八上平面几何难题集锦.docx
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八上平面几何难题集锦
八年级平面几何难题集锦
1.如图，已知等边△ABCP在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP
2•点
C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交
4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三
角形CDEAD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结
论:
7.在厶ABC中，ABBC2,ABC120°将△ABC绕点B顺时针旋转角
（0°90°得厶ABG,AiB交AC于点E,AG分别交AC、BC于D、F两
点.如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EAi与FC有怎样的数量关系？
并证明你的
结论；
8.
如图所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的
垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：
/ADC=ZBDE
9.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A,B重合），另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F.
⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时：
1通过测量DEEF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是;
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
3请证明你的上述两猜想•
⑵如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
H14-1014-2
10.已知Rt△ABC中，ACBC,/C90,D为AB边的中点，EDF90°,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.
1
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1）,易证S^DEFS^CEF-S^ABC
2
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否
成立？
若成立，请给予证明；若不成立，Sadef、Sacef、Saabc又有怎样的数量关系？
请
写出你的猜想，不需证明.
12.等边△ABCDABC外一点，/BDC=120,BD=DCZMDN=60射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,
1当点MN在边ABAC上，且DM=DN寸，直接写出BMNCMN之间的数量关系.
2当点MN在边ABAC上，且DWDN时，猜想①中的结论还成立吗？
若成立，请证明.
3当点MN在边ABCA的延长线上时，请画出图形，并写出BMNCMN之间的数量关系.
13.如图1,BD是等腰Rt从BC的角平分线，ZBAC=90
（1）求证BOAE+AD
（2）如图2,AF丄BD于F,CE丄BD交延长线于E,求证：
BD=2CE
15.如图，四边形ABCD中,AC平分/BADCELAB于E,AD+AB=2AE则/B与/ADC互补.
为什么？
17.如图，在△ABC中/ABC,/ACB的外角平分线交P.求证:
AP是/BAC的角平分线
19.如图，已知在厶ABC中，/B=60°,AABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：
0E=0D
20.
如图所示，已知在厶AEC中，/E=90°，AD平分/EACDF丄AC,垂足为F,DB=DC求证：
BE=CF
21.如图①，0P是/M0N勺平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，/ACB是直角，/B=60°,ADCE分别是/BAG/BCA的平分线，ADCE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）
如图③，在△ABC中，如果/ACB不是直角，而⑴中的其它条件不变，请问，你
24.已知：
如图，△ABC中，/ABC45°,CDLAB于D,BE平分/ABC且BE!
AC于E,与
CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G
（!
）求证：
BF=AC
1
（2）求证：
⑶CE与BC的大小关系如何？
试证明你的结论。
25.如图，在四边形ABCD中,AB=BCBF是/ABC的平分线，AF//DC连接AGCF,求证:
CA是/DCF的平分线。
26.数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中
点.AEF90°，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证：
AE=EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M连接ME则AM=EC易
证△AMEECF，所以AEEF.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF'仍然成立•你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
图1图2图3
27.△ABC中，/BAC=60，/C=40°AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证：
AB+BP=BQ+AQ
28•问题背景，如下命题：
1如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角/ACK勺平分线,若/ANM=60,贝UAN=NM
2如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角/DCK的平分线，若/ANM=90，贝UAN=NM
3如图3,在正五边形ABCD冲,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角/DCK的平分线,若/ANM=108,贝UAN=NM
⑴请你证明以上三个命题；
⑵请你继续完成下面的探索：
①如图4,在正n（n>3）边形
图2
ABCDEF•中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角/DCK
的平分线，问当/ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）•
②如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=CD,f为BC延长线上一点,CM为/DCN的平分线,若/ANM==ABC,请问AN=NM!
否还成立？
若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
29.如图，在△ABC中，/A=90°,D是AC上的一点,
PF丄AC,E、F为垂足.求证：
PE+PF=AB
BD=DCP是BC上的任一点，PE!
BD,
A
30.如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm/B=ZC,
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点点C向点A运动.
1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过明理由；
2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶
与厶CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发,时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在厶ABC的边上相遇？
（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
BC=4cm点D为AB的中点.
B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由
1秒后，△BPD与△CQP是否全等,
请说
BPD
都逆
31.已知：
在厶ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接在AD的左侧作等腰直角△ADE解答下列各题：
如果AB=AC/BAC=90.
