6正比例和反比例苏教版六年级下册数学期末复习专题讲义知识点归纳+典例讲解+同步测试.docx
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6正比例和反比例苏教版六年级下册数学期末复习专题讲义知识点归纳+典例讲解+同步测试
苏教版六年级下册数学期末复习专题讲义-6.正比例和反比例
【知识点归纳】
知识点一、正比例的意义及应用
（1）正比例的定义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
（2）如果用字母x和y分别表示两种相关的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系式可用x/y=k。
（3）判断两种量是否成正比例的应用方法：
1、判断两个是否相关联；2、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；反之不成正比例关系。
（简说：
用除法，商一定，成正比）
知识点二、正比例的图像
正比例图像是一条直线。
从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
知识点三：
反比例的意义及应用
（1）反比例的定义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。
（2）如果用字母x和y分别表示两种相关的量，用k表示它们的比值（一定），反比例关系式可用x×y=k。
（3）判断两种量是否成反比例的应用方法：
1、判断两个是否相关联；
2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。
（简说：
用乘法，积一定，成反比）
知识点四：
用正反比例解应用题
（1）判断题目中相关联的量成什么关系，列出等量关系式；
（2）设未知数，列方程；
（3）解方程并检验写答。
【典例讲解】
例1．下面说法正确的是（ ）
A．和一定，两个加数成正比例
B．龙一鸣从家到学校，已行路程和剩下路程成反比例
C．圆的面积和半径成正比例
D．每公顷水稻产量一定，水稻的总产量与公顷数成正比例
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：
和一定，两个加数既不是比值一定，也不是乘积一定，所以不成比例；A错误；
龙一鸣从家到学校，已行路程和剩下路程既不是比值一定，也不是乘积一定，所以不成比例；B错误；
圆的面积和半径既不是比值一定，也不是乘积一定，所以不成比例；C错误；
水稻的总产量÷公顷数＝每公顷水稻产量（一定），是比值一定，所以水稻的总产量与公顷数成正比例；D正确．
故选：
D．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
例2．优优拿一些钱去买饮料，饮料的单价与购买的瓶数如表．
单价/元
1
2
4
5
6
瓶数
60
30
15
12
10
因为 总价 一定，瓶数随着 单价 的变化而变化．单价提高，瓶数 减少 ；单价降低，瓶数 增加 ，而且单价和瓶数的 积 一定，所以单价和瓶数成 反 比例关系．
【分析】通过观察表中数量，发现单价和瓶数是相关联的量，单价变化，瓶数也随着变化，通过计算出单价与数量的乘积，发现单价和瓶数的积一定，符合反比例的意义，所以单价和瓶数是反比例的关系．
【解答】解：
1×60＝60
2×30＝60
3×20＝60
4×15＝60
5×12＝60
可得：
因为总价一定，瓶数随着单价的变化而变化，单价提高，瓶数减少；单价降低，瓶数增加，而且单价和瓶数的积一定，我所以单价和瓶数成反比例关系．
故答案为：
总价，单价，减少，增加，积，反．
【点评】此题主要考查正、反比例的意义，知识点：
成反比例关系的两种量必须具备：
①相关联；②一种量变化，另一种量也随着变化，且变化方向相反；③这两种量中相对应的两个量的积一定．
例3．如果y＝8x，那么y和x成正比例． √ （判断对错）
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：
因为y＝8x，所以y：
x＝8（一定），是比值一定，所以y和x成正比例，所以原题说法正确．
故答案为：
√．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
例4．某物流公司将120t货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表．
载质量/t
2.5
3
5
10
数量/辆
48
40
24
12
