3、
（1）lncsctcottc
（3）2（tan亠
2
2
a,.x
（4）（arcsin
a
x
⑸—厂X2
（14）^sed
3
secxc
1
（16）arctan
2、3
2
.3c
（18）（arctan.x）2c
（2）2（、xcos、xsinx）
arccos-）c
x
x2
—2,aa
（6）,2xln（1
■.2x）c
1
（7）（arcsin
2
xIn
c（8）arcsinx
4、
（1）xcosxsinx
（2）xarcsinx
1313
xInxx
39
13
xarctanx
3
-e2x（cos^
172
4吨）
2.
xsinx
xln
ln（1
6
x2）
2xcosx
2xInx
2sinx
2xc
13
x
6
5、
（1）^x3
（8）
1
xsinx
xcosx
sinx
32Q
x9x
2
27lnx
（2）Inx
lnx5
12
⑶Inxln（x1）
1
（4）Inx-Inx
121ln（x1）arctanx
42
x21
x2x1
仝arctan2x1c
3出
（B）
设曲线y
f（x），由导数的几何意义：
y丄
x
-dxlnxc，点（e2,3）代入即可。
x
设函数为
1
F（x），由F（x）f（x）「1x^，
F（x）
）即可解出c。
3f（x）dxarcsinxC，代入（1,-
由假设得
F（x）f（x）,F（ax
b）f（ax
b），故
[-F（axb）]F（axb）,a
f（ax
b）dx
1
F（axb）c。
a
4、把f（x）凑微分后用分部积分法。
cosx
x1
5、
（1）用倍角公式：
cos2-
22
（2）
注意cosxsinx0或cosxsinx
0两种情况。
d（arccotx）。
11
（3）
禾U用arctanarccotx,2dx
x1x2
先分子有理化，在分开作三角代换。
（5）化为部分分式之和后积分。
2
（6）可令x2asint。
22
（7）可令xa（ba）sint,则bx（ba）cost。
f
（8）令1Inxto
（9）分部积分后移项，整理。
（10）凑earctanx后分部积分，再移项，整理。
人x
（11）令tanto
（12）变形为
dx
x3（X2）4后，令：
2t，
x2
再由1
x2
t2，两端微分得Jdx2tdt。
（x2）
（C）
1）解：
令u
■.ex1，则xln（1u2
）,dx卅
所以原式2ln（1u2）du2uln（1u2）
2uln（1u
）4u4arctanu
2xex1
4ex
4arctan.ex
2）解：
方法一:
原式
dx
2sinx（1cosx）
d（|）
sin-cos3x
2
x
d（tan?
）
丄x2x
tan-cos-
22
…2x
1tan—
12
4.x
tan—
2
x方法二：
令tan—
2
方法三：
变形为
xd（tany
1tan2x
8
1lntan^
4
sinxdx
2
2（1cosx）（1cosx）
，然后令
cosxu
再化成部分分式积分。
3）解：
原式
1arctanexd（e2x）
12xx
[earctane
2
d（ex）
2x2x]
e（1e）
（令exu）
A[e2xarctanex
2
廿］
解:
原式
解:
原式
解:
原式
1（sinx
2
sin
2（sinx
-（sinx
^（sinx
][e2xarctanex
2
1
e
2
2xx
arctane
4x
-d（x3）
1
1[
3
（x
3
1）4d（x3
7
1）4
4
9（x
1）
3
1）N
du
u2
dx一
2
du
~2u
4x3
/3
（x
d（x2
arctanex
1d（x3）
1
1
1）"d（x3
x
222（xx）
c
c
4x
<2x2
1
4x
V2x2
1
2
1ln
4.2
4」
12sinxcosx
^dlx
sinxcosx
cosx）2,
dx
xcosx
cosx）
cosx）
cosx）
dx
2sinxcosx
1）]
2）
d（x3）]
1
1
2、2
1
22
1
4.2
sin（x-）
dcos（x—）
2
1cos（x—）
[
1cos（x）1cos（x）
44
]dcos（x—）
（sinxcosx）
1
42
1
In-
cos（x—）
4
cos（x—）
2厂dx
3cosx4sinx
升级会员 