（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD,CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？
为什么？
32.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（AD、E、F按逆时针排列），使/DAF=60，连接CF.
（1）如图1,当点D在边BC上时，求证：
①BD=CF②AC=CF+CD
（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD!
否成立？
若不成立，请写出AGCF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出ACCF、CD之间存在的数量关系.
33.
在厶ABC中，ADLBC,BE丄AC,D、E为垂足，AD与BE交与点H,BD=AD求证：
BH=ACBE丄AD
34.如图14-1，在△ABC中,BC边在直线I上，AdBC且AC=BC.AEFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF=FP.
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将厶EFP沿直线I向左平移到图14-2的
位置时，EP交AC于点Q连结AP,BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将厶EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q连结APBQ你认为
（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
35.如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为边BCCD的中点，AF、DE相交于点G则可得结论：
①AF=DE②AF丄DE.（不需要证明）
（1）如图2,若点E、F不是正方形ABCD勺边BCCD的中点，但满足CE=DF则上面的结
论①、②是否仍然成立？
（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF
此时上面的结论①、②是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由•
36.如图1,A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF过E、F分别作DEIAC,BF丄AC,若AB=CD
试说明BD平分EF;若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF,请说明理由。
37.如图，△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF1AE垂足为
F,过B作BDLBC交CF的延长线于D.
求证：
（1）AE=CD
（2）若AC=12cm，求BD的长.
38.如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，/DEA=Z
ACB=90，/DAE=/ABC=30,E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD中点M连接
MEMC试判断△EMC勺形状，并说明理由.
39.已知
P
BECF是厶ABC的高，且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
40.在Rt△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中点，DGLAC交AB于点G.
（1）如图1,E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FH丄FC交直线AB于点H.
1求证：
DG=DC
2判断FH与FC的数量关系并加以证明.
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上,
（1）中的其他条件不变，借
助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在
（1）中得出的结论是否
发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）
41.如图，AD//BC,AD=BCAE丄AD,AF丄AB,且AE=ADAF=AB求证：
AC=EF
42.直线CD经过BCA的顶点C,CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BECCFA.
（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
44.
操作：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角/BDC=120°的等腰三角形，以D为顶
点作一个60°角，角的两边分别交ABAC边于MN两点，连接MN探究：
线段BMMNNC之间的关系，并加以证明.
45.
如图，已知E是正方形ABCD勺边CD的中点，点F在BC上，且/DAENFAE求证：
AF=AD-CF
46.如图所示，已知△ABC中，AB=ACD是CB延长线上一点，/ADB=60,E是AD上一点,
且DE=DB求证：
AC=BE+BC
47.在厶ABC中，BD=DCED丄DF.求证：
BE+CF>EF.
48.已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB=90,F是AB的中点，直线I经过点C,分别过点A、B作I的垂线，即AD±CE,BE丄CE,
（1）如图1,当CE位于点F的右侧时，求证：
△ADC^ACEB
（2）如图2,当CE位于点F的左侧时，求证：
ED=BE-AD
（3）如图3,当。
丘在厶ABC的外部时，试猜想EDADBE之间的数量关系，并证明你的猜想.
ItI
'A
7尸
B
图1
圏2
49.如图1、图2、图3,AAOB△CO［均是等腰直角三角形，/AOB=ZCOD=90o,
（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？
请说明理由。
（2）若厶COD绕点O顺时针旋转一定角度后，至U达图2的位置，请问AC与BD还相等吗,
还具有那种位置关系吗？
为什么？
（3）若厶。
00绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗?
（4）
还具有上问中的位置关系吗？
为什么？
P是厶ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ使/QAPZBAC连接BQCP贝UBQCP”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ^AACP从而证得BOCP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BOCP仍然成立，请你就图②给出证明.
51•将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和
△DEF.且△ABC也△DEF。
将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF
绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点0.
①当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）,C,D在同一直线上时，AFD与DCA的
数量关系是•
②当△DEF继续旋转至如图③位置时，
（1）中的结论还成立吗？
A0与DO存在怎样的数量关系？
请说明理由.
52.正方形ABCD中,E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.
53.已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,ZABC120o,
ZMBN60o,ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）
于E,F•当ZMBN绕B点旋转到AECF时（如图1）,易证AECFEF•当
ZMBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明.