（1）请把上表填写完整．车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？
（2）如果用载质量为6t的卡车来运，一共需要多少辆？
（3）如果用15辆卡车来运，每辆卡车运多少吨？
【分析】2.5×48＝3×40＝120，得出：
运用车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量，则用总重量分别除以5，10求出各用的辆数．填写统计表．
（1）由统计表中的数量可以看出，车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．
（2）运用总重量除以6就是运用卡车的量数．
（3）运用总重量除以卡车的量数15就是每辆卡车运多少吨．
【解答】解：
3×40÷5
＝120÷5
＝24（辆）
3×40÷10
＝120÷10
＝12（辆）
载质量/t
2.5
3
5
10
数量/辆
48
40
24
12
（1）因为2.5×48＝120（吨）
3×40＝120（吨）
因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，
所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．
（2）120÷5＝24（辆）
答：
用载重量6吨的卡车来运，一共需要24辆．
（3）120÷15＝8（吨）
答：
每辆卡车运8吨．
故答案为：
24；12．
【点评】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力．
例5．李伯伯准备把一些苹果装箱．
每箱质量/kg
5
6
12
15
20
…
箱数
60
50
25
20
15
…
（1）表中有哪两种量？
它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中对应两个数的积，并比较积的大小，说一说这个积表示什么．
（3）每箱质量与箱数成反比例关系吗？
为什么？
【分析】
（1）表中有每箱的质量和箱数两种量，它们是相关联的量．
（2）每箱的质量×箱数＝苹果的总质量，据此解答．
（3）因为每箱的质量×箱数＝苹果的总质量（一定），所以每箱的质量和箱数成反比例．据此解答．
【解答】解：
（1）表中有每箱的质量和箱数两种量，它们是相关联的量．
（2）5×60＝300
6×50＝300
12×25＝300
…
积相等，这个积表示苹果的总质量．
（3）因为每箱的质量×箱数＝苹果的总质量（一定），所以每箱的质量和箱数成反比例．
【点评】此题考查的目的是理解掌握反比例的意义及应用，即两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种相关联的量中相对应的两个数的积一定，这两种相关联的成反比例．
【同步测试】
一．选择题（共10小题）
1．《海口晚报》的单价一定，购买的份数和总价（ ）
A．成正比例关系B．成反比例关系
C．不成比例关系D．不确定
2．煤的总量一定，每天烧煤量和烧煤的天数（ ）关系．
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．无法判断
3．8x＝5y，x与y（ ）
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．无法判断
4．x和y成反比例关系的式子是（ ）
A．xy＝9B．C．5x＝y
5．如果两个数字比值（ ），那么这两个数字成正比例关系
A．相反B．一定C．不确定
6．下面两种量成正比例关系的是（ ）
A．海水的含盐率一定，晒出的盐的质量与海水的质量
B．总米数一定，修路的天数和每天修路的米数
C．总价一定，购买钢笔的单价与钢笔的支数
7．如果a﹣2b＝0，那么a和b（ ）
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．无法确定
8．表示x和y成反比例关系的式子是（ ）
A．y﹣x＝8B．xy＝C．x÷y＝8
9．下面各题中的两个量成正比例的是（ ）
A．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高
B．稻谷每公顷产量一定，稻谷的总产量和公顷数
C．一个人的身高和他的年龄
D．在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积
10．在平衡架左边第1格处挂了4个砝码，每个砝码重10g，为保持平衡架平衡，需要在右边第4格处挂（ ）个10g重的砝码．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
