全国中学生物理竞赛决赛试题.docx

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全国中学生物理竞赛决赛试题

第十九届全国中学生物理竞赛决赛试题

理论部分

一、（15分）

（1）一根长为尿横截面积为S的匀质圆柱休，在地面上静止时测得其密度为血。

当圆柱体沿轴线方向以速度冃1%柿寸于地面做匀速运动时，相对地面上的观测者计算其密度卩等于多少？

a为光速〉

（2）有f电子，己知它的德布罗意波（物质波〉是波长为厶向X的正方向传播的平面波，它的动量Ac等于多少？

它的坐标X如何？

二、（25分）

在折射率为«的介质A中有一半径为R的球形气泡，气体的折射率为加。

现在在气泡中再放一个与气泡同心的由透明介质B构成的球，并令-均勺平行光束I寸向气泡。

（1）如果任意一条在介质A中射向气面的入射光线在通过各介质界面时的入射角和折射角都满足sin^的条件，且该光銭再进入介质4时能沿原入I寸光线方向行进，如图所示，求介质B的折射率卅和B球的半径R必须满足的关系式。

<2）如果两球面间的介质不是气体而是一种透明液体（其折射率仍用炖表示），并要求任何入射角和折射角的数值都不大于O.lrad,则符合此条件的入射光束占外球面上的光束的百分比为多少？

三、（20分〉

历史上曾有人利用在地球位于其公转轨道的不同位置处从地球上测得的木星的卫星周期，首次求出了光电传播速度。

现己知离木星最近的一个卫星一木星I的周期％=42.5h,在地球公转轨道上各处从地球上测得的木星I的所有周期值中，最大的比％多15s,最小的比％少15s。

假定週求、木星的公转轨道是同—F面内的圆轨道，木卫I绕木星的运动轨道也是该平面内的圆轨道；地球的轨道半径^E=1.5xl08km,木星的轨道半径^=7.8xl08km,木卫I的轨道半径&=4.2x12km.

（1〉试分析论证：

测得木卫I周期对大至刑最小值时，相对木星而言，：

m位于其公转轨道的何处附近以及地球、木星和木卫I的运动对测量周期的影响。

<2）利用这缈据并作合理近似求出光的转播速度c

四、（25分）

如图所示，在倾角为e的固定斜面顶端有一轻质定涓轮，跨过滑轮的轻绳两端分别与物体久巧相连，物体4位于斜面上，连接万的轻绳竖直下垂4、巧均处于静止状态。

己

知A、召的质量分另IJ为wA=0.15kg,加b=010kg,刈与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为尸0.2,也30。

现在有一质量^=0.010kg的子弹沿与斜面成9角的方向射入A，身寸入前的速度k20m/s,射入后子弾留在卫中，射入过程的时间极短。

当円5。

时，试定量说明子弹射入后系统运动的全过程。

滑轮转轴处的摩擦不计，g取

lOm/s-o如果卩不是45。

，而是45。

到90。

之间的任育角，则射入过程结束时的速度如何？

五、（25分）

如图a所示，有两个截面为S的相同U形管1、2,其内分别装有高度为加和方2、密度为g的液体。

现用同样截面的导管将两者在大气中密接起来，如图占所示。

导管中有一活塞D,它把管中气体分成长度皆为心的两部分，每部分中气体的压强皆为大气压皿活塞与管壁间的最大静摩擦力为尿现向U形管1开口端缓慢注入一定量的同种液体，达到平衡时Z7形管2的左侧液面高度变为居。

试求注入液体的体积。

六、（30分〉

在空间某区域中，可能存在匀强电场和匀强磁场，也可能只存在两者之一，或都不存在。

现在此区域中，建立却坐标系如图所示。

（1）己知一质量为加、电荷量为今的质子1以大小为力的速度在i亥区域中沿z轴正方向运动时，测得其加速度如=0。

谕艮摇质子1运动提供的信息，判断该区域中电场强度E和磁感应强度B的大力痢方向有明陛可能。

扌巴判断出的结论写出来。

写时要求：

若不存在电场和磁场，用沪0或戻0表示；若存在电场或磁场，飾强度牙斶感应强度的大小分别用它右陆坐标系中的分量氏时民或耳：

、By.民来表示。

电场强度WK感应强度的方

向凡是可用它与坐标轴正方向之间的夹角未表示的都用它们来表示，规定夹角是由坐标轴正方向沿小于（或等于〉180°的夹角转到要考查的矢量方向（在本小题中，不要求写出理主或推理过程）