54.已知：
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使P、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图,当/APB=45时,求AB及PD的长；
（2）当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.
55.在等边ABC的两边ABAC所在直线上分别有两点MN,D为VABC外一点，且
MDN60,BDC120,BD=DC.探究：
当MN分别在直线ABAC上移动时，BM
NCMN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
图1图2图3
（I）如图1，当点MN边ABAC上，且DM=DN时，BMNGMN之间的数量关系是;此匕时—;
L
（II）如图2,点MN边ABAC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（III）如图3,当MN分别在边ABCA的延长线上时，
若AN=X，贝UQ（用X、L表示）.
56.如图，正方形ABCD勺边长为1,G为CD边上一动点（点G与CD不重合），
一边向正方形ABCD外作正方形GCEF连接DE交BG的延长线于H。
求证：
①△BCG^ADCE②BH丄DE
57.
以CG为
（1）如图乙点0是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD连结AC和BD相交于点E,连结BC.求/AEB的大小；
58.
如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2/ABC=ZAED=90，求五边形ABCDE勺面积
59.
（1）如图1，现有一正方形ABCD将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由.
（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PEPF之间有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有
（2）中的数量关系？
如果
有，请说明
60.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF45,AHEF,H为垂足，求证：
AHAB.
61.如图，正方形ABCD中，FADFAE.求证：
BEDFAE.
F
62.如图，在等腰
ABC中，ABAC,D是BC的中点，过A作AEDE,AF
DF,
且AEAF•求证:
EDBFDC.
/
A
A
F
B
DC
63.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是腰AB,AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G,求证：
DG=EG.
64•等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）
A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°
65.如图，在△ABC中，AB=7,AC=11，点M是BC的中点，AD是/BAC的平分线，MF//AD，贝UCF的长为.
66.如图，已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF.
67.
如图，△ABC中，AD丄BC于D，/B=2/C,求证：
AB+BD=CD.
68.
如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：
△CMN是等边三角形.
69•如图，/MAN=16°,Ai点在AM上，在AN上取一点A2,使A2Ai=AAi，再在AM上取一
点A3，使A3A2=A2Ai，如此一直作下去，至U不能再作为止，那么作出的最后一点是（
）
A.A5B.A6C.A7D.A8
70.如图，在△ABC中，AD是/BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME//AD交BA
1
延长线于E,交AC于F，求证：
BE=CF=（AB+AC）.
2
71.如图，/A=120o,且/仁/2=73和/4=/5=76,则/BDE=（）
A.60oB.70oC.80oD.不能确定，具体由三角形的形状确定
72.已知AC平分/DAB,CE丄AB于E,AB=AD+2BE，则下列结论：
①
（AB+AD）;②/DAB+ZDCB=180;@CD=CB;®S^ace-S^bce=S^adc.其中
正确结论的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
73.三角形ABC内部有2017个点，以顶点A,B,C和这2017个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？
75.如图，已知RtAABC中，/C=90°,D是AB上一点，作DE丄BC于E,若
BE=AC,BD=-,DE+BC=1，求：
/ABC的度数.
76.如图，已知△ABC中，/A=90°，AB=AC，/仁/2，CE丄BD于E.求证:
77.如图，点C在线段AB上,DA丄AB，EB丄AB,FC丄AB，且DA=BC,EB=AC，
FC=AB，/AFB=510，求/DFE度数.
£
78.如图，点D是厶ABC三条角平分线的交点，/ABC=68
（1求证：
/ADC=124;
（2）若AB+BD=AC，求/ACB的度数.
79.问题提出：
如何把一个等边三角形分割成n个（n》9）个小等边三角形.解决问题：
（1）把一个等边三角形分割成4个小等边三角形，这个步骤我们称为基本分割法1，请在图a中画出草图.
（2）把一个等边三角形分割成6个小等边三角形，这个步骤我们称为基本分割法2，请在图b中画出草图.
（3）分别把图c、图d和图e的等边三角形分割成9个、10个和11个小等边三角形.
问题解决：
（4）请你写出把一个等边三角形分割成n个（n》9）个小等边三角形的分割方
80.三角形ABC中，BC=6,AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2,
（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积；
（2）当AB变化时，求证：
AP的值为定值，并求出这个定值.
81.设计师要用四条线段CA,AB,BD,DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，/C与/D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm,9cm,5cm,第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值.
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