11．A×B＝C，当C一定时，A和B成 比例；当B一定时，A与C成 比例．
12．加工一批零件的时间一定，加工每个零件所花的时间和零件个数 比例；加工一个零件的时间一定，加工零件的总个数和工作总时间成 比例．
13．已知b与a成正比例关系，把下表补充完整．
a
1
4
50
b
1.2
2.4
12
14．选择正确的答案，将序号填在横线里．
①成正比例关系②成反比例关系③不成比例关系
（1）总人数一定，平均每组的人数与组数． ．
（2）一段路，修的米数和未修的米数． ．
（3）出勤率一定，出勤人数和总人数． ．
（4）比的后项一定，比的前项和比值． ．
（5）底面积一定，圆锥的体积与高． ．
（6）铺地面积一定，方砖的边长和块数． ．
15．x和y都不为0．如果y＝x，那么x和y成 比例：
如果＝，那么x和y成 比例．
16．妈妈为聪聪下载一部儿童影片，下载情况如下表所示．表格中下载时间和下载量成 比例．请把下表填写完整．
下载时间（分）
1
2
3
4
下载量（MB）
110
220
330
550
17．＝y，x和y成 比例；x＝，x和y成 比例．
18．因为：
× ＝路程（一定），所以 和 成 比例．
三．判断题（共5小题）
19．一个人的身高和体重成正比例． ．（判断对错）
20．一个不为0的数和它的倒数一定成反比例． （判断对错）
21．因为圆的面积随半径的变化而变化，所以圆的面积和它的半径成正比例关系． （判断对错）
22．修一条路，已修的与未修的长度成反比例关系． （判断对错）
23．直角三角形的面积与它的两直角边的乘积成正比例． ．（判断对错）．
四．应用题（共7小题）
24．根据甲、乙两车的行程图，回答下面的问题．
（1）甲、乙两车行驶的路程与时间是否成比例？
说说理由．
（2）哪一辆汽车的行驶速度快些？
25．淘淘家在装修房屋时，买了同样大小的地板砖，铺地面积与所需块数的关系如图．他家的客厅面积是36m2，需要铺多少块这样的地板砖？
（用比例解决问题）
26．同学们去春游，班长给大家分饼干情况如下表．
人数
1
2
3
4
5
6
7
饼干的块数
5
10
15
20
25
30
35
根据表中数据，饼干的块数与人数是不是成正比例？
请说明理由．
27．
时间/时
1
2
3
4
5
6
…
路程/千米
90
…
①先把上表补充完整，再根据表中的数据，在图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来．
②时间和路程成 比例，理由是 ．
③利用图象估计一下，2.5时行 千米，行675千米需要 小时．
28．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间．
（1）在这个过程中，哪种量没有变？
（2）速度和所对应的时间成什么比例关系？
（3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？
29．右边的图象表示汽车在公路上行驶的路程与耗油量的关系．
①请你用学过的数学知识描述这辆汽车行驶的路程和耗油量的关系，并讲明理由．
②根据图象，这辆汽车行驶75km耗6升．计算这辆汽车行驶180km耗油多少升？
30．平行四边形的高是3cm，先填表，再根据表中的数据回答问题．
底/cm
8
10
20
30
面积/cm2
24
90
（1）表中平行四边形的底和面积是 的量，平行四边形的 随着 的变化而变化．
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小．
（3）上面求出的比值表示的意义是什么？
（4）表中相关联的两种量成正比例吗？
为什么？
五．解答题（共1小题）
31．一辆汽车行驶的时间与路程如表．
时间/时
1
2
3
4
5
6
路程/km
90
180
270
360
450
540
（1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小．
（2）这个比值表示的意义是什么？
（3）时间与路程成正比例关系吗？
为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：
因为《海口晚报》的单价一定，即总价÷份数＝单价（一定），是比值一定，则购买的份数和总价成正比例关系；
故选：
A．
2．【解答】解：
因为：
每天烧煤量×烧煤天数＝煤的总量（一定），是乘积一定，所以每天烧煤量和烧煤天数成反比例；
故选：
B．
3．【解答】解：
8x＝5y，若x、y都不为0，则x：
y＝5：
8＝，是比值一定，则x和y成正比例；