（2）简要写出得出以上结论的理由和推理过程。

（3）现又知另一质子2以大小为$=血耳的速度在该区域中的yz平面内沿与y轴正方向和z轴正方向都成a=45啲方向运动亦测得此时质子2的加速度大小为血，方向沿x轴的负方向。

试再结合质子2运动提供的信息，对上面第1小题中你所得的各种结论作进一步的分析，最后判断出该区域中电场强度£和磁感应强度B的大俯口方向有明陛可能。

把最后判断出的结论写出来。

写时电场强度和磁感应强度的大小和方向的表示方法与第1小题的要求相同。

（本小题不要求写出理由或癒过程）

第十九届全国中学生物理竞赛决赛试题解答

（1）对于地面上的观测者，圆柱体沿运动方向上的长度

I==/0V1-0.81=0.435/。

①

圆柱体的质量m｛叫②

J1一（U/C）2

圆柱体的密度P=-=/厲③

v?

ji-e/c）2

式中V为圆柱体的体积。

垂直于运动方向的横截面积S,右运动过程中不发生酸，有

7=刃二风Jl—e/c）2

（2）根据德布罗意关系代=£

现=0,根据不确定关系&Z抵＞h,即电子的坐标、:

取各值都有可能，坐标X值不确

定。

（1〉图中取入射光线中的一根任意的加寸光銭。

扌鱷题设条件，出射光线与入I寸光线在同一直线上，通过球心o作一与此寸光线平行的直线。

由于M寸光钱和出射光钱是左右对称的，光学系统（球形气泡和球形介质B）又是左右对称的，在B球中的光线一定与入射光线平行，因而光路图中如图所示。

月i和厂分别表示在A和气泡的界面上的入射角和折肘角，〃和严分别表示在气泡和E球的界面上的入射角和折射角，则扌豳折射定衛的近似，得

ni=n^rCD

=fir'②

对△茁。

应用正弦定理，可得r=Ar=AAf③

由几何关系得if=r+r'-i

此关系式与i无关，即满足题设要求的任一入射光线经过4次折射后都将沿原方向进入介质中，就像气泡和B球不存在似的。

注：

如果运用单球面折射的物像距公式逐面进行计算，所得结果应与⑤式相同，因为球面折射公式的形式相对物距、像距和球面半径的正负号规定有关，写出的公式中的正负号很可能不同，但只要能正确使用，结果肯定一样。

⑵人r、尸和尸的数值各不相同，只要其中数值最大的角满足知.1说的要求，其他角一定满足&<0.1说的要求，至于哪个角数值最大，有下列两种情况：

（a）na

i-O.lrad

由③式可知，与之相应的i的数值为

罟心冏⑥

符合条件的入射平行光束的截面积为

A==0.01兀（色疋）2⑦

n

以至夕滋面的平行光束的截酎只九二加2,故所求百分比为

牛°°嚓心磁

由|

_傀nR.

