k1
式；
7.证明A0的方法：
①、AA；
2、反证法；
3、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解;
4、利用秩，证明r（A）n；
5、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵：
A0（是非奇异矩阵）；
r（A）n（是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组AX0有非零解；
bRn，Axb总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
ata是正定矩阵；
A的行（列）向量组是Rn的一组基；
A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2.对于n阶矩阵A:
AAAA|AE无条件恒成立；
3
1**11TT1*TT*
.（A）（A）（A）（A）（A）（A）
TTT***111
（AB）BA（AB）BA（AB）BA
4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
A
若A甩厂，贝U：
A1
O
As1
3、矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是ErO；
F
OOmn
1.一个m
唯一确定的：
等价类：
所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r（A）r（B）A:
B；
2.行最简形矩阵：
1、只能通过初等行变换获得；
2、每行首个非0元素必须为1；
3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.初等行变换的应用：
（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
1、若（A,E）：
（E,X），贝UA可逆，且XA1；
2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B,即:
c
（A,B）（E,A1B）；
3、求解线形方程组：
对于n个未知数n个方程Axb，如果
（A,b）：
（E,x）,则A可逆，且xA1b；
4.初等矩阵和对角矩阵的概念：
5.
、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
1
论）；
II、r（A）r（B）n
B均为n阶方阵，则r（AB）r（A）r（B）n；
6.三种特殊矩阵的方幂：
1、秩为1的矩阵：
一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
1ac
2、型如01b的矩阵：
利用二项展开式；
001
二项展开式：
（ab）nC°anC1an1b1LC；anmbmLC；1a1bn1C；bn"C「ambnm-
m0，
注：
I、（ab）n展开后有n1项;
mn（n1）LL（nm1）_n!
on
CnCnCnI
1g2g3g_gmm!
（nm）!
3
、利用特征值和相似对角化:
③、A*AA1、|A*An1
8.关于A矩阵秩的描述：
1、r（A）n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0；（两句话）
2、r（A）n,A中有n阶子式全部为0；
3、r（A）n,A中有n阶子式不为0；
9.线性方程组：
Axb，其中A为mn矩阵，贝I」：
1、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；
2、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程;
10.线性方程组Axb的求解：
1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
2、齐次解为对应齐次方程组的解；
3、特解：
自由变量赋初值后求得；
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
①、
a21x1a22x2
La2nxn
b2；
LLLLL
LLLLL
L
am1x1am2x2
Lanmxn
bn
a11a12L
a1nx1
b1
②、
a21a22L
a2nx2
b2Axb（向量方程，
A为mn矩阵，m个
MMO
MM
M
am1am2L
amnxm
bm
方程，
n个未知数）
x1
b1
③、
a1a2LanxM2
M
（全部按列分块，其中
b2）；
M
xn
bn
④、
a1x1a2x2L
anxn
（线性表出）
⑤、有解的充要条件：
r（A）r（A,）n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.m个n维列向量所组成的向量组A：
1,2,L,m构成nm矩阵
A（1,2,L,m）；
T
1
T
m个n维行向量所组成的向量组B:
；丄，：
构成mn矩阵B皿；
Tm
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.①、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次
线性方程组）
2、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）
3、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）
3.矩阵Amn与Bm行向量组等价的充分必要条件是：
齐次方程组
Ax0和Bx0同解；（P仙例14）
4.r（ATA）r（A）；（Pioi例15）
5.
n维向量线性相关的几何意义:
①、线性相关0；
③、,,线性相关,,共面；
6.线性相关与无关的两套定理:
若1,2,L,s线性相关，则1,2,L,s,si必线性相关；
若1,2,L,s线性无关，则1,2,L,si必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B:
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线
性相关；（向量组的维数加加减减）简言之:
无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs（二版P74定理7）；
向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）；（P*6定理3）
向量组A能由向量组B线性表示
AXB有解；
r（A）r（A,B）（P85定理2）
向量组A能由向量组B等价r（A）r（B）r（A,B）（P*5定理2推论）
8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P2,L,P，使AP1P2LP,；
1、矩阵行等价：
A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解
2、矩阵列等价：
A~BAQB（右乘，Q可逆）；
3、矩阵等价:
A~BPAQB（P、Q可逆）；
9.对于矩阵Amn与B「:
1、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
2、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
4、矩阵A的行秩等于列秩；
10.若AmsBsnCmn，则：
1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；（转置）
11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
1、ABx0只有零解Bx0只有零解；
2、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；
12.设向量组Bnr:
b，b，,L,br可由向量组A$：
印42丄玄线性表示为：
（Rl0题19结论）
（b1,b2,L,br）（a1,a2,L,as）K（BAK）
其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r（K）r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：
Qrr（B）r（AK）r（K）,r（K）r,r（K）r；充分性：
反证法）
注：
当rs时，K为方阵，可当作定理使用；
13.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm「（A）m、Q的列向量线性无关；（P87）
②、对矩阵Amn，存在Pnm，PA巴"A）n、P的行向量线性无关；
14・1,2丄，s线性相关
存在一组不全为0的数ki,k2,L,ks'使得ki1k22Lkss0成立；（定
义）
x1
（1,2,L,s）xM20有非零解，即Ax0有非零解；
xs
r（1,2,L,s）s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：
r（S）nr；
16.若*为Axb的一个解，1,2,L,nr为Ax0的一个基础解系，则
*,1,2,L,nr线性无关；（P111题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1.正交矩阵AaE或A1AT（定义），性质：
1、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即
aTaj0iJ（i,j1,2,Ln）；
0ij?
2、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1；
3、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；
注意：
求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.施密特正交化：
佝住丄,a「）
3.
ba1；
4.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
5.①、A与B等价A经过初等变换得到B；
PAQB，P、Q可逆；
r（A）r（B），A、B同型；
2、A与B合同CtACB，其中可逆；
xtAx与xtBx有相同的正、负惯性指数；
3、A与B相似P1APB；
6.相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTACBa:
B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
7.A为对称阵，则A为二次型矩阵；
8.n元二次型xtAx为正定：
A的正惯性指数为n；
A与E合同，即存在可逆矩阵c，使CTACE；
A的所有特征值均为正数；
A的各阶顺序主子式均大于0；
a0,a0；（必要条件）
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