若x、y都为0，则不成比例．
故选：
D．
4．【解答】解：
A、xy＝9，是乘积一定，所以x和y成反比例；
B、，只有一个量，不成比例；
C、5x＝y，即y：
x＝5，是比值一定，则x和y成正比例；
故选：
A．
5．【解答】解：
如果两个数字比值一定，那么这两个数字成正比例关系．
故选：
B．
6．【解答】解：
晒出的盐的质量÷海水的质量＝含盐率（一定），是比值一定，所以晒出的盐的质量与海水的质量成正比例；
修路的天数×每天修路的米数＝总米数（一定），是乘积一定，所以修路的天数和每天修路的米数成反比例；
购买钢笔的单价×钢笔的支数＝总价（一定），是乘积一定，所以购买钢笔的单价与钢笔的支数成反比例；
故选：
A．
7．【解答】解：
如果a﹣2b＝0，那么a÷b＝2（一定），比值一定，所以a和b成正比例；
故选：
A．
8．【解答】解：
y﹣x＝8（一定），是差一定，乘积和比值都不一定；所以x和y不成比例；
xy＝（一定），是乘积一定，所以x和y成反比例；
x÷y＝8（一定），是比值一定，所以x和y成正比例；
故选：
B．
9．【解答】解：
选项A圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），所以圆柱的底面积和高成反比例．
选项B稻谷的总产量÷公顷数＝稻谷每公顷产量（一定），所以稻谷的总产量和公顷数成正比例．
选项C一个人的身高和他的年龄的比值不一定，乘积也不一定，所以一个人的身高和他的年龄不成比例．
选项D在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积，则种的黄瓜的面积和西红柿的面积的比值不一定，乘积也不一定，所以种的黄瓜与西红柿的面积不成比例．
故选：
B．
10．【解答】解：
设在右边第4格处必须挂x个10克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，
则（10×4）×1＝（10•x）×4
40＝40x
40x＝40
40x÷40＝40÷40
x＝1
所以在右边第4格处必须挂1个10克砝码，才能使平衡架平衡．
故选：
A．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：
（1）因为A×B＝C，当C一定时，
即A和B的乘积一定，符合反比例的意义，所以当C一定时，A和B成反比例；
（2）因为A×B＝C，
所以C÷A＝B（一定），是比值一定，符合正比例的意义，
所以当B一定时，A与C成正比例；
故答案为：
反，正．
12．【解答】解：
加工每个零件所花的时间×零件个数＝加工一批零件的总时间（一定），即乘积一定，所以加工每个零件所花的时间和零件个数成反比例．
工作总时间÷加工零件的总个数＝加工一个零件用的时间（一定），即比值一定，所以加工零件的总个数和工作总时间成正比例．
故答案为：
反，正．
13．【解答】解：
b：
a＝1.2：
1＝1.2
则a＝b÷1.2，b＝a×1.2
2.4÷1.2＝2
4×1.2＝4.8
12÷1.2＝10
50×1.2＝60
a
1
2
4
10
50
b
1.2
2.4
4.8
12
60
故答案为：
2，4.8，10，60．
14．【解答】解：
（1）平均每组的人数×组数＝总人数（一定），是乘积一定，所以平均每组的人数和组数成反比例；
（2）修的米数+未修的米数＝总米数，既不是比值一定，也不是乘积一定，所以修的米数和未修的米数不成比例；
（3）出勤人数÷总人数＝出勤率（一定），是比值一定，所以出勤人数和总人数成正比例；
（4）比的前项÷比值＝比的后项（一定），是比值一定，所以比的前项和比值成正比例；．
（5）圆锥的体积÷高＝3×底面积（一定），是比值一定，所以圆锥的体积和高成正比例；
（6）方砖的边长和块数既不是比值一定，也不是乘积一定，所以方砖的边长和块数不成比例．
故答案为：
②，③，①，①，①，③．
15．【解答】解：
x和y都不为0．如果y＝x，则：
y÷x＝（一定），比值一定，符合正比例的含义，所以x和y成正比例；
如果＝，
符合正比例的意义，则xy＝3×5＝15（一定），乘积一定，所以x和y成反比例．
故答案为：
正，反．
16．【解答】解：
110：
1＝220：
2＝330：
3＝110，
是比值一定，所以表格中下载时间和下载量成正比例．
4×110＝440
550÷110＝5
下载时间（分）
1
2
3
4
5
下载量（MB）
110
220
330
440
550
故答案依次为：
正，440，5．
17．【解答】解：
＝y，即xy＝3（一定），是乘积一定，所以x和y成反比例；
x＝，即y：
x＝5（一定），是比值一定，所以x和y成正比例；
故答案为：