1=11j

卅riw0Rf

令rz=0.lrad,则有心x0.\rad

nR故所求百分比

A=o.oi（—）2xioc^

AnR

把⑤式代入得矿OM込爲乜討x叱三、

（1）木星总是处在朋轨道之外，故可由木星向般轨道作两条切线，当地球运行到切点附近砧从地球上测得的木为I的周期取极值。

在其中一入切点处，地球运行是背离木星的测得的周期是最大值；在另一切点处，地球运动则趋向木星，测得的周期是最小值。

与木星

昂和马/代表地球在其公转轨道Ce上的两个不同位置（图中的叫妙为由木星到地球轨道的切线，耳为切点，马为相对于昂，删在一个时段△/=%之前的位置）。

设太阳的质量为加s，删的质量为畑公转速度为也角速度为如周期为％木星的相应各量分别为处力、仙和珀，由万有引力定律和向心力公式有

VJ

对于一段时间△=%=42.5h内，木卫I绕其轨道一周回到“原处”，而木星转过的圆心角为

———x36tf=0.15°,很小；

12x365x24地球转过的圆心角为425x36tf=1.75°,也很小。

365x24

这些结果表示：

（a）地球、木星的运行速度量值同数量级；（b）经历％时段后，删、木星转过很小角度，其运动方向几乎不变，故％可视为很小的时段；（c）比屁大得比较多，闵目对于木一地连线昂，（或坊），牺沿纵向运动，木星近似沿横向运动，故在经历△戶％的很小时段后，木星运跚目对于木一地距离的改变几无贡献，木卫I回到“原处”，对木卫I到地球^离改变更无贡献，地球的运动几乎是木卫I一地球间距离改变的唯一因素，且在切点处最大，地球背离木星运动时足巨离的增量为正，趋向木星运动时足鏑的增量为负。

£蜩的增量正是木卫I周期差H寸段内光经过的路程。

（2）设在时刻t,木卫I位于图中I。

处（注意此时为木蚀），则位于坊处的躺观察到木卫I的时刻为4要比f晚一小段时间＜5,＜5等于光从I。

处传到禺处所需的时间，经过一个周期％后的r时刻，木卫I绕木星运动一周后又回10处此时地球己经运动到昂,处地球观察到木卫I的B垓!

fl比=也晚一小段时间夕，d暹光由I。

传到务所需的时间，而均f正是地球在切点附近测得的木卫I的周期，于是

t[—tx=fr—f+Jf—J=7J+$—5

由此得c-3.1x1/加/s

对于地球在另一切点趋向木星运动的情况，类似的处理可给出完全相同的结果。

四、

（1）子弹摄入A的过程。

在此过程中，子弹的速度突变，它与A之间产生f冲力。

此冲力使子弹的动量发生改变。

现分别讨论垂直于斜面和平行于斜面两个方向的情况。

垂直于斜面方向：

A保持不动，子弹的分动量由dsim-O。

设冲力在此方向的分力大小的平均值为Fn，作用时间为X，考虑到重力在此方向的分力远小于冲力，则有

Fn&=mvosin^p

在此方向A所受的力，除子弹给它的冲力外，还有斜面给它的正压力（设为FQ和重力的分力。

由于A保持不动，可知三力平衡。

同样忽略重力的分力，则有

平行于斜面方向子弹的分动量也发生受，设子弹与A之间的冲力在此方向的分力大小为用则F的冲量为呛。

A在此方向还受到阻碍它沿斜面向上运动的摩擦力用和重力的分力。

冋样忽略車力的分力，贝II射入过程中的最大摩擦力为

甩0用/

摩擦力用的冲量为

F冲兰Fg't=匹4=“叫sin（p

射入开始时，子弹和A组成的系统沿此方向的动量为心cos©摩擦力的冲量使系统动量减少，如果协网）cos©,贝IJ摩擦力的冲量将使A和子弹的动量减为零，即子弹陷入A中保持静止，A也保持不动，以上条件要求

tan^＞丄=5,即Q7&7°

A

现在尸45。

＜78.7°,所以射入过欝束时，系统的动量大于零，子弹和A将V向上滑动。

设其速度为u则由动量定理可得

wv0cos0一（w+w^）v=巧tAZ=pwv0sincp

解得卩=

（cos®“sin

m+mA

'弋入得0・5V^»/s=0.7此/s

⑵射乂过辭束后的运动。

A的运动：

当A以初速度v向上运动时，由于B的速度为零，绳子将松弛，张力为零。

A和子弹在重力和摩擦力作用下做初速度为卩的勻减速运动，d时刻的加速度、速率和沿斜

面上滑的足蜩分别为

a=-@sin&+冷cos。

）

=v-sin&+昭cos&y

»=W-£（gsin&+熠cos&）广

B的运动：

绳子张力为零，B自由蓿体，其速率和下滑的距离分别为

当sa=sb时，绳子被拉直，此时贝|」有

叫-*（sin&+pcos&）gf；=扌g彳

可解得心=:

-—

（l+sin8+“cos&）g

'弋入数摇得Zi=0.086s

没B下降距离为H、,则码二丄=0.037w

2

设此时A、B的速度分别为巧和叭，则

"；=u一g（