反，正．
18．【解答】解：
因为：
速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例；
故答案为：
速度，时间，速度，时间，反．
三．判断题（共5小题）
19．【解答】解：
人的身高和体重虽是两种相关联的量，但是它们的乘积或比值都不一定，所以不成比例；
故答案为：
×．
20．【解答】解：
自然数a×它的倒数＝1（一定），乘积一定，所以自然数a（a≠0）和它的倒数成反比例，所以本题说法正确；
故答案为：
√．
21．【解答】解：
因为圆的面积S＝πr2，
所以S：
r2＝π（一定），
即圆的面积与半径的平方的比值一定，但圆的面积与半径的比值不是一定的，
不符合正比例的意义，所以圆的面积和半径不成正比例；
故答案为：
×．
22．【解答】解：
因为已修的长度+未修的长度＝一条路的长度（一定），是和一定，乘积和比值都不一定；
所以已修的长度和未修的长度不成比例，所以原题说法错误．
故答案为：
×．
23．【解答】解：
三角形的面积公式是S＝ah÷2，可以看作直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，把两直角边的乘积看作一个整体，
那么ah÷S＝2（一定），即比值一定，所以直角三角形的面积与它的两直角边的乘积成正比例；
所以原题说法正确．
故答案为：
√．
四．应用题（共7小题）
24．【解答】解：
（1）两辆车子所行的路程和时间成比例，因为是一条直线，所以成正比例；
（2）由图象可知：
甲行驶150km，用4.2小时，乙行驶150km，用4.4小时，
4.2＜4.4，
路程相同，用的时间越少，速度较快，即甲汽车的行驶速度快些；
25．【解答】解：
根据题意与分析可得：
铺地面积与所需块数成正比例关系；
设需要铺x块这样的地板砖，根据题意，可得：
36：
x＝2：
8
2x＝36×8
2x÷2＝36×8÷2
x＝144
答：
需要铺144块这样的地板砖．
26．【解答】解：
5÷1＝10÷2＝15÷3＝20÷4＝25÷5＝30÷6＝35÷7＝5（块/人）
已知每人的饼干数是一定的，也就是饼干数和人数的比值是一定的，所以饼干数和人数成正比例．
答：
饼干的块数与人数成正比例，因为每人的饼干数是一定的，也就是饼干数和人数的比值是一定的，所以饼干数和人数成正比例．
27．【解答】解：
①先把上表补充完整，再根据表中的数据，在图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来．
时间/时
1
2
3
4
5
6
…
路程/千米
90
180
270
360
450
540
…
②时间和路程成正比例，理由是路程÷时间＝速度（一定）．
③如图
用图象估计一下，2.5时行225千米，行675千米需要7.5小时．
故答案为：
正，路程÷时间＝速度（一定），225，7.5．
28．【解答】解：
（1）图中标出5个点：
速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化．
（2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系．
（3）观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时．
29．【解答】解：
①汽车行驶路程与耗油量是正比例关系；
因为50：
4＝100：
8＝150：
12＝…＝12.5（一定），
汽车行驶路程与耗油量的比值一定，所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系．
②设这辆汽车行驶180km耗油x升，
＝
75x＝6×180
x＝
x＝14.4．
答：
辆汽车行驶180km耗油14.4升．
30．【解答】解：
10×3＝30；20×3＝60．
底/cm
8
10
20
30
面积/cm2
24
30
60
90
（1）表中平行四边形的底和面积是相关联的量，平行四边形的面积随着底的变化而变化．
（2）＝3；＝3；＝3；＝3．比值大小相等，是个定值3．
（3）
＝高，比值表示的意义是平行四边形的高．
（4）相关联的两种量成正比例．
由
（2）可知
＝3（一定），是比值一定，所以成正比例．
五．解答题（共1小题）
31．【解答】解：
（1）90：
1＝90、180：
2＝90和3：
270＝90，比值相等．
（2）这个比值表示的意义是速度．
（3）路程÷时间＝速度（一定），是比值一定，所以时间与路程成正比